Se

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Señales y Sistemas

• Capítulo 2 Todo lo que usted siempre quiso
  saber sobre Fourier pero temía preguntar.

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Introducción

• El enfoque de este capítulo es la representación
  de señales utilizando senos y cosenos (en otras
  palabras, exponenciales complejas).
• El estudio de señales y sistemas utilizando
  exponenciales complejas se denomina análisis de
  Fourier, en honor a Joseph Fourier (1768-1830)
  debido a su gran contribución en este campo.

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Representaciones de Fourier para cuatro clases de
señales
Propiedad de tiempo Periódica No periódica
Continua Serie de Fourier (FS) Transformada de Fourier (FT)
Discreta Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
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Señales periódicas representaciones mediante las
series de Fourier

• Considérese la representación de una señal
  periódica cualquiera como una superposición de
  senos y cosenos (exponenciales complejas). La
  frecuencia de cada senoide debe ser un múltiplo
  de la frecuencia fundamental de la señal.
  Supongamos que se tiene una señal periódica con
  periodo fundamental N, su representación mediante
  la serie de Fourier es
• Donde O0 2p/N es la frecuencia fundamental de
  la señal periódica. La frecuencia de la
  exponencial k-ésima en la superposición es kO0.

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Señales periódicas (cont.)

• En el caso de una señal continua periódica con
  periodo fundamental T, la serie de Fourier se
  define como
• donde ?0 2p/T es la frecuencia fundamental de
  la señal periódica continua.

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Señales periódicas (cont.)

• Pensando en el caso de una secuencia discreta
  periódica surge la pregunta cuántos términos y
  pesos debe usarse en cada suma? Recordemos que,
  en el caso discreto, exponenciales complejas con
  frecuencias distintas no siempre son diferentes.
  Tenemos
• Es decir, hay sólo N exponenciales complejas
  distintas de esta forma.

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Señales periódicas (cont.)

• En consecuencia, podemos reescribir la ecuación
  de la serie de Fourier de una señal discreta
  periódica
• donde la notación k ltNgt indica dejar que k
  varíe sobre cualesquiera N valores consecutivos
  (comúnmente se usan los valores de k 0 hasta
  N-1).

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La DTFS

• La representación mediante la DTFS está dada por
• Decimos que xn y Xk son un par DTFS y
  denotamos esta relación como

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Importante

• La DTFS es la única representación de Fourier que
  puede evaluarse y manipularse numéricamente (con
  la computadora). Esto se debe a que tanto la
  secuencia en el tiempo como la representación en
  frecuencia están caracterizadas por un conjunto
  finito de N números.

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La representación mediante la FS está dada por

• Afirmamos que x(t) y Xk son un par FS y
  denotamos esta relación como

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La serie de Fourier nos conduce a...
12
La transformada de Fourier!
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Representación mediante la DTFT

• La DTFT se expresa como
• donde
• Representación del par de DTFT

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Recomendación

• Para la DTFT investigar las siguientes
  propiedades
• Linealidad
• Simetría - señales reales e imaginarias
• Simetría - señales pares e impares
• Desplazamiento en el tiempo
• Desplazamiento en frecuencia
• Diferenciación e integración
• Convolución y modulación

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Ejemplo

• Primer figura Señal de voz de hombre (Homer
  Simpson en inglés)
• Segunda figura Su transformada de Fourier (para
  valores de ? entre p y p)

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Otro ejemplo

• Canción punchis punchis
• Su transformada de Fourier

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Dominio de tiempo Periódica No periódica
Continua FS FT No periódica
Discreta DTFS DTFT Periódica
Discreta Continua Dominio de la frecuencia