A problem in context sensitive languages

1
AUTOMATA EQUAL NUMBER OF as, bs AND cs
2
A LINEAR BOUNDED AUTOMATA(LBA)
3
A LBA IS A RESTRICTED TURING MACHINE(TM)
4
A LBA CANNOT LEAVE ITS INPUT IT THUS USES O(n)
SPACE
5
Lan bn cnngt1
6
THE LBA FOR
Lan bn cnngt1
7
THE LBA FOR
Lan bn cnngt1
TRANSITION DIAGRAM
8
S
start
9
q0
,R
S
start
10
aX,R
q0
q1
,R
S
start
11
aX,R
q0
q1
,R
S
YY,R
aa,R
start
12
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
S
YY,R
aa,R
start
13
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
start
14
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
start
q3
15
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
start
q3
bb,L
ZZ,L
YY,L
aa,L
16
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
XX,R
start
q3
bb,L
ZZ,L
YY,L
aa,L
17
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
YY,R
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
XX,R
q4
start
q3
bb,L
ZZ,L
YY,L
aa,L
18
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
YY,R
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
XX,R
q4
start
q3
bb,L
yy,R
ZZ,R
ZZ,L
YY,L
aa,L
19
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
YY,R
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
XX,R
q4
start
q3
bb,L
,R
yy,R
ZZ,R
ZZ,L
YY,L
aa,L
THE LINEAR BOUNDED AUTOMATA(LBA)
qf
20
aX,R
bY,R
q0
q1
q2
,R
cZ,L
YY,R
S
YY,R
ZZ,R
aa,R
bb,R
XX,R
q4
start
q3
bb,L
,R
yy,R
ZZ,R
ZZ,L
YY,L
aa,L
qf
21
THE LBA FOR
Lan bn cnngt1
TRANSITION TABLE
22
d a b c X Y Z
S START?
q0
q1
q2
q3
q4
qf
23
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0
q1
q2
q3
q4
qf
24
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1
q2
q3
q4
qf
25
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q1,Y,R
q2
q3
q4
qf
26
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2
q3
q4
qf
27
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q2,Z,R
q3
q4
qf
28
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3
q4
qf
29
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q3,Y,L q3,Z,L
q4
qf
30
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4
qf
31
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4
qf
32
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R
qf
33
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
34
SIMULATION OF THE LBA ON THE INPUT aaabb
bccc
35
The LBA
a a a b b b c c c
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
36
S?
a a a b b b c c c
S
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
37
S?q0a
a a a b b b c c c
q0
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
38
S?q0a?Xq1
X a a b b b c c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
39
S?q0a?Xq1?Xaq1
X a a b b b c c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
40
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1
X a a b b b c c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
41
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2
X a a Y b b c c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
42
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2
X a a Y b b c c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
43
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2
X a a Y b b c c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
44
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
45
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
46
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
47
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ? ?Xaq3aYbbZ?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
48
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ? ?Xaq3aYbbZ??Xq3aaYbbZ
?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
49
S?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1? X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ? ?Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
??q3XaaYbbZ?
X a a Y b b Z c c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
50
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?
X a a Y b b Z c c
q0
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
51
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?
X X a Y b b Z c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
52
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?
X X a Y b b Z c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
53
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?
X X a Y b b Z c c
q1
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
54
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ?
X X a Y Y b Z c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
55
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ? ?XXaYYbq2Z?
X X a Y Y b Z c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
56
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ? ?XXaYYbq2Z??XXaYYbZq2c
?
X X a Y Y b Z c c
q2
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
57
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ? ?XXaYYbq2Z?XXaYYbZq2c
?XXaYYbq3ZZc
X X a Y Y b Z Z c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
58
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ? ?XXaYYbq2Z?XXaYYbZq2c
?XXaYYbq3ZZc?XXaYYq3bZZc
X X a Y Y b Z Z c
q3
d a b c X Y Z
S START? q0,,R
q0 q1,X,R q4,Y,R
q1 q1,a,R q2,Y,R q1,Y,R
q2 q2,b,R q3,Z,L q2,Z,R
q3 q3,a,L q3,b,L q0,X,R q3,Y,L q3,Z,L
q4 q4,Y,R q4,Z,R qf,,S
qf - - - - - - - -
59
S ?q0a?Xq1?Xaq1?Xaaq1?X
aaYq2?XaaYbq2?XaaYbbq2? X
aaYbq3bZ? XaaYq3bbZ?Xaaq3Y
bbZ??Xaq3aYbbZ?Xq3aaYbbZ
?q3XaaYbbZ? ?Xq0aaYbbZ?XXq1a
YbbZ?XXaq1YbbZ?XXaYq1bbZ?XX
aYYq2bZ? ?XXaYYbq2Z?XXaYYbZq2c
?XXaYYbq3ZZc?XXaYYq3bZZc?XXaYq3
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