Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

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Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens
Análise Freqüêncial e Transformada Z

• Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF

Profs Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio
Portes de Albuquerque
Aula 03
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Análise Freqüêncial de Sinais e Sistemas

• A Transformada de Fourier (TF) é uma das diversas
  ferramentas utilizadas na análise e projetos de
  sistemas LTI
• Esta transformação é basicamente a representação
  do sinal através de sua decomposição em termos
  senoidais
• Para sinais períodicos esta decomposição é
  chamada de série de Fourier
• Para classes de sinais a energia finita, esta
  decomposição é chamada de Transformada de Fourier
• Desta forma, dizemos que o sinal está
  representado no domínio da freqüência

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Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
Em 1762 Newton denomina espectro as bandas
contínuas de cores Da física, sabemos que a cada
cor corresponde uma freqüência A análise da luz
por cores é uma forma de análise freqüêncial

• Se decompormos uma forma de onda em componentes
  senoidais, podemos fazer uma analogia ao prisma
  que separa a luz branca em diferentes cores
• A soma destas componentes resulta na forma de
  onda original

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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo
Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo
Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo
Contínuo
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
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Densidade Espectral de Potência de Sinais
Periodicos
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
A03
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Densidade Espectral de Potência de Sinais
Periódicos
Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo
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Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto

• Como observado anteriormente, a série de Fourier
  de um sinal contínuo no tempo pode ter um número
  infinito de componentes de freqüência com largura
  de faixa de de -? a ?.
• Em tempo discreto a faixa de freqüência é única
  de -? a ? (-½ a ½). Um sinal em tempo discreto,
  com período fundamental N contém componentes de
  freqüência separadas por f1/N.
• Esta é a diferença básica entre a série de
  Fourier para sinais períodicos no tempo contínuo
  e no tempo discreto.

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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo
Discreto
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
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Exemplos de Série de Fourier no Tempo Discreto
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03
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Densidade Espectral de Potência de Sinais
Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
A03
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Densidade Espectral de Energia de Sinais
não-Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
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Exemplo de Densidade Espectral de Energia de
Sinais não-Periódicos
Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto
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Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI

• A TZ tem o mesmo papel na análise de sinais e
  sistemas LTI discretos no tempo como a
  transformada de Laplace tem na análise de sinais
  e sistemas LTI no tempo contínuo
• Exemplo A convolução de dois sinais no domínio
  do tempo é equivalente a multiplicação de suas TZ
• A TZ nos fornece meios para caracterizarmos um
  sistema LTI e sua resposta para vários sinais
  utilizando Pólos e Zeros

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A Transformada Z Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Exemplos da TZ Direta
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
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Famílias Característica de Sinais com suas ROC
correspondentes
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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A TZ inversa
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
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A relação entre a TZ e a TF
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
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Propriedades da Transformada Z
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Propriedades da Transformada Z
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
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Propriedades da TZ
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
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Algumas TZ Comuns
Transformada Z e suas aplicações na análise de
sistemas LTI
A03
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Transformada Z racional

• Uma família importante de TZ são aquelas para o
  qual X(z) é uma função racional, i.e. a razão de
  dois polinômios em z-1 (ou z)
• Nesta seção discutiremos algumas características
  das TZ racionais

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Pólos e Zeros
Transformada Z racional
A03
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Exemplo de Pólos e Zeros
Transformada Z racional
A03
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Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio
do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
Círculo unitárioz1
A03
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Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio
do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
Círculo unitárioz1
A03
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Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio
do Tempo de Sinais Causais
Transformada Z racional
The distance r of the poles from the origin
determines the envelope of the sinusoidal signal
and their angle with the real positive axis, its
relative frequency Note that the amplitude of
the signal is growing if rgt1, constant if r1
(sinusoidal signals), and decaying if rlt1.
A03
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A Função de Transferência de um Sistema LTI
Transformada Z racional
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A Função de Transferência de um Sistema LTI
Transformada Z racional
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A Função de Transferência de um Sistema LTI
Transformada Z racional
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Exemplo de TZ inversa por Expansão em Frações
Parciais
Transformada Z racional
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Análise de Sistemas LTI no Domínio Z

• Nesta seção descrevemos o uso da Função de
  Transferência de um Sistema LTI na determinação
  da resposta deste sistema a algum sinal de
  excitação
• Nossa atenção está voltada a classe de Sistemas
  com PZ representados pela equação diferença em
  condição inicial arbitrária
• Consideraremos também a estabilidade de sistemas
  LTI apresentando um teste baseado no denominador
  da função de transferência

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Resposta de um Sistema
Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03
40
Exemplo da Resposta de um Sistema
Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z
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Estabilidade e Causalidade
Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03
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Cancelamento de Pólos e Zeros
Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z
A03
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Resumo

• A TZ tem um papel fundamental na análise de
  sinais e sistemas no tempo discreto
• Vimos a propriedade da convolução que
  transforma a convolução de duas seqüências no
  produto de suas TZ
• Nos sitemas LTI podemos calcular y(n) através do
  cálculo de Y(Z)-1X(z)H(z)-1
• Muitos sinais tem TZ racional
• Sistemas LTI caracterizados pela equação
  diferença tem função de transferência racional
• A TZ inversa usando expansão em frações parciais
  é relativamente simples de ser usada
• Introduzimos a noção de Pólos e Zeros
• Caracterizamos a localização dos PZ em relação a
  estabilidade e causalidade dos sistemas LTI
• Em um sistema causal e estável os polos de H(z)
  estão dentro do círculo unitário
• Para um sistema ser estável ele requer que a ROC
  de H(z) esteja dentro do círculo unitário