Control Digital/Avanzado Estabilidad, Funci

1
Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de
Transferencia, Transformadas

• M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

2
Respuesta al impulso

• La respuesta al impulso se denota por h(t) y
  constituye la respuesta de un sistema LTI
  relajado a un impulso unitario ?(t)
• Los métodos en el dominio del tiempo son
  tediosos, por lo que es más fácil si se acude al
  dominio transformado

3

• La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la
  respuesta al escalón s(t)
• h(t)s(t)ds(t)/dt s(t)? h(t)dt
• Un impulso produce un cambio súbito de estado
  (condiciones iniciales)
• Resolver y(t)?y(t)?(t), y(0)0 es equivalente
  a y(t)?y(t)0 , y(0)1

t
-?
4

• De manera similar un sistema de segundo orden
  y(t)?1y(t)?2y(t)x(t), puede encontrarse
  mediante la ec. homogénea y(t)?1y(t)?2y(t)0
  , c.i. y(0)0, y(0)1
• Ej Sea y(t) 2y(t) x(t), la ec.
  característica es s20, raíz s-2, la respuesta
  natural es h(t)Ke-2t
• con h(0)1, se obtiene h(0)K1, y h(t)e-2tu(t)
• Ej Sea y(t) 3y(t) 2y(t) x(t), la ec.
  característica es s23s20, raíces s1-1, s2-2,
  la respuesta natural es h(t)K1e-2t K2e-2t,
  con h(0)0, h(0)-K1-2K21, de donde K11 y
  K2-1, entonces h(t)(e-t - e-2t)u(t)

5
Función de transferencia

• La función de transferencia o ganancia del
  sistema se puede definir como el cociente de la
  salida en estado estable entre la entrada en
  estado estable
• Función de transferencia Salida Estable /
  Entrada Estable
• Ej Al insertar una moneda en una máquina de
  chocolates se obtiene la de salida de una barra
  de chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el
  sistema es LTI para dos monedas se obtienen dos
  chocolates

6

• Hasta se ha considerado los valores en estado
  estable pero no los cambios transitorios en el
  tiempo
• Ahora veremos el comportamiento de los sistemas
  en el tiempo, se decir el comportamiento dinámico
  de los sistemas

7

• Suponga un sistema en el que la entrada x está
  relacionada con la salida y por la ecuación
• Si las condiciones iniciales son cero la ecuación
  queda
• donde G(s) es la función de transferencia

8

• Ej Escriba la función de transferencia para los
  sistemas siguientes
• A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F
  como entrada y x como salida
• B) Un circuito resistor-capacitor con v como
  entrada y vc como salida

9

• C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v
  como entrada y vc como salida
• D) Un sistema eléctrico con v como entrada y vc
  como salida
• E) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h
  como salida

10

• F) Los elementos en el sistema de un motor de cd
  controlado por armadura. Entrada (va-vb), salida
  i
• Embobinado de armadura entrada ia, salida T
• Carga entrada T, salida ?
• Lazo de realimentación
• G) Sistema hidráulico con carga

11
Estabilidad

• En el dominio del tiempo, la estabilidad de
  entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica
  que cada entrada acotada resulta en una salida
  acotada
• Las condiciones de estabilidad se pueden
  determinar de la ecuación característica
• Cada raíz debe tener una parte real negativa y la
  derivada más alta de la entrada no debe exceder a
  la de la salida

12

• Las raíces con partes reales negativas aseguran
  que la respuesta natural (y de entrada cero)
  siempre decae con el tiempo y la respuesta
  forzada (y de estado cero) siempre permanece
  acotada para una entrada acotada
• Las raíces con parte real igual a cero hacen al
  sistema inestable. Las raíces simples (no
  repetidas) con partes reales iguales a cero
  producen una respuesta natural constante (o
  senoidal) que es acotada, pero si la entrada es
  una constante o una senoide, la respuesta forzada
  es una rampa o senoide creciente

13

• Las raíces repetidas con parte real igual a cero
  producen una respuesta que es un polinomio o
  senoide creciente
• Ej El sistema y(t) 3y(t)2y(t) x(t) es
  estable ya que las raíces de su ecuación
  característica s23s20 son s-1, -2 y tienen
  partes reales neg
• El sistema y(t) 3y(t) x(t) es inestable. Las
  raíces de su ec. Característica s23s0 son
  s0,-3 una de las raíces no tiene una parte real
  negativa. Aunque su respuesta natural es acotada,
  la entrada escalón produce una respuesta forzada
  de la forma Ctu(t) que no es acotada

14

• El sistema y(t) 3y(t) x(t) es inestable.
  Las raíces de su ecuación s33s20 son s10, s20
  y s3-3 que producen la respuesta natural
  yN(t)Au(t) Btu(t) Ce-3tu(t) que es no acotada

15
Basic Tool For Continuous Time Laplace Transform

• Convert time-domain functions and operations into
  frequency-domain
• f(t) F(s)
• Linear differential equations (LDE) algebraic
  expression in Complex plane
• Graphical solution for key LDE characteristics
• Discrete systems use the analogous z-transform

16
Laplace Transforms of Common Functions
Name
f(t)
F(s)
Impulse
1
Step
Ramp
Exponential
Sine
17
Laplace Transform Properties
18
Orden de un sistema

• El orden de un sistema es la máxima potencia de
  la derivada en la ecuación diferencial
• La máxima potencia de s en el denominador de la
  función de transferencia
• Primer orden
• En el dominio de s a1s Y(s) a0 Y(s) b0
  X(s)
• G(s) b0 / (a1s a0)

19

• En el dominio de s a1s Y(s) a0 Y(s) b0
  X(s)
• b0/a0 es la F.T. en estado estable G del
  sistema, a1/a0 es la constante de tiempo ? del
  sistema

20

• Segundo orden
• donde b0, a0, a1 y b0 son constantes. Con c.i.0
  se tiene en el dominio de s
• a2s2Y(s) a1s Y(s) a0 Y(s) b0 X(s)
• G(s) b0 / (a2s2 a1s a0)

21

• La ecuación de segundo orden se puede escribir en
  términos de la frecuencia natural ? y del factor
  de amortiguamiento ?
• ? es la frecuencia angular con la cual el sistema
  oscilará en ausencia de cualquier amortiguamiento
  y ? es el factor de amortiguamiento. En el
  dominio de s
• s2Y(s) 2 ??s Y(s) ?2Y(s) b0?2 X(s)

22
First Order System
Impulse response Exponential
Step response Step, exponential
Ramp response Ramp, step, exponential
No oscillations (as seen by poles)
23
Respuesta al escalón
y G(1-e-t/?) para una entrada escalón unitario
24
Respuesta a la rampa
25
Respuesta al impulso
26
Respuesta a la rampa
27
Respuesta al impulso
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
Sistemas Discretos
32
Respuesta al impulso

• Es la respuesta de un sistema a un impulso
  unitario ?n
• Proporciona un método para encontrar la respuesta
  de estado cero de sistemas LTI sobre cualquier
  entrada usando superposición
• La respuesta al impulso y la repuesta al escalón
  se usan para evaluar el funcionamiento de los
  sistemas digitales

33

• hn Salida de LTI relajado si xn?n
• sn Salida de LTI relajado si xnun

34

• Respuesta hn por recursión
• Ej Encuentre hn si yn-?yn-1xn
• Se encuentra hn como la solución a
  hn ?hn-1 ?n sujeto a la condición
  y-10. Por recursión
• h0 ?h-1 ?01 h2 ?h1 ?2
• h1 ?h0 ? h3 ?h2 ?3
• La forma general de hn se puede encontrar como
  hn ?nun

35
Estabilidad

• La estabilidad de entrada acotada, salida acotada
  (BIBO) implica que a cada entrada acotada debe
  corresponder a una salida acotada
• Las condiciones de estabilidad se determinan por
  medio de las raíces de la ecuación
  característica una condición es que cada raíz
  debe tener una magnitud menor que uno

36

• Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen
  al sistema inestable
• Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud
  unitaria producen una respuesta natural constante
  o senoidal que es acotada, pero si la entrada es
  una constante o senoide a la misma frecuencia, la
  respuesta forzada es una rampa o senoide
  creciente (véase Tabla 5.2)
• Las raíces repetidas con magnitud unitaria
  producen una respuesta natural que es senoidal
  creciente o polinomial creciente
• Los filtros FIR son siempre estables

37
Im(s)
Higher-frequency response
Longer settling time
Re(s)
Stable
z1
Unstable
38
(No Transcript)
39
Transformada Z
40

• Example 1 Consider the time function

41
Another example

• Example 2 Now consider the time function
• Let
• Then,

42
The importance of the region of convergence

• Did you notice that the Z-transforms were
  identical for Examples 1 and 2 even though the
  time functions were different? Yes, indeed, very
  different time functions can have the same
  Z-transform! Whats missing in this
  characterization? The region of convergence
  (ROC).
• In Example 1, the sum
  converges only for
• In Example 2, the sum
  converges only for
• So in general, we must specify not only the
  Z-transform corresponding to a time function, but
  its ROC as well.

43
What shapes are ROCs for Z-transforms?

• In Example 1, the ROC was We can
  represent this graphically as

44
What shapes are ROCs for Z-transforms?

• In Example 2, the ROC was We can
  represent this graphically as
• (ROC is
• shaded
• area)

45
(No Transcript)
46
(No Transcript)
47
Propiedades de la Transformada Z
48
Transformadas Z
49
Polos de Transformada Z
50
(No Transcript)
51
(No Transcript)
52
(No Transcript)
53
(No Transcript)
54
(No Transcript)
55
(No Transcript)
56
(No Transcript)
57

• Ej El sistema yn (1/6)yn-2 xn es
  estable ya que las raíces de la ec.
  característica z2-(1/6)z-1/60 son
  z11/2 y z2 -1/3 y sus magnitudes son menores a
  1
• Ej El sistema yn yn-1 xn es inestable.
  La raíz de su ec. característica es z1 y resulta
  la respuesta natural yNKun que es acotada,
  pero si xnun, la respuesta forzada es Cnun
  que es no acotada

58

• El sistema yn 2yn-1 yn-2 xn es
  inestable. Las raíces de z2-2z10 son iguales y
  producen la respuesta natural no acotada
  yNnAun Bnun
• Ej El sistema yn (1/2)yn-1 nxn es
  lineal, variante e inestable. La entrada en
  escalón (acotada) xnun produce una respuesta
  que incluye a la rampa unn que es no acotada
• Ej El sistema ynxn 2xn-1 es estable
  porque describe un filtro FIR

59
(No Transcript)
60
Tarea C. Digital

• Evalúe la respuesta natural, forzada, de estado
  cero, de entrada cero y total. Suponga y(0)1 y
  las otras condiciones iniciales iguales a cero
• y(t) 5y(t) 6y(t) 2e-tu(t) y(0)0
  y(0)1
• y(t) 4y(t) 3y(t) 36t u(t) y(0)0
  y(0)1

61

• Obtenga la Transformada de Laplace de las
  siguientes funciones
• Un escalón de voltaje de magnitud 6V que empieza
  en t3s
• 5e-2t
• 5(1-e-2t)
• Obtenga por medio de fracciones parciales la
  Transformada de Laplace inversa de
  ( 6s8 ) / s(s1)(s2)

62

1. Utilice Matlab para encontrar los polos y ceros
   de la función de transferencia
   (5s23s4)/(s32s24s7)
2. Utilice Matlab para obtener la respuesta a una
   entrada escalón para un sistema con una función
   de transferencia 5/(s23s12)
3. Utilice Matlab para obtener la gráfica del lugar
   geométrico de las raíces para G(s)(s1)/(s24s3)

63

• Comandos de referencia de Matlab
• gtgt num
• gtgt den
• gtgt z,p,ktf2zp(num, den)
• gtgt step(num, den)
• gtgt rlocus(num, den)

64
Tarea C. Digital Avanzado

• Para el sistema 1 z-1 2z-2ynxn
  establezca su ecuación de diferencias y calcule
  la respuesta total
• Encuentre la respuesta al impulso hn por
  recursión hasta n4 para los sistemas
• yn yn-1 2xn
• yn 3yn-1 6yn-2 xn-1

65

• Investigue la causalidad y estabilidad de los
  sistemas
• yn 2yn-1 xn
• yn yn-1 0.5yn-2 xn
• yn xn xn-1 xn-2

66

• Encontrar la T.Z. de la secuencia 0,1,2,3
• Determinar la función de transferencia para un
  sistema que tiene la ecuación en diferencias
  yn2 5yn1 6n xn
• Encontrar la transformada z inversa para las
  siguientes funciones
• F(z)z/(z-1)(z-2)(z-3)

67

1. Utilice Matlab para simular la salida del
   siguiente sistema a una entrada escalón y una
   entrada senoidal