Potencia

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Potencia

• Circuitos Eléctricos 2

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Potencia instantánea
La potencia instantánea se define como p(t)
v(t) i(t) Para una resistencia es p(t) v(t)
i(t) i2(t)R v2(t)/R Para una bobina Para un
capacitor
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Potencia en el circuito RL
4
Potencia de excitación senoidal
La respuesta al estado senoidal es i(t) Im cos
(wt f)
Usando
Potencia promedio
5
Ejemplo en Matlab
Voltaje
corriente
potencia
Potencia instantanea senoidal en un circuito
RL w 1000 Vm 1 R 50 L 100e-3 Im
Vm/sqrt(RRwwLL) fi -atan(wL/R) t
00.000050.01 i Imcos(wtfi) v
Vmcos(wt) p v.i plot(t,v,t,i100,t,p100) g
rid
Factor de escala
Potencia promedio (1)(0.0089)(cos(1.107))
0.002
6
Ejemplo
Una fuente de tensión de 40 60 u(t) un
capacitor de 5 mF y un resistor de 200 están en
serie. Determine la potencia que absorbe el
resistor y el capacitor en t 1.2 ms.

• vC(0) vC(0) 40 V
• vR(0) 60 V
• por tanto
• i(0) 60/200 300 mA
• i está dada por
• i(t) 300e t /t mA
• RC 1 ms
• en t 1.2 ms i 90.36 mA
• la potencia en R es
• pR(1.2m) i2R 1.633 W

La potencia en C es i(t)vC(t) es fácil ver
que vC(t) 100 60e t /t V vC(1.2m) 100
60e1.2 V 81.93 V la potencia
es (90.36)(81.93) 7.403 W
7
Tarea 14
Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un
resistor de 200 W y un inductor de 0.2 H, están
en paralelo. En t 1ms determine la potencia que
absorbe el resistor, el inductor y la fuente
senoidal.
13.98 kW, 5.63 kW, 8.35 kW
8
Potencia promedio o activa
La potencia promedio se define como
Para una función periódica f(t) f(t T)
p(t)
t
t1
t1 T
tx
tx T
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Potencia promedio o activa
Podemos calcular la potencia promedio como
Si n se hace muy grande y con un intervalo
simétrico
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Ejemplo
i(t)
Im
i(t) Im t/T 0lttltT i(t) Im (t
T)/T Tlttlt2T p(t) Im2 Rt2/T2
0lttltT p(t) Im2R (t T)2/T2 Tlttlt2T P Im2R/3
T
2T
T
t
p(t)
Im2R
T
2T
T
t
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Potencia en estado senoidal
Para el estado senoidal
v(t) Vm cos(wt q) i(t) Im cos(wt f) p(t)
Im Vm cos(wt q) cos(wt f) p(t) ½Im Vm
cos(q - f)½Im Vm cos(2wt f q) P ½Im Vm
cos(q - f)
La potencia promedio es
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Ejemplo
Dada la tensión en el domino del tiempo v
4cos(pt/6) V, determine la potencia promedio y
una expresión para la potencia instantánea que se
produce cuando la tensión fasorial
correspondiente a V 4/_0 V se aplica a través
de una impedancia Z 2/_60 W.
13
Ejemplo
Voltaje
corriente
potencia
v(t) 4cos(pt/6) V Z 2 ?60 Ohm i(t) 2
cos(pt/660) A P ½(4)(2)cos(60) 2 W p(t)
8 cos(pt/6) cos(pt/660) 2 4 cos(pt/360) W
14
Tarea 15
Dada la tensión fasorial V 115?2?45 V en una
impedancia Z 16.26?19.3 W, obtenga una
expresión para la potencia instantánea y calcule
la potencia promedio (activa) si w 50
rad/s. 767.5 813.2 cos(50t 70.7)W 767.5 W
15
Potencia promedio absorbida por un resistor ideal
En este caso la diferencia de fase es cero, de
modo que
P ½Im Vm cos(0) ½Im Vm
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Potencia promedio absorbida por elementos
puramente reactivos
En este caso la diferencia de fase es 90 de modo
que
P ½Im Vm cos(90) 0
La potencia promedio entregada a una red formada
solo de inductores y capacitores es cero.
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Ejemplo
ZL 45j ZC -100j R 2 V1
10(cos(50pi/180)jsin(50pi/180)) V2 -5
Matriz del sistema Z ZLR, -R -R, ZCR
vector de voltajes V V1V2 corrientes I
inv(Z)V corriente en R IR I(1)-I(2)
potencia promedio en R PR Rabs(IR)abs(IR)/2 P
V1 abs(I(1))abs(V1)/2cos(angle(V1)-angle(I(1))
) PV2 abs(I(2))abs(V2)/2cos(angle(V2)-angle(I
(2))) fprintf('Potencia promedio en la
resistencia 8.6f\n',PR) fprintf('Potencia
suministrada por V1 8.6f\n',PV1) fprintf('Poten
cia suministrada por V2 8.6f\n',PV2) fprintf('S
uma 8.6f\n',PV1PV2)
Encuentre la potencia promedio (activa) entregada
a cada uno de los elementos pasivos.
---ZL-------ZC---
V1 R V2
-----------------
Potencia promedio en la resistencia
0.037576 Potencia suministrada por V1
0.042007 Potencia suministrada por V2
-0.004431 Suma 0.037576
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Tarea 16
En el circuito de la figura, calcule la potencia
promedio que absorbe cada uno de los elementos
del circuito.
---R1-------R2---
V1 ZL ZC
----------------- V1 100 V R1 4 Ohms R2
10 Ohms ZL 5j Ohms ZC -5j Ohms
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Transferencia de potencia máxima
Una fuente de tensión independiente en serie con
una impedancia Zth o una fuente de corriente
independiente en paralelo con una impedancia Zth
entrega una potencia promedio (activa) máxima a
una impedancia de carga ZL, que es el complejo
conjugado de Zth o ZL Zth.
Zth
ZL
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Potencia promedio para funciones no periódicas
i(t) sent senpt no periódica i(t) sent
sen 3.14t si periódica
El valor promedio de sen2t es ½, también el de
sen2pt es ½. El valor promedio de sent senpt es
0. Por lo tanto P ½ ½ 1 W Generalizando i(t
) Im1cosw1t Im2cosw2t ... ImNcoswNt
Superposición de potencia para frecuencias
diferentes.
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Ejemplos
Determine la potencia promedio que entrega la
corriente I1 2 cos 10t 3 cos 20t A a un
resistor de 4 W. Dado que las frecuencias son
diferentes P ½ (2)24 ½ (3)24 8 18 26
W. Determine la potencia promedio que entrega la
corriente I2 2 cos 10t 3 cos 10t A a un
resistor de 4 W. Como la frecuencia es la misma,
se debe escribir la corriente como una sola
cosenoidal. I2 cos 10t P ½ 124 2 W
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Valores eficaces de I y V
La potencia entregada a una resistencia R es
La potencia que entrega una corriente directa
es P Ief2R Igualando y despejando Ief
Esta expresión define es el valor RMS (raíz
cuadrada media)
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RMS de una senoidal
Si i(t) Im cos(wt f)
24
RMS y potencia promedio
La potencia promedio en una resistencia R es P
½ Im2 R Como Im ?2 Ief, la potencia promedio
es P Ief2 R P Vef Ief cos(q f) P Vef2 /R
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Ejemplo
La amplitud de un valor de tensión o corriente
senoidal difiere del valor eficaz por un factor
de ?2. 50/_30 V 35.4/_30 Vrms
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Valor eficaz para varias frecuencias
La potencia promedio de una señal de múltiples
frecuencias esta dada por
Por tanto
Entonces para frecuencias diferentes
27
Ejemplo
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t 4 sen(25t
30)
La siguiente función en MatLab calcula el valor
rms.
rms('6cos(25x)4sin(25x30pi/180)',2pi/25)
ans 6.1644
function y rms(f,T) calcula la raiz cuadrada
media F inline(strcat('(',f,').(',f,')')) Q
quad(F,0,T) y sqrt(1/TQ)
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Ejemplo
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t 5 cos225t
rms('6cos(25x)5cos(25x).cos(25x)',2pi/25)
ans 5.23221
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t 5 cos30t
4 Para este caso hay que utilizar
sqrt(rms('6sin(25x)',2pi/25)2rms('5sin(30x)
',2pi/30)216) ans 6.8191
29
Tarea 17
Utilice la función rms definida para Matlab para
encontrar el valor rms de a) 5 cos 40t b) v(t)
10 9 cos 100t 6 cos 100t c) h(t) 2 3
cos100t 4 cos(101t 120)
30
Potencia aparente
Para el estado senoidal
v(t) Vm cos(wt q) i(t) Im cos(wt f) La
potencia promedio es P Ief Vef cos(q - f) Al
término Ief Vef se le llama potencia aparente y
se mide en VA (Volt-Ampere). Factor de potencia
Potencia promedio/potencia aparente cos(q -
f) Al ángulo (q - f) se le llama ángulo de FP.
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Ejemplo
Calcule valores para la potencia promedio
suministrada a cada una de las cargas de la
figura, así como la potencia aparente que
proporciona la fuente y el factor de potencia de
las cargas combinadas.
La tensión eficaz es 60 V rms que aparece a la
combinación de la carga 2j11j5 3j4 W La
corriente que suministra la fuente es Is
(60/_0)/(3j4) (60/_0)/(5/_53.13)
12/_53.13 La potencia promedio que suministra
la fuente es Ps (60)(12)cos(053.13) 432
W La potencia aparente es VefIef (60)(12) 720
W El factor de potencia es PF 342/720 0.6
(retrasado) La potencia promedio que se entrega a
cada carga es Psuperior 122(2) 288 W Pderecha
122(1) 144 W
2-j1
1j5
60/_0 Vrms
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Potencia compleja
La potencia promedio esta dada por P Ief Vef
cos(q - f) Puede escribirse como P Ief Vef
Ree j(q - f) P ReVef e jq Ief e -jf) P
ReVef Ief Definimos la potencia compleja
como S Vef Ief S P jQ Donde Q es la
potencia reactiva
Im
S
Q
q - f
P
Re
Triángulo de potencia
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Potencia compleja
El signo de la potencia reactiva caracteriza la
naturaleza de la carga a la cual se especifican
Vef e Ief. Si la carga es inductiva, entonces (q
f) es un ángulo entre 0 y 90, el seno de este
ángulo es positivo y la potencia reactiva es
positiva. Una carga capacitiva produce una
potencia reactiva negativa.
Im
Vef
Iefcos(q - f)
Iefsenq - f
q - f
Ief
Re
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Medición de la potencia
Un wattímetro registra la potencia real promedio
consumida por una carga y con un varmetro se
obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la
carga. La potencia compleja entregada a varias
cargas interconectadas es igual a la suma de las
potencias complejas entregadas a cada una de las
cargas individuales, sin importar cómo están
interconectadas.
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Ejemplo
un consumidor industrial opera un motor de
inducción de 50 kW (67.1 hp) a FP retrasado de
0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V
rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores,
el consumidor debe elevar el FP retrasado.
Especifique una solución plausible.
Se debe agregar una impedancia para corregir el
FP en paralelo con el motor.
La potencia S1 tiene parte real P 50 kW y parte
imaginaria Q 50tan(cos-1(.8)) 37.5 VA,
entonces S1 50 j37.5 kVA Si se desea FP
0.95, la potencia acompleja total debe ser S 50
j50tan(cos-1(.95)) 16.43 kVA y S2 S S1
50 j16,43 50 j37.5 kVA j21.07
kVA La corriente que atraviesa S2 es I2 S2 /V
j21.07/230 j91.6 A I2 j91.6 A Z2 V/I2
230/ j91.6 j2.51 W Si f 60 Hz, un
capacitor de C 1/(2.512p60) 1.056 mF

I
I1
I2
S1
S2
V

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Terminología de potencia
Término Símbolo Unidad Descripción
Potencia instantánea p(t) W p(t) v(t)i(t) valor de la potencia en un instante cualquiera
Potencia promedio P W En el estado senoidal
Valor eficaz o rms Vrms o Irms V o A Senoidal Im/?2
Potencia aparente S VA S Vef Ief
Factor de potencia PF Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y para cargas puramente reactivas
Potencia reactiva Q VAR Para medir flujo de energía en cargas reactivas
Potencia compleja S VA S P jQ
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ejemplo
El voltaje suministrado por la fuente es de 440 a
una carga ZL 102j a través de una línea de
transmisión que tiene una resistencia total de
1.5 W. Determine a) potencia promedio y aparente
suministrada a la carga b) potencia promedio y
aparente perdida en la línea c) potencia
promedio y aparente suministrada por la fuente
d) factor de potencia de la fuente.
Vm 440 ZL 102j R 1.5 a) potencia
pormedio y aparente suministrada a la carga I
Vm/(ZLR) corriente total Im abs(I)
amplitud de la corriente VmL abs(IZL) P
real(ZL)ImIm potencia promedio carga PA
VmLIm potencia aparente carga b) potencia
pormedio y aparente perdida en la linea Vmlinea
abs(IR) Plinea RImIm potencia promedio
linea PAlinea VmlineaIm potencia aparente
carga b) potencia pormedio y aparente
suministrada por la linea Pfuente
real(ZLR)ImIm potencia promedio
fuente PAfuente VmIm potencia aparente
carga d) factor de potencia Pfuente/PAfuente Res
puestas 14.21 KW, 14.49 kVA 2.131 kW 16.34 kW,
16.59 kVA 0.985 retrasado
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Tarea
Para el circuito determine la potencia compleja
que absorbe a) el resistor de 1 Ohm, b) el
capacitor dr -10j Ohms, c) la impedancia de 5
10j Ohms, d) la fuente. ---R1---------- R1
1 Ohms R2 5 Ohms
R2 L 10j Ohms C
-10j Ohms V C V 120 Vrms
L
--------------- Solución 26.6 0j VA 0
1.331j VA 532 1065j VA -559 266j VA.