Claire Mathieu Brown

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Théorie algorithmique des jeux
Claire Mathieu (Brown)
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Introduction

• Algorithmique et informatique utiliser les
  données pour construire une solution de faible
  complexité de calcul.
• Economie et théorie des jeux les données et
  ressources sont partagées ou distribuées entre
  des participants rationnels égoïstes. En se
  servant éventuellement dincitations financières,
  construire une solution compatible avec les
  intérêts de chaque participant.

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• Equilibre de Nash
• Véracité
• Liens commerciaux de moteurs de recherche
• Partage de coût égalitaire

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Equilibre de Nash
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Equilibre de Nash

• Un participant a un choix de possibilités
  (enchères, chemins dans un réseau, etc.)
• Quand chaque participant choisit une possibilité,
  la solution ainsi définie a une valeur pour
  chacun
• Equilibre Participant x. Etant donné les choix
  des autres participants, x na pas de raison de
  changer son choix.

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Existence

• Il nexiste pas toujours déquilibre (pur)
• Exemple deux joueurs, l (ligne) et c (colonne).
  Chacun a deux possibilités 0 ou 1. Si lc, l
  paye 1 euro à c, sinon c paye 1 euro à l.
• Il existe toujours un équilibre mixte chaque
  participant choisit une distribution sur
  lensemble de ses possibilités. Etant donné la
  distribution du concurrent, x na pas de raison
  de changer sa distribution (elle maximise la
  valeur moyenne)
• Théorème de Nash, théorème de dualité de
  programmation linéaire, théorème du minmax de Yao.

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Calcul

• Quelle est la complexité de calcul dun équilibre
  de Nash?
• Jeu à 2 joueurs où le perdant paye le gagnant
  (somme des valeurs 0) résolution dun
  programme linéaire, polynomial
• Jeu à 2 joueurs général PPAD-difficile. PPAD
  classe des problèmes de recherche (type point
  fixe)

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Truthfulness
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Mécanismes

• Participants ont des valeurs qui leur sont
  privées
• Concevoir un mécanisme (algorithme) qui les
  encourage à révéler leurs vraies valeurs
• Exemple typique enchères.
• Chaque participant a en tête une valeur quil
  attribue aux objets à vendre

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Enchères de Vickrey

• Chaque participant fait une enchère
• Le gagnant est lauteur de lenchère la plus
  élevée
• Il paye le montant de la deuxième enchère la plus
  élevée
• Aucun participant na de raison de mentir, et
  donc lobjet revient finalement à la personne qui
  lui donne le plus de valeur maximisation du
  bien-être de la société (social welfare)

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Vickrey-Clarke-Groves

• Find the solution maximizing the social welfare -
  the sum of the values which participants give to
  the solution.
• If participant x is part of the solution, then
  charge x an amount equal to the increase in other
  players utility (in best solution) in the
  absence of x
• Truthful - no incentive to lie about value
• Example buying s-t path in a network.
  Participants are edges, edge lengths l(e) are
  private. Find shortest s-t path p, and pay each
  edge e of p payment(e)l(p)-(l(p)-l(e)), where
  p is the shortest path in G-e.

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Digital goods auction

• Downloadable audio file duplicated at no cost.
  Infinite supply. Participant j bids v(j),
• v(1)?v(2) ?v(3)
• Vickrey-Clarke-Groves sells at price 0
• How to stay truthful but get some revenue?
• Without truthfulness, single-price selling to at
  least 2 participants brings revenue
• Fmax(2v(2),3v(3),4v(4),)
• Randomized algorithm, truthful, with revenue Cst
  F

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Randomized algorithm

• Partition the participants into two subsets at
  random
• Find best single-price p for first set, and sell
  item at price p to every participant of second
  set who bid at least p

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Sponsored search auctions
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Googles income

• Keyword searches yields organic results and
  sponsored results

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Liens commerciaux

• Publicitaires payent Google à chaque clic
• Enchère similaire a Vickrey. Un mot-clé
• k espaces publicitaires numerotés 1,2,,k
• Publicitaire j, de valeur v(j), fait une enchère
  b(j)
• Les k enchères les plus élevées gagnent, dans
  lordre b(1),b(2),,b(k) un clic sur j coûte
  b(j1) au publicitaire

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Propriétés

• t(j) qualité de lespace j proba dun clic
• Il peut être avantageux de mentir
• Stabilité il existe un equilibre de Nash pur
• b(k1)v(k1)
• b(j)t(j)/t(j1) b(j1)(1-t(j)/t(j1)) v(j)

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Dynamique

• Comment arriver à cet équilibre?
• Par un algorithme glouton publicitaire fait une
  enchère de facon à avoir lespace j qui maximise
  son profit t(j)(v-b(j1)), si les autres
  conservent leurs enchères précédentes
• Parmi les choix denchères, il fait lenchère b
  qui donne même profit à lespace j et à lespace
  j-1
• t(j)(v-b(j1))t(j-1)(v-b)
• Théorème Si à chaque répétition un publicitaire
  aléatoire met à jour son enchère, alors il y a
  convergence en temps fini.

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Cost-sharing
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Partage de coûts

• Comment partager les bénéfices ou les coûts dune
  action commune pour que tous soient satisfaits?
• Problème du multicast avec coût des arêtes
  partagé entre les participants

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Cost-sharing Multicast

• edge e used by the paths of n(e) terminals
  charges each terminal c(e)/n(e). Terminals are
  selfish, non-cooperative.
• Nash equilibrium (N.E.) no terminal wants to
  change its path if everything else stays the
  same.
• Question how much more costly is the outcome of
  selfish choices? That is bound
  (cost of N.E.)/ OPT?

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Impact of selfishness

• (cost of worst N.E.)/OPT n
  Koutsoupias Papadimitriou99 Price of
  anarchy
• (cost of best N.E.)/OPT O(log n/ loglog n)
  Anshelevich Dasgupta Kleinberg Tardos Wexler
  Roughgarden 04, Agarwal Charikar 06 Price of
  stability
• Question what about (cost of N.E.)/OPT for N.E.
  reachable by some process?
• Best response dynamics when activated, a
  terminal always chooses its current cheapest path
  to root

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Two phase model

• Activation model Chekuri Chuzhoy Lewin-Eytan
  Naor Orda 06
• Phase 1 Terminals are activated one by one
• Phase 2 Re-activated terminals may change their
  path (arbitrary sequence of re-activations)
• O(log n/ loglog n) (cost of resulting N.E.)/OPT
  O(vn log2 n)CCLNO

re-fires
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Results

• Two phase model
• O(log n) (cost of resulting N.E.)/OPT
  O(log3 n)
• General sequence of interleaved activations and
  re-activations, except that terminal arrivals
  (first activations) are in random order
• (cost of resulting N.E.)/OPT O(vn polylog(n))
• We now sketch proof of O(log3 n) result

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Proving O(log3 n)

• Potential function
• cost potential O(log n)cost
• Re-activations decrease potential
• So, cost after phase 2
  potential after
  phase 2
  potential after phase 1
  
  O(log n)cost after phase 1
• Must prove (cost after phase 1) O(log2 n)OPT

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Analysis of phase 1

• Define Gap revealing linear program
  (cost after phase 1) Value(LP)
• Relax the LP and write dual linear program
  Value(LP) Value(Dual) by linear programming
  duality
• Define feasible dual solution
  Value(Dual) Value(solution)
• of value O(log2 n) OPT
  Value(solution) O(log2 n) OPT

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Gap revealing LP

• s(i) cost of is path on arrival of i
  b(i) cost of new edges
  bought by i
• Cost after phase 1 is at most ? b(i)s
• If terminal j arrives after terminal i, then j
  could go to i and reuse is path with discount
• s(j) d(j,i)s(i)-b(i)/2

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Relax, take dual

• Take a tree T over the terminals, such that
  child of t arrives after terminal t for all t
• Relax the linear program by writing the
  constraint s(j) d(j,i)s(i)-b(i)/2 for j child
  of i in T only
• So, dual LP has one variable z(j) for each edge
  of T between j and parent(j) (C(i) children of i
  in T)

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How is T defined?

• Must have child of t arrives after terminal t
  for all t
• Take Eulerian tour p of min spanning tree of
  terminals. We have Cost(p) ? 2 OPT
• Try to have parent(j) is in the vicinity of j
  along p, and so ? d(j,parent(j))O(log2 n)
  Cost(p)

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Random Arrivals Result

• O(vn polylog(n)) proof sketch
• Arbitrary interleaving of arrivals and
  reactivations, but assume order of arrivals is
  random
• Analyze potential F
• Reactivations decrease potential
• F(k) potential right after kth terminal arrives
  bound EF(k1) - F(k) given F(k)

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Analysis arrival of j

• Path picked by j could be complicated. Instead,
• Take Eulerian tour p of min spanning tree of
  terminals.
• Pick i randomly from previously arrived terminals
  in the vicinity of j along p, Connect j to i and
  follow is path.

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Open Problem

• General theme Bound cost of solutions reachable
  by best response dynamics
• Obvious open questionanalyze arbitrary mix of
  arrivals and reactivations

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Conclusion

• Interactions fructueuses entre informatique et
  economie/theorie des jeux