Pr

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Présentation du cours

• Théorie
• Bases de la théorie des sous-ensembles flous
• Pratique
• Utiliser la théorie (exercices)
• Applications FisPro

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Bibliographie

• La logique floue , B. Bouchon-Meunier,
  Que-sais-je? PUF, N 2702.
• Logique floue exercices corrigés et exemples
  d'applications , B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy
  et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.
• La logique floue et ses applications , B.
  Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995
• Fuzzy sets, uncertainty and information , G.
  Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

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Plan du cours

• Introduction
• Présentation du cours
• Définitions de base
• Sous-ensemble flou (sef)
• Caractéristiques de sef
• Opérations sur les sefs
• Quelques applications commerciales de la logique
  floue

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Introduction

• L'imprécision du monde réel
• Le flou est partout
• Le flou est humain
• Le flou est plus souple
• Théorie des sous-ensembles flous
• mesurer une gradation dans l'appartenance à un
  ensemble
• Une théorie mathématique formelle pour la prise
  en compte de l'imprécision et des incertitudes
• Article fondateur  Fuzzy Sets , L. A. Zadeh,
  in Information and Control, 1965.

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Historique

• 1965 Théorie des ensembles flou introduite par
  L.A. Zadeh (UC Berkeley)
• En 1973, le Pr. Zadeh publie un article (dans
  l'IEEE Transactions on Systems, Man and
  Cybernetics) qui mentionne pour la première fois
  le terme de variables linguistiques (dont la
  valeur est un mot et non un nombre).
• En 1974, Mamdani (Université de Londres) réalise
  un contrôleur flou expérimental sur un moteur à
  vapeur.
• En 1980, F.L. Smidth Co. A/S (au Danemark) met
  en application la théorie de la logique floue
  dans le contrôle de fours à ciment. C'est la
  première mise en oeuvre pratique de cette
  nouvelle théorie.
• Dans les années 80, plusieurs applications
  commencent à immerger (notamment au Japon).
• En 1987,  explosion du flou  au Japon (avec le
  contrôle du métro de Sendaï) et qui atteint son
  apogée en 1990 (fuzzymania).
• Aujourd'hui, une vaste gamme de nouveaux produits
  ont une étiquette produit flou (Fuzzy).

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Gestion des imprécisions - Approche
conventionnelle

• Dissoudre le flou puis traiter des données
  précises
• informations floues ? informations précises
• ? part importante d'arbitraire
• analyse de la sensibilité indispensable
• plusieurs jeux de données traités un par un
• comparaison des résultats

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Gestion des imprécisions - Approche floue

• Traiter des données floues puis dissoudre le flou
• Garder le flou comme une information
• Reporter la dissolution du flou le plus tard
  possible et sur la décision uniquement
• Accroissement de la fiabilité et de la stabilité
  du système

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Gestion des imprécisions

• Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi
  Zadeh en 1965.
• Modèle mathématique pour représenter
  l'imprécision et l'incertitude.
• Idée des ensembles flous facile à comprendre
• Freine dans 32m50
• ou
• Freine bientôt
• La précision n'est pas toujours utile.
• Capable d'interpréter des informations imprécises
  et d'agir.

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Ensembles classiques / Ensembles flous

• ensemble classique ensemble des objets
  satisfaisant des propriétés précises
• Exemple ensemble des nombres compris entre 6
  et 8
• fonction caractéristique m R ? 0,
  1
• m(x) 1 si 6 ? x ? 8
• 0 sinon.
• ensemble flou ensemble des objets satisfaisant
  des propriétés imprécises
• Exemple ensemble des nombres proches de 7
• fonction d'appartenance ?? X ? 0,
  1
• ??(x) pas unique.
• différence majeure unicité fonction
  caractéristique / infinité fonction d'appartenance

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Théorie des sous-ensembles flous
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Théorie des sous-ensembles flous

• Infinité de fonctions d'appartenance possibles
• flexibilité, ajustement maximal pour une
  situation donnée
• Ensemble flou toujours et seulement des
  fonctions
• Toute fonction ????X ? 0, 1 est un ensemble
  flou dans le sens mathématique. D'un point de vue
  sémantique, il faut qu'une telle fonction soit
  interprétable à l'aide de propriétés imprécises
  décrivant les éléments de X.

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Probabilité / Flou
ensembles flous déguisement pour les
statistiques ? NON
B
A
???????????
p(B) 0.9
Quelle bouteille boirez-vous ?
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Probabilité / Flou

• A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de
  l'acide chlorydrique.
• A est proche d'un liquide tout à fait potable.
• Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont
  dégoûtantes voire fatales.
• Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de
  prendre le risque de mourir.
• 2 philosophies différentes

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La théorie des sous-ensembles flous

• Une extension de la théorie des ensembles
  classiques
• Une théorie plus générale qui englobe la théorie
  des ensembles classiques
• La théorie des ensembles classiques est un cas
  particulier
• Des choix sont à faire pour conserver certaines
  des propriétés existantes dans la théorie des
  ensembles classiques
• Toutes les propriétés ne peuvent pas être
  conservées en même temps
• La logique floue application de la théorie des
  sous-ensembles flous pour la modélisation du
  raisonnement
• Extension de la logique classique
• La commande floue utilisation de la logique
  floue pour le contrôle de systèmes automatiques
• Cas particulier de la logique floue

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Exemples de sous-ensembles flous

• Xmoto,auto,train (moyens de transport)
• A sous-ensemble de X des moyens de transport
  rapides
• A 0.7 / moto 0,5 / auto 1.0 / train
• X0, 130 (ensemble des âges)
• A sous-ensemble de X des âges jeunes

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Fonctions dappartenance
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Caractéristiques d'un sef

• Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de
  fonction d'appartenance fA.
• Noyau de A
• Noy(A) x ? X fA(x)1
• Support de A
• Supp(A) x ? X fA(x)gt0
• Hauteur de A
• h(A) supx ? X fA(x)
• Cardinalité de A
• A ?x ? X fA(x)

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Support dun sef
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Noyau dun sef
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Opérations sur les sefs (1)

• Extension des opérations de la théorie des
  ensembles classiques , ?, ?, ?, complément
• Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et
  fB.
• Égalité de sefs
• A B ssi ?x ? X, fA (x) fB(x)
• Inclusion de sefs
• A ? B ssi ?x ? X, fA (x) lt fB(x)
• Intersection de sefs A ? B
• ?x ? X, fAn B (x) min(fA (x), fB(x))
• Union de sefs A ? B
• ?x ? X, fA ? B (x) max(fA (x), fB(x))

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Opérations sur les sefs (2)

• Certaines propriétés de la théorie des ensembles
  classiques sont vérifiées (à faire en exercice)
• A UØ A, A n Ø Ø, A U X X, A n X A
• Associativité de n et de U
• (A U B) U C A U(B U C)
• Commutativité de n et de U
• AnB BnA
• Distributivité de n par rapport à U
• An(B U C) (AnB) U(AnC)
• A U(BnC) (A U B)n(A U C)

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Opérations sur les sefs (3)

• Complément Ac d'un sous-ensemble flou
• ?x ? X, fAc (x) 1 fA(x)
• Certaines propriétés de la théorie des ensembles
  classiques sont vérifiées (à faire en exercice)
• (Ac)c A
• (AnB)c Ac U Bc
• (A U B)c Ac n Bc
• D'autres propriétés ne le sont pas
  (généralement)
• Ac nA ?Ø (contradiction)
• Ac U A ? X (tiers exclu).

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Opérations sur les sefs (4)

• Autres extensions des opérations de la théorie
  des ensembles classiques n et U
• Ces opérations sont en fait des fonctions
  mathématiques F0,10,1 ? 0,1 telle que ?x,
  y, F(x,y) ? 0,1.
• L'intersection peut être réalisée en prenant
  comme opérateur une t-norme (opérateur ET)
• L'union peut être réalisée en prenant comme
  opérateur une t-conorme (opérateur OU)

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Opérations sur les sefs (5)

• Justification des choix des opérateurs
• Les opérateurs min et max sont les seuls
  opérateurs qui soient commutatifs, associatifs,
  mutuellement distributifs, continus et doublement
  non décroissants
• D'autres opérateurs sont possibles
• conjonction normes triangulaires (t-normes)
• disjonction conormes triangulaires (t-conormes)
• Propriétés communes associativité,
  commutativité, monotonie, élément neutre.

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Normes triangulaires (t-normes)

• Soit une fonction ?0,10,1 ? 0,1 telle que
  ?x, y, z ? 0,1
• ?(x,y) ?(y,x) (commutativité)
• ?(x, ?(y,z)) ?( ?(x,y),z) (associativité)
• ?(x,y)? ?(z,t) si x ? z et y ? t (monotonie)
• ?(x,1) x (1 est élément neutre)
• Exemples de telles fonctions
• min(x,y), xy, max(xy-1,0)
• ? est une t-norme
• Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

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Normes triangulaires (t-conormes)

• Soit une fonction ?0,10,1 ? 0,1 telle que
  ?x, y, z ? 0,1
• ?(x,y) ?(y,x) (commutativité)
• ?(x, ?(y,z)) ?(?(x,y), z) (associativité)
• ?(x,y) ? ?(z,t) si x ? z et y ? t (monotonie)
• ?(x,0) x (0 est élément neutre)
• Exemples de telle fonction
• max(x,y), xy-xy, min(xy,1)
• ? est une t-conorme
• Utilisée pour l'union

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Dualité t-norme / t-conorme

• Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme
  est lié
• Etant donné un opérateur de complémentation
• par exemple fc 1-f
• Déf. Une t-norme et une t-conorme sont duales si
  et seulement si
• 1 ?(x,y) ?(1-x, 1-y)
• 1 ?(x,y) ?(1-x, 1-y)
• En termes de sous-ensembles, la dualité permet de
  conserver les lois de De Morgan
• Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux
• on a 1 min(x,y) max(1-x, 1-y) ainsi que 1
  max(x,y) min(1-x, 1-y)
• On montre que (à faire en exercice)
• les opérateurs probabilistes sont duaux
• les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

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Comparaison des normes de Zadeh et des normes
probabilistes
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Exemples

• Xmoto,auto,train (moyens de transport)
• Transport rapide A 0.7 / moto 0,5 / auto
  1.0 / train
• Transport familial B 0.1 / moto 1.0 / auto
  0.6 / train
• X0, 130 (ensemble des âges)

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Caractéristiques d'un sef (2) ?-coupes

• Une ?-coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un
  sous-ensemble classique A? extrait du sef A,
  défini en fonction d'un seuil ? ? 0,1 fixé
• soit ? ? 0,1, ? x ? X, x ? A? si et seulement
  si fA(x) ??
• A? est un sous-ensemble classique de X. (fA?
  prend ses valeurs dans 0,1).
• On vérifie que (à faire en exercice)
• Si ? gt ? ' alors A? ? A?' et si B ? A alors B?
  ? A?
• (A n B)? A? n B ?, et (A ? B) ? A ? ? B ?
• ? x ? X, fA(x) sup??0,1 ? f?(x) (i.e. on
  peut reconstruire A à partir de ses ?-coupes).

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?-coupes dun sef
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Relations entre sous-ensembles flous

• Relation notion fondamentale des mathématiques
  classiques
• Basée sur le produit cartésien d'ensembles
• Les relations établissent des liens entre
  éléments
• soit d'un même ensemble
• soit d'ensembles différents
• Elles permettent de construire des applications
• une application est une relation particulière

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Produit cartésien de sefs

• Cas où l'on désire combiner l'information venant
  de plusieurs ensembles de référence
• Soit X1 et X2, deux univers de référence et X
  leur produit cartésien (classique), XX1X2, dont
  les éléments sont les couples (x1,x2), x1?X1 et
  x2?X2
• Déf. Soient A1 et A2 respectivement définis sur
  X1 et X2, on définit le produit cartésien
  AA1A2 comme un sef de X, de fonction
  d'appartenance
• ?x ? X, x(x1,x2), fA(x)min( fA1(x1), fA2(x2) )

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Produit cartésien
x2
(x2 , x1)
A2
x1
X1
A1
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Exemple d'application du produit cartésien

• X1moto,auto,train (moyens de transport)
• Transport rapide
• A1 0.7 / moto 0,5 / auto 1.0 / train
• X2pasCher, cher (prix)
• Prix souhaité
• A2 0.7 / pasCher 0.4 / cher
• Donnez la fonction d'appartenance du produit
  cartésien (transport rapide, prix souhaité)

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Relations floues

• Une relation floue R entre 2 ensembles de
  références X et Y, est un sous-ensemble flou de
  XxY de fonction d'appartenance fR
• Si X et Y sont finis, R peut être représentée par
  la matrice M(R) des valeurs de sa fonction
  d'appartenance
• Exemple la relation est préféré à sur XxX
  avec XTrain, Voiture, Moto, Avion
• La composition de 2 relations floues R1 sur XxY
  et R2 sur YxZ définit une relation floue RR1 R2
  sur XxZ de f.a. définie par
• ?(x,z)? XxZ, fR(x,z) sup y ? Y min(fR1(x,y),
  fR2(y,z))

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Relation floue transitive

• Transitivité propriété très utilisée pour des
  relations
• si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors
  est-ce que A ressemble à C ?
• si x lt y et que y lt z alors x lt z
• Une relation floue R sur X est dite transitive si
  elle vérifie R?R ? R.
• En particulier, si on utilise la composition
  max-min, on dira que la relation floue R est
  max-min transitive si
• ?(x,z)? XxZ, fR(x,z) ? sup y ? Y min(fR(x,y),
  fR(y,z))

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Principe d'extension (1)

• Principe d'extension utilisé pour étendre une
  fonction classique aux sefs.

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Entrée précise
40
Entrée floue
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Principe d'extension (2)

• Idée possédant une fonction sur un univers
  classique X, permettre son utilisation avec des
  sefs de X.
• Définition Étant donné un sef A de X, et une
  application ? de X vers Y, le principe
  d'extension permet de définir un sef B de Y
  associé à A par ?
• ?y?Y, fB(y) supx ? X y ?(x)fA(x) si
  ?-1(y)?Ø 0 sinon
• Le sef B est l'image du sef A par la fonction ?.

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Exemple d'application du principe d'extension (1)

• Xcamion, caravane, voiture, moto (moyens de
  transport)
• YRapide, Lente, Normale (mesures des vitesses)
• On définit la fonction ? qui associe une vitesse
  à un moyen de transport
• ?(camion)L, ?(caravane)L, ?(voiture)N,
  ?(moto)R
• Nouveau véhicule side-car 0.5moto
  0.4voiture 0.1caravane
• Mesure de la vitesse d'un side-car?
• fB(L) max(fsc(camion),fsc(caravane))max(0,
  0.1) 0.1
• fB(N) fsc(voiture) 0.4
• fB(R) fsc(moto) 0.5

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Exemples d'application du principe d'extension (2)

• Fonction mathématique classique ?(x) x2
• A un sef de 0,1 de f. a. fA, le sef B de 0,1
  de f.a. fB qui correspond à la A2.
• ?y ?Y, fB(y) supx ? X yx2 fA(x) si
  ?-1(y)?Ø 0 sinon
• Mesure de surprise ?(p) -log(p)
• A un sef de 0,1 de f. a. fA, le sef B de 0,1
  de f.a. fB qui correspond à la valeur floue de
  surprise causée par A.