UN ALGORITHME EFFICACE POUR LA RECONNAISSANCE DE PLANS DISCRETS

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UN ALGORITHME EFFICACE POUR LA RECONNAISSANCE DE
PLANS DISCRETS

• Émilie CHARRIER
• Lilian BUZER
• Université Paris-Est
• Laboratoire d'Informatique de l'IGM
• Laboratoire A2SI, ESIEE

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OBJETS DISCRETS 3D
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OBJETS DISCRETS 3D
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PLAN DISCRET ?
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ETAT DE LART
Problème Décider si un ensemble S de n points
est un plan discret.
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OBJECTIF

• Proposer un algorithme
• avec une bonne complexité dans le pire cas
• efficace en pratique

ET
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FONCTION EPAISSEUR

• Deux plans de normale N supports de lensemble de
  points S
• Si S fonction de (x,y) dans z
  épaisseur distance verticale entre les 2 plans

H
N
H'
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FONCTION EPAISSEUR
H
N
H'
Fonction convexe
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FONCTION EPAISSEUR
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FONCTION EPAISSEUR
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FONCTION EPAISSEUR
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PLAN DISCRET ?

• S est un plan
  discret
• Existe-t-il N(a,ß,1) tel que ep(N)lt1 ?

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PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE
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PROBLEME DE REALISABILITE

• Problème de réalisabilité sur la fonction
  épaisseur
• Espace de recherche -1,1-1,1
• Espace des solutions vide ou polygone convexe

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REDUCTION DE LESPACE DE RECHERCHE PAR COUPES
1
1
0
-1
-1
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REDUCTION DE LESPACE DE RECHERCHE PAR COUPES
1
b
1
0
-1
a
-1
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REDUCTION DE LESPACE DE RECHERCHE PAR COUPES
1
b
1
0
-1
a
-1
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RATIO DE COUPE

• Coupe passant par le centre de gravité de
  lespace de recherche courant
• Ratio 4/9
• Une coupe élimination dau moins 4/9 de laire
  de lespace de recherche

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DISCRETISATION DE LESPACE DE RECHERCHE

• Grille régulière sur -1,1-1,1
  (carré critique)

ESPACE DES SOLUTIONS
CARRE CRITIQUE
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DISCRETISATION DE LESPACE DE RECHERCHE

• Espace de recherche polygone convexe à sommets
  entiers à chaque itération

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DISCRETISATION DE LESPACE DE RECHERCHE

• Espace de recherche polygone convexe à sommets
  entiers à chaque itération

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DISCRETISATION DE LESPACE DE RECHERCHE

• Espace de recherche polygone convexe à sommets
  entiers à chaque itération

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TERMINAISON DE LALGORITHME

• Aire de lespace de recherche 0
• Reste 1 seul point entier
• Reste m points entiers alignés coupes par le
  barycentre (ratio 1/2)

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ETUDE DE COMPLEXITE

• Nombre maximum de coupes
• Complexité dune coupe
• Complexité dans le pire cas O(n log9/5(D))

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AMELIORATIONS DE LALGORITHME
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME

• Initialisation de lespace de recherche en
  fonction de points extrémaux de S

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AMELIORATIONS DE LALGORITHME

• Initialisation de lespace de recherche en
  fonction de points extrémaux de S

y
x
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME

• Initialisation de lespace de recherche en
  fonction de points extrémaux de S

y
x
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME (2)

• Génération dune contrainte (coupe) grâce au
  calcul du sous-gradient

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AMELIORATIONS DE LALGORITHME (2)
RAPPEL
H
N
B
H'
A
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME (2)

• Déplacement de la contrainte

Épaisseur 10
Épaisseur 1
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME (2)

• Génération de 2 contraintes (double coupe)

Épaisseur 10
Épaisseur 1
Épaisseur 0
Épaisseur 1
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AMELIORATIONS DE LALGORITHME (2)

• Génération de 2 contraintes (double coupe)

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RESULTATS EXPERIMENTAUX
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CONCLUSION

• Reconnaissance de plans discrets comme problème
  de réalisabilité sur une fonction 2D
• Complexité dans le pire cas en O(n log9/5(D))
• Algorithme efficace en pratique pour les
  ensembles de points denses
• Application à la polyédrisation ET à la
  simplification polyédrique