Generacin de documentos cientficos en Informtica

1
Generación de documentos científicos en
Informática

• Generación de experimentos.
• Francisco Parreño Torres

2
Intentaremos ver

• Estimadores
• Contraste de hipótesis
• Diferentes contrastes de hipótesis
• Paramétricos
• No paramétricos

3
Estimación

• Un estimador es una cantidad numérica calculada
  sobre una muestra y que esperamos que sea una
  buena aproximación de cierta cantidad con el
  mismo significado en la población (parámetro).
• Con estimadores se trabaja cada vez que se toma
  una muestra de población y suponíamos que las
  medias, etc eran próximas de las de la
  población.
• Para la media de una población
• El mejor es la media de la muestra.
• Para la frecuencia relativa de una modalidad de
  una variable
• El mejor es la frecuencia relativa en la
  muestra.
• Habría que precisar que se entiende por el mejor
  estimador.

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Es útil conocer la distribución de un estimador?

• Es la clave para hacer inferencia.
• Ilustrémoslo con un ejemplo (teorema del límite
  central).
• Si de una variable conocemos µ y s, sabemos que
  para muestras grandes, la media muestral es
• aproximadamente normal,
• con la misma media y,
• desviación típica mucho menor (error estándar)
• Es decir si por ejemplo µ60 y s5, y obtenemos
  muestras de tamaño n100,
• La desv. típica de la media muestral (error
  estándar) es EE5/raiz(100)0,5
• como la media muestral es aproximadamente normal,
  el 95 de los estudios con muestras ofrecerían
  estimaciones entre 601
• Dicho de otra manera, al hacer un estudio tenemos
  una confianza del 95 de que la verdadera media
  esté a una distancia de 1.

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Estimación puntual y por intervalos

• Se denomina estimación puntual de un parámetro al
  ofrecido por el estimador sobre una muestra.
• Se denomina estimación confidencial o intervalo
  de confianza para un nivel de confianza 1-a dado,
  a un intervalo que ha sido construido de tal
  manera que con frecuencia 1-a realmente contiene
  al parámetro.
• Obsérvese que la probabilidad de error (no
  contener al parámetro) es a.
• A esta probabilidad de error se le llamará prob.
  de error de tipo I o nivel de significación.
• Valores típicos a0,10 0,05 0,01
• En general el tamaño del intervalo disminuye con
  el tamaño muestral y aumenta con 1-a.
• En todo intervalo de confianza hay una noticia
  buena y otra mala
• La buena hemos usado una técnica que en un
  alto de casos acierta.
• La mala no sabemos si ha acertado en nuestro
  caso.

6
Contrastando una hipótesis
Son demasiados...
No se si los fumadores pesarán como el resto
unos 70Kg (hipótesis nula)...
Gran diferencia! Rechazo la hipótesis
Muestra aleatoria de fumadores
7
Qué es una hipótesis?

• Una creencia sobre la población, principalmente
  sus parámetros
• Media
• Varianza
• Proporción/Tasa
• OJO Si queremos contrastarla, debe establecerse
  antes del análisis.

Creo que mi algoritmo funciona mejor que el otro
8
Introducción breve Los fumadores pesan más?
En la población de no fumadores, el pesomedio es
70 kg. Cómo podríamos demostrar si los
fumadores pesan más ... unos 5 kg más?
70
75
Veamos qué puede ocurrir si tomamos muestras de
tamaño 4 y calculamos el peso medio para cada
caso.
9
Decidir si los fumadores pesan más Tamaño
muestral
70
75
Qué puede ocurrir si tomamosmuestras de tamaño
30 y calculamos el peso medio?
10
Decidir si los fumadores pesan más Tipos de error
Tomemos la decisión basándonosen muestras de
tamaño 4... Puedo cometer 2 tipos de error.
Error de tipo II
70
75
Error de tipo I
11
Identificación de hipótesis

• Hip. Alternativa H1
• Niega a H0 (y creemos que es mejor).
• Los datos pueden mostrar evidencia a favor
• No debería ser aceptada sin una gran evidencia a
  favor.

• Hipótesis nula Ho
• La que contrastamos
• Los datos pueden refutarla
• No debería ser rechazada sin una buena razón.

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Quién es H0?

• Problema Es mejor mi algoritmo que otro?
  Solamente tenemos en cuenta quien gana.
• Solución
• Traducir a lenguaje estadístico
• Establecer su opuesto
• Seleccionar la hipótesis nula

13
Quién es H0?

• Problema La media de desviación de mi algoritmo
  es del 1?
• Solución
• Traducir a lenguaje estadístico
• Establecer su opuesto
• Seleccionar la hipótesis nula

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Razonamiento básico
Si supongo que H0 es cierta...
qué hace un científico cuando su teoría no
coincide con sus predicciones?
... el resultado del experimento sería
improbable. Sin embargo ocurrió.
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Razonamiento básico
Si supongo que H0 es cierta...
Rechazo que H0 sea cierta.
... el resultado del experimento sería
improbable. Sin embargo ocurrió.
16
Razonamiento básico
Si supongo que H0 es cierta...

• No hay evidencia contra H0
• No se rechaza H0
• El experimento no es concluyente
• El contraste no es significativo

Si una teoría hace predicciones con éxito, queda
probado que es cierta?
... el resultado del experimento es coherente.
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Región crítica y nivel de significación

• Nivel de significación a
• Número pequeño 1 , 5
• Fijado de antemano por el investigador
• Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta

• Región crítica
• Valores improbables si...
• Es conocida antes de realizar el experimento
  resultados experimentales que refutarían H0

a5
Reg. Crit.
Reg. Crit.
No rechazo H0
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Contrastes unilateral y bilateral
La posición de la región crítica depende de la
hipótesis alternativa
H1 m¹70
Bilateral
Unilateral
Unilateral
H1 mlt70
H1 mgt70
19
Significación p-valor
a
H0 m70
20
Significación p-valor
No se rechaza H0 m70
a
H0 m70
21
Significación p-valor
Es la probabilidad que tendría una región crítica
que comenzase exactamente en el valor del
estadístico obtenido de la muestra. Es la
probabilidad de tener una muestra que discrepe
aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad
de que por puro azar obtengamos una muestra más
extraña que la obtenida. p es conocido después
de realizar el experimento aleatorio El contraste
es no significativo cuando pgta
P
a
No se rechaza H0 m70
P
a
22
Significación p-valor
Se rechaza H0 m70 Se acepta H1 mgt70
a
23
Significación p-valor
El contraste es estadísticamente significativo
cuando plta Es decir, si el resultado
experimental discrepa más de lo tolerado a
priori.
a
P
Se rechaza H0 m40 Se acepta H1 mgt40
a
P
24
Resumen a, p y criterio de rechazo

• Sobre a
• Es número pequeño, preelegido al diseñar el
  experimento
• Conocido a sabemos todo sobre la región crítica

• Sobre p
• Es conocido tras realizar el experimento
• Conocido p sabemos todo sobre el resultado del
  experimento

• Sobre el criterio de rechazo
• Contraste significativo p menor que a

25
Resumen a, p y criterio de rechazo

• Sobre el criterio de rechazo
• Contraste significativo p menor que a

26
Ejemplo

• Problema Está sesgada la moneda?

Experimento Lanzar la moneda repetidamente
P6,25
P25
P3
P50
P12,5
P1,5
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Riesgos al tomar decisiones
Ejemplo 1 Se juzga a un individuo por la
presunta comisión de un delito
Los datos pueden refutarla La que se acepta si
las pruebas no indican lo contrario Rechazarla
por error tiene graves consecuencias

• H0 Hipótesis nula
• Es inocente
• H1 Hipótesis alternativa
• Es culpable

• No debería ser aceptada sin una gran evidencia a
  favor.
• Rechazarla por error tiene consecuencias
  consideradas menos graves que la anterior

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Riesgos al contrastar hipótesis
Ejemplo 2 Se cree que un nuevo tratamiento
ofrece buenos resultados
Ejemplo 3 Parece que hay una incidencia de
enfermedad más alta de lo normal
No especulativa

• H0 Hipótesis nula
• (Ej.1) Es inocente
• (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto
• (Ej.3) No hay nada que destacar
• H1 Hipótesis alternativa
• (Ej.1) Es culpable
• (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil
• (Ej. 3) Hay una situación anormal

Especulativa
29
Tipos de error al tomar una decisión
30
Tipos de error al contrastar hipótesis
31
No se puede tener todo
b
a

• bP(no rechazar H0/H1 es cierta) potencia del
  contraste.
• Lo ideal sería minimizar ambos Para un tamaño
  muestral fijo, no se pueden reducir a la vez
  ambos tipos de error.
• Para reducir b, hay que aumentar el tamaño
  muestral. Cuantos más datos más información.

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Conclusiones

• Las hipótesis no se plantean después de observar
  los datos.
• En ciencia, las hipótesis nula y alternativa no
  tienen el mismo papel
• H0 Hipótesis científicamente más simple.
• H1 El peso de la prueba recae en ella.
• a debe ser pequeño
• Rechazar una hipótesis consiste en observar si
  plta
• Rechazar una hipótesis no prueba que sea falsa.
  Podemos cometer error de tipo I
• No rechazar una hipótesis no prueba que sea
  cierta. Podemos cometer error de tipo II
• Si decidimos rechazar una hipótesis debemos
  mostrar la probabilidad de equivocarnos.

33
Contrastes paramétricos de hipótesis
34
Pruebas de contraste para un grupo

• Vamos a ver TRES contrastes.
• Contraste de hipótesis sobre la media de un grupo
  (con n observaciones independientes)
• Contraste de hipótesis sobre la proporción en un
  grupo.
• Tercero, veremos el contraste de hipótesis sobre
  la varianza de un grupo

35
Pruebas de contraste para un grupo

• Contraste de hipótesis sobre la media de un grupo
  (con n observaciones independientes)
• Veremos dos casos
• a) el caso de que conozcamos la varianza
  poblacional (caso improbable)
• b) el caso de que desconozcamos la varianza
  poblacional (caso usual)
• a) Caso de conocer la varianza poblacional
• Hipótesis nula µµ0 Hipótesis alternativa
  µ?µ0
• Supuestos estadísticos La población de origen es
  normal (o cualquier distribución, caso de que n
  sea grande)
• Estadístico de contraste

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye N(0,1)
36
Pruebas de contraste para un grupo
b) Caso de DESCONOCER la varianza
poblacional Hipótesis nula µµ0 Hipótesis
alternativa µ?µ0 Supuestos estadísticos La
población de origen es normal (o cualquier
distribución, caso de que n sea
grande) Estadístico de contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye t con n-1 gl
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
37
Pruebas de contraste para un grupo
2. Contraste de hipótesis sobre una sola
proporción (n observaciones independientes) Hipót
esis nula pp0 Hipótesis alternativa
p?p0 Supuestos estadísticos La población de
origen sigue una distribución de
Bernoulli. Estadístico de contraste (emplearemos
la aproximación a la normal hay otra fórmula
para el caso de que n sea pequeño)
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye según una N(0,1)
38
Pruebas de contraste para un grupo
3. Contraste de hipótesis sobre la varianza (n
observaciones independientes) Hipótesis nula
s2s 20 Hipótesis alternativa s2?s20 Supuestos
estadísticos La población de origen es
normal. Estadístico de contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye según una chi-cuadrado con n-1 gl
39
Pruebas de contraste para dos grupos

• El contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  medias de dos grupos
• El contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  dos proporciones
• El contraste de hipótesis sobre la igualdad de
  varianzas

En las tres situaciones, veremos el caso de que
los grupos sean independientes (no relacionados)
y el caso de que los grupos sean relacionados
40
Pruebas de contraste para dos grupos.Sobre medias

• Contraste sobre la diferencia de dos medias
  independientes (asumiendo que conozcamos la
  varianza poblacional en cada grupo atención
  caso muy poco realista)
• Contraste sobre la diferencia de dos medias
  independientes, asumiendo que si bien no
  conocemos la varianza poblacional de los grupos,
  asumimos que éstas son iguales.
• Contraste sobre la diferencia de dos medias
  independientes, asumiendo que no conocemos la
  varianza poblacional de los grupos y que éstas
  son diferentes.
• Contraste sobre la diferencia de dos medias de
  grupos relacionados

41
Pruebas de contraste para dos grupos.Sobre medias

• Contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  medias de dos grupos independientes. Caso de
  conocer la varianza poblacional de los grupos

Hipótesis nula µ1µ2 Hipótesis alternativa
µ1?µ2 Supuestos estadísticos Ambas normales (o
cualquier distribución, caso de que los tamaños
muestrales sean grandes) Estadístico de
contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye N(0,1)
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
42
Pruebas de contraste para dos grupos.Sobre medias

• Contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  medias de dos grupos independientes. Varianzas
  poblacionales desconocidas (pero iguales)

Hipótesis nula µ1µ2 Hipótesis alternativa
µ1?µ2 Supuestos estadísticos Ambas normales (o
cualquier distribución, caso de que los tamaños
muestrales sean grandes) Estadístico de
contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye t con n1n2-2 gl
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
43
Pruebas de contraste para dos gruposSobre medias

• Contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  medias de dos grupos independientes. Varianzas
  poblacionales desconocidas (pero diferentes)

Hipótesis nula m1m2 Hipótesis
alternativa m1?m2 Supuestos estadísticos Ambas
normales (o cualquier distribución, caso de que
los tamaños muestrales sean grandes) Estadístico
de contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye según t de Student con los
siguientes grados de libertad
44
Pruebas de contraste para dos gruposSobre medias

• Contraste de hipótesis sobre la diferencia de
  medias de dos grupos relacionados.

Hipótesis nula
Hipótesis alternativa Supuestos
estadísticos (de la población de diferencias)
normales (con varianza poblacional
desconocida) Estadístico de contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye t con n-1 gl
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
45
Pruebas de contraste para dos gruposSobre
proporciones

• Contraste de hipótesis sobre dos varianzas
• Contraste sobre dos proporciones con
  observaciones independientes
• Contraste sobre dos proporciones con
  observaciones dependientes

46
Pruebas de contraste para dos grupos Sobre
proporciones

• Contraste de hipótesis sobre dos proporciones
  (observ. Independientes)

Hipótesis nula p1p2p Hipótesis alternativa
p1?p2 Supuestos estadísticos Ambas de Bernoulli
Estadístico de contraste (emplearemos solo la de
muestras grandes)
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye N(0,1)
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
47
Pruebas de contraste para dos gruposSobre
proporciones

• Contraste de hipótesis sobre dos proporciones
  (observ. dependientes)

Hipótesis nula p1p2p Hipótesis
alternativa p1?p2 Supuestos estadísticos Ambas
de Bernoulli Estadístico de contraste
(emplearemos solo la de muestras grandes)
después
Observad que si la hipótesis nula fuera cierta,
DB (es decir, el mismo número de personas pasan
de favor a contra, que de contra a favor).
favor
contra
favor
A
B
antes
D
C
contra
48
Pruebas de contraste para dos gruposSobre
proporciones

• Contraste de hipótesis sobre dos proporciones
  (observ. dependientes) (cont)

Hipótesis nula BD Hipótesis
alternativa B?D Supuestos estadísticos Ambas de
Bernoulli Estadístico de contraste
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye N(0,1)
49
Pruebas de contraste para dos gruposVarianzas

• Contraste de hipótesis sobre dos varianzas
• Contraste sobre dos varianzas con observaciones
  independientes
• Contraste sobre dos varianzas con observaciones
  dependientes

50
Pruebas de contraste para dos gruposVarianzas

• Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con
  observaciones independientes

Hipótesis nula s1s2 Hipótesis
alternativa s1?s2 Supuestos estadísticos Ambas
normales Estadístico de contraste
2
2
2
2
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye F con n1 gl en el numerador y n2 gl
en el denominador
51
Pruebas de contraste para dos gruposVarianzas

• Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con
  observ. dependientes

Hipótesis nula s1s2 Hipótesis alternativa
s1?s2 Supuestos estadísticos Ambas
normales Estadístico de contraste
2
2
2
2
Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico
se distribuye t con n-2 gl
Observad que las puntuaciones x son puntuaciones
diferenciales.
52
Pruebas de contraste (sobre las medias) para más
de dos grupos

• Anteriormente hemos visto el empleo de la prueba
  t para efectuar pruebas de contraste de medias
  para dos grupos, ya fueran tales grupos
  relacionados o no relacionados.
• El problema es que la prueba t se puede emplear
  únicamente para el caso de comparar las medias de
  dos grupos. Sin embargo, en muchos casos queremos
  comparar simultáneamente tres o más grupos.
• La solución es el empleo del Análisis de Varianza
  (ANOVA ANalysis Of VAriance). El ANOVA sirve
  para el caso de dos, tres, cuatro,..., grupos, ya
  sean éstos grupos relacionados o grupos no
  relacionados.

53
Pruebas de contraste (sobre las medias) para más
de dos grupos

• Veremos, en primer lugar, el caso del ANOVA con
  dos o más grupos independientes para cuando
  tenemos una única variable independiente (o
  factor) Es el ANOVA unifactorial entre-sujetos.
• Luego veremos el caso del ANOVA cuando tenemos
  dos variables independientes (o factores) cuando
  los grupos son independientes Es el ANOVA
  factorial entre-sujetos.

54
ANOVA de un factor

• En este caso, tenemos dos o más grupos
  independientes.
• Supongamos que tenemos TRES valores para un
  factor
• 0,0.5,1 y hacemos 30 pruebas. Si asignamos 10
  pruebas a cada nivel del factor podremos medir si
  el algoritmo funciona igual con los tres valores
  del factor.
• Hipótesis nula (todas las medias poblacionales
  de los "a" grupos son iguales)
• H0 m1m2m3...mkm
• H1 Al menos dos son distintas

55
ANOVA de un factor
dfentrek-1 dfdentron-k
dftotaln-1 Si la hipótesis nula es
cierta (y se cumplen los supuestos estadísticos),
la F empírica sigue una distribución F de Fisher,
con dfentre grados de libertad en el numerador y
dfdentro grados de libertad en el
denominador. RELACIÓN ANOVA SStotalSSentreSStot
al y dftotaldfentredftotal
56
ANOVA de un factor

• Supuestos estadísticos (para asumir la
  distribución subyacente del estadístico de
  contraste)
• Normalidad. Las puntuaciones de cada grupo deben
  seguir aproximadamente una distribución normal.
  (El incumplimiento de este supuesto no es
  particularmente grave.)
• Homogeneidad de Varianzas. La varianza debe ser
  similar en los diferentes grupos. (Cuando el
  tamaño muestral de cada grupo es similar, el
  incumplimiento de este supuesto no es
  especialmente grave pero sí lo es cuando los
  grupos están claramente desequilibrados.)
• Independencia de las observaciones. Los valores
  de cada grupo deben ser independientes entre sí.
  (El incumplimiento de este supuesto es
  particularmente grave.)

57
ANOVA de un factor
Es importante observar que, si la hipótesis nula
es cierta, tanto en numerador y el denominador de
la F empírica son estimadores de la misma
varianza (por lo que la razón debería ser cercana
a 1). Ello se ve fácilmente en la siguiente
fórmula
En el denominador, es claro que tenemos una
estimación de la varianza (es el promedio de
cuasivarianzas de los grupos). Pero lo más
relevante es que si la hipótesis nula es cierta,
el numerador estima esa misma varianza. (Pero
observad que si la hipótesis nula no fuera
cierta, el numerador tenderá ser mayor y mayor
que 1.)
58
ANOVA de un factor
Región de mantenimiento de la hipótesis nula y
región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos,
por simplicidad, un alpha de 0'05).
Observa que sólo hay un valor crítico. Recordad
que una F es una t al cuadrado, de ahí que sólo
haya una cola.
59
ANOVA de un factor.Comparaciones múltiples

• Una crítica que se puede hacer al ANOVA cuando
  tenemos más de dos grupos es que, caso de
  rechazar la hipótesis nula, se hace necesario
  efectuar hipótesis específicas. (Es decir,
  rechazamos la hipótesis nula de que las tres,
  cuatro,... medias sean iguales, y ahora toca
  decidir de manera específica qué medias son
  iguales y cuáles no.)
• Ello quiere decir que ahora hemos de efectuar
  contrastes entre medias. Tales contrastes pueden
  ser contrastes simples (cuando involucran
  únicamente dos medias) o contrastes complejos
  (cuando involucran tres o más medias).
• Empleando otro criterio, los contrastes pueden
  ser "a priori" (cuando se plantean antes de
  analizar los datos) o "a posteriori" (cuando se
  plantean una vez vistos los datos),

60
ANOVA de un factor.Comparaciones múltiples

• Claro está, si tenemos 3 grupos experimentales y
  queremos hacer los 3 contrastes simples (grupo 1
  vs grupo 2 grupo 1 vs grupo 3 grupo 2 vs grupo
  3), no basta con hacer la prueba F
  correspondiente (o la prueba t) sin más.
• El tema es que al hacer varias comparaciones
  estamos inflando la probabilidad de error de tipo
  I. Es decir, si hacemos un ANOVA, la probabilidad
  de rechazar la hipótesis nula siendo cierta es
  0'05 (el habitual). Pero si en cada una de los
  contrastes empleamos un alpha de 0'05, ello
  quiere decir que al hacer los 3 contrastes de
  arriba, la probabilidad de cometer algún error de
  tipo I en el experimento es mayor de 0'05. (De
  manera análoga que comprar muchos billetes de
  lotería aumenta nuestras posibilidades de tener
  premio.)
• Por tanto, se precisa controlar la probabilidad
  de error tipo I en cada contraste, que será menor
  que 0'05.

61
ANOVA de un factor.Comparaciones múltiples

• Existen varias pruebas que permiten controlar el
  error tipo I en el experimento. Tales pruebas
  dependen de si los contrastes son "a priori" o "a
  posteriori", y de si los contrastes son simples o
  complejos.
• Cuando todos los contrastes son simples y
  queremos efectuar todas las comparaciones "a
  priori" (o bien algunas -o todas las-
  comparaciones "a posteriori"), la prueba más
  popular es la prueba de Tukey, que el SPSS
  computa fácilmente.
• Cuando tenemos unos pocos contrastes "a
  posteriori" (v.g., a-1 contrastes o menos), la
  prueba recomendada es la de Bonferroni.
• Cuando tenemos contrastes "a posteriori" y alguno
  de ellos es complejo, hemos de efectuar la prueba
  de Scheffé.
• Hay muchas otras pruebas de comparaciones
  múltiples, como podéis ver en el SPSS.

62
ANOVA de dos factores

• Veremos el caso de que tengamos dos variables
  independientes (o factores), A y B. El factor A
  tiene a niveles y el factor B tiene b niveles.
  Como ambos factores están cruzados, tenemos un
  total de axb condiciones experimentales.
• La ventaja de emplear un diseño factorial es que
  podemos examinar no sólo el efecto (principal)
  del factor A y el efecto (principal) del factor
  B, sino también el llamado efecto de interacción
  entre A y B.
• En el ANOVA obtendremos TRES razones F, en
  consecuencia.
• Efecto de interacción de AxB. Se dice que hay
  interacción entre A y B cuando el efecto de A
  difiere a través de los niveles de B o lo que es
  lo mismo, que el efecto de B difiere a través de
  los niveles de A. (Gráficamente se corresponde a
  líneas que se cruzan o tienden a cruzarse.)

63
ANOVA de dos factores

• Tenemos TRES hipótesis nulas para cada razón F
• Efecto principal de A. La hipótesis nula indica
  que todas las medias de los niveles de A son
  iguales.
• Efecto principal de B. La hipótesis nula indica
  que todas las medias de los niveles de B son
  iguales.
• Efecto de la interacción de AxB. La hipótesis
  nula indica que el efecto de A es el mismo a
  través de los niveles de B (y que el efecto de B
  es el mismo a través de los niveles de A).

64
ANOVA de un factor
65
ANOVA de dos factores

• Es importante señalar que los tres efectos (los
  efectos principales de A y de B y el efecto de
  interacción de AxB) son estadísticamente
  independientes. Por ejemplo, es perfectamente
  posible que no sean significativos ni el efecto
  principal de A ni el de B, pero que sí lo sea el
  efecto de la interacción de AxB.
• Si alguno de los efectos en el ANOVA son
  significativos, es habitualmente necesario
  efectuar más pruebas estadísticas. Por
  simplicidad, no las expondremos. (Por ejemplo,
  pensemos que el efecto a A hubiera sido
  significativo, y que los otros dos efectos no lo
  hubieran sido y pensemos que A hubiera tenido 3
  grupos. Sería necesario efectuar pruebas de
  comparaciones múltiples entre las medias
  marginales de A.)

66
Contrastes no paramétricos de hipótesis
67
Contrastes no parámetricos

• Hasta ahora hemos estudiado las llamadas "pruebas
  paramétricas", en las que hemos observado que
  había en cada una de ellas una serie de supuestos
  estadísticos más o menos severos.
• Además, las "pruebas paramétricas" que hemos
  visto (sobre la media o sobre la varianza)
  requerían que la variable se midiera (como
  mínimo) en escalas de intervalo --recuerda que
  precisaban el cálculo de medias o varianzas. Ello
  hace que no sea posible efectuarlas cuando la
  escala sea ordinal.
• Por su parte, las pruebas paramétricas pueden ser
  efectuadas cuando el nivel de medida sea ordinal,
  así como las condiciones de los supuestos
  estadísticos (v.g., homogeneidad de varianzas,
  normalidad de las puntuaciones) son menos
  estrictas.

68
Contrastes no parámetricos.

• Veremos CUATRO pruebas no paramétricas, que en
  buena medida son paralelas a las vistas en temas
  anteriores (pero en versión no paramétrica)
• Caso de dos grupos independientes
• Prueba de Mann-Whitney-----(paralela a la t de
  grupos independientes)
• Caso de dos grupos relacionados
• Prueba de Wilcoxon-----(paralela a la t de
  grupos relacionados)
• Caso de "a" grupos independientes
• Prueba de Kruskal-Wallis-----(paralela a la
  Anova de un factor)
• Caso de "a" grupos relacionados
• Prueba de Friedman-----(paralela a la Anova de
  dos factores)
• Pruebas de normalidad

69
Prueba de Mann-Whitney Comparación de grupos
independientes
1. Pasar las puntuaciones a rangos (conjuntamente
en los dos grupos) 2. Calcular la suma de los
rangos del grupo 1
Muestras pequeñas (n1 y n2 ? 20)
Hay tablas para este caso de muestras pequeñas
en todo caso, si la muestra es relativamente
grande, se puede efectuar la aproximación a la
distribución normal
(U es la suma de los rangos asignados a la
muestra 1)

Muestras grandes
La hipótesis nula es que no haya diferencias
entre los dos grupos
70
Prueba de WilcoxonComparación de grupos
relacionados
1. Restar las puntuaciones (sujeto a sujeto)
entre grupos 1 y 2, y dejarlas en valor
absoluto. 2. En valores ordinales, hacer una
columna con los rangos para G2gtG1 y otra para
G1gtG2
Muestras pequeñas
Hay tablas para este caso de muestras pequeñas
en todo caso, si la muestra es relativamente
grande, se puede efectuar la aproximación a la
distribución normal
Es la suma de rangos de la columna "G2gtG1"
Muestras grandes

La hipótesis nula es que no haya diferencias
entre los dos grupos
71
Prueba de Kruskal-WallisComparación de a grupos
independientes
1. pasar las puntuaciones a rangos (conjuntamente
en los "a" grupos) 2. computar la suma de los
rangos en cada grupo (son las Rj)
Estadístico de contraste
Si la Hipótesis nula es cierta (es decir, que no
haya diferencias entre los grupos), H se
distribuye según chi-cuadrado con a-1 grados de
libertad
Observa que se puede aplicar esta prueba cuando
no se cumplan los supuestos de homogeneidad de
varianzas ni el de normalidad del ANOVA
unifactorial entresujetos.
72
Prueba de FriedmanComparación de a grupos
relacionados
1. pasar las puntuaciones a rangos (atención
rangos dentro de cada sujeto) 2. computar la suma
de los rangos en cada grupo (son las Rj)
Estadístico de contraste
Si la Hipótesis nula es cierta (es decir, que no
haya diferencias entre los grupos), este
estadístico de contraste se distribuye según
chi-cuadrado con a-1 grados de libertad
73
Contraste de bondad de ajuste

• Es el contraste mas antiguo que existe. Parte de
  le idea de comparar frecuencias observados y
  esperadas en un modelo teórico a través de un
  histograma.
• La principal ventaja de este contraste es su
  simplicidad y que nos sirve por estudiar el
  ajuste a cualquier tipo de distribución conocida
• Hipótesis nula X sigue una distribución de tal
  forma
• Hipótesis alternativa X no sigue tal
  distribución
• Este método
• ?? se utiliza para v.a. discretas (aunque también
  es válido para v.a. continuas)
• ?? requiere que n 30 (siendo n el tamaño de la
  muestra)
• ?? requiere una agrupación con determinadas
  condiciones

74
Contraste de bondad de ajuste

• La medida de discrepancia D mide la diferencia
  entre
• la frecuencia esperada (suponiendo cierta H0) y
• la frecuencia obtenida en la muestra para los
  valores que puede tomar la v.a.
• Se define
• k número de valores distintos que puede tomar la
  variable (o número de clases en que hemos
  agrupado los valores que puede tomar la
  variable).
• pi probabilidad del valor (clase) i-ésimo
  suponiendo cierta H0.
• n tamaño de la muestra
• n pi frecuencia esperada del valor (clase)
  i-ésimo suponiendo cierta H0
• ni frecuencia obtenida en la muestra del valor
  (clase) i-ésimo.
• Suponiendo que H0 es cierta, y cuando se verifica
  que n 30 y n pi 5 , para todo i, se tiene
  que
• siendo r el número de parámetros estimados a
  partir de la muestra.

75
Contraste de kolmogorov-Smirnov

• Este contraste se va a utilizar para evaluar el
  ajuste a distribuciones de probabilidad de tipo
  continuo. En este caso el contraste se va a basar
  en la comparación entre funciones de distribución
  teorícas y observadas.
• Hipótesis nula mi variable se ajusta una
  determinada distribución de probabilidad contínua
  conocida, y por ello puedo calcular
  automáticamente la F(x) teórica.
• Hipótesis alternativa no se ajusta a es
  distribución.
• Tomo una muestra alatoria y la ordeno
• Calculo la F(x) función de distribución empírica
  de la muestra observada
• Calculo la discrepancia máxima entre las Fn(x) y
  F(x)
• El valor de la discrepancia esta tabulado para Ho
  cierta. Así la regla de decisión será si este
  valor es mayor que el tabulado rechazar.
• Si las muestras son pequeñas es más aconsejable
  el test de Shapiro-Wilks.

76
Métodos gráficos para comprobar normalidad.

• La gráfica cuantiles-cuantiles normales toma
  ventaja de lo que se conoce acerca de los
  cuantiles de la distribución normal.
• Relación cercana a una línea recta sugiere que
  los datos provienen de una distribución normal.
• La intersección en el eje vertical es una
  estimación de la media de la población y la
  pendiente es una estimación de la desviación
  estándar s.

77
Ejemplo.

• Tenemos un algoritmo metaheurístico que tiene un
  parámetro que queremos estudiar. Inicialmente le
  damos a este parámetro los valores 0, 0.5 y 1.

• existe diferencia significativa entre los tres
  valores?si es así qué valor proporciona mejores
  resultados?(estamos maximizando)

78
Ejemplo.

• En primer lugar representar los datos

79
Ejemplo.

• Dado que el tamaño de las muestras es pequeño,
  estudiamos si se cumplen las hipótesis
• Normalidad, Homogeneidad de varianzas e
  independencia.
• Para la normalidad realizamos el contraste de
  Kolmogorov-Smirnov y el de Shapiro Wilks, notar
  que al ser muestras pequeñas es más aconsejable
  el de Shapiro y obtenemos los siguientes valores
• Notar que estamos trabajando con el contraste
• H0 El grupo k sigue una distribución normal.
• H1 El grupo k no sigue una distribución normal.

• Para el primer contraste dado que el p-valor es
  0.153 no podemos rechazar Ho luego no existe
  evidencia de que para el primer valor la
  distribución no sea normal. De la misma forma
  para el segundo y para el tercero.

80
Ejemplo.

• Comprobamos la homogeneidad de varianzas
• El contraste será
• H0 s1s2s3
• H1 Las varianzas de los tres grupos no son
  iguales,

• Con la prueba de Levene en el SPSS obtenemos un
  P-valor de 0.258, por lo tanto no rechazamos H0,
  no existe evidencia en contra de que los tres
  grupos tienen la misma varianza.

81
Ejemplo.

• Ya tenemos que se cumplen las condiciones por
  tanto, podemos realizar la prueba ANOVA.
• Si realizamos la prueba ANOVA obtenemos la
  siguiente tabla

• El sig es el P-valor que aparece no es 0 sino
  3,97e-005, por lo tanto tenemos un p-valor muy
  pequeño con lo que rechazamos que para los tres
  niveles el algoritmo se comporte de la misma
  manera.

82
Ejemplo.

• Si hemos rechazado la hipótesis nula, de igualdad
  de medias podemos estudiar para que medias no
  proporcionan los mismos valores. Utilizamos el
  test de Tukey y el de Scheffe.

• Tendríamos dos conjuntos 0,0.5 y otro 1.