Econometra de Datos de Panel

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Econometría de Datos de Panel
Martín Gonzalez Rozada

• Lecture 5 Segundo Trimestre 2009

Maestría en Economía Maestría en Econometría
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Casos Especiales Generalización

• Arellano y Bond (1991) (AB) Considere el
  siguiente modelo
• yjt ? yjt-1 xjt ? cj
  ujt
• yjt xjt ? cj ujt, t1,2,...,T (AB2)
• donde xjt es un vector 1x(k-1) de variables
  explicativas. Además xjt yjt-1 xjt, y
  ? (? ?).
• Supongamos inicialmente que las xjt pueden estar
  correlacionadas con cj.

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Casos Especiales Generalización

• En este contexto, la matriz de instrumentos
  óptima depende de saber si las xjt son
  estríctamente exógenas o son secuencialmente
  exógenas.
• Si las xjt son secuencialmente exógenas, esto es
  E(xjt ujs)0 para todo t?s, entonces solo (xj0,
  , xjs-1) son instrumentos válidos para la
  ecuación en primeras diferencias del período s.
• La matriz Zj de instrumentos es entonces

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Casos Especiales Generalización

• En la ecuación ?yjt ?xjt ? ?ujt, t2,3,...,T

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Casos Especiales Generalización

• Si las xjt son estríctamente exógenas, esto es
  E(xjt ujs)0 para todo t,s, entonces todas las
  (xj0, , xjT) son instrumentos válidos para
  todas las ecuaciones en primeras diferencias.
• En la ecuación ?yjt ?xjt ? ?ujt, t2,3,...,T

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Casos Especiales Generalización

• La matriz Zj de instrumentos es entonces

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Casos Especiales Generalización

• Claramente, las xjt pueden tener elementos
  estríctamente exógenos o secuencialmente exógenos
  en cuyo caso la matriz de instrumentos se puede
  definir de forma apropiada.
• En cualquier caso el estimador de GMM toma la
  forma

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Casos Especiales Generalización

• Como antes elecciones alternativas de VN-1
  producen estimadores de un paso, , y de dos
  pasos, , respectivamente.
• Sin embargo, el número de columnas de Zj en
  cualquiera de los casos anteriores puede llegar a
  ser muy grande produciéndose una pérdida de
  eficiencia.
• Para corregir esto, en general, los programas que
  resuelven estos modelos utilizan solo algunas de
  esas columnas.

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Casos Especiales Generalización

• Ejemplo considere el siguiente modelo,
• yjt ? yjt-1 xjt ? cj ujt, T5.
• Donde xjt es 1x1 y es una variable estríctamente
  exógena.
• Primero aplicamos diferencias finitas.
• ?yjt ? ?yjt-1 ?xjt ? ?ujt,
• Ahora instrumentemos la ecuación utilizando solo
  dos rezagos.

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Casos Especiales Generalización

• En este caso Zj queda
• En este caso como las xs son exógenas utilizamos
  la propia variable como instrumento de si misma.

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Casos Especiales Generalización

• Note que debido al rezago de la variable
  dependiente se pierde una observación y debido a
  las diferencias finitas se pierde otra
  observación.
• Escribiendo el modelo stacking sobre t,
  tenemos D yj D yj(-1) ? DXj ? Duj
• Reagrupando D yj Dyj(-1) DXj (? ?) Duj
• Llamando Wj Dyj(-1) Xj, obtenemos

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Casos Especiales Generalización

• La estimación de los parámetros del modelo
• Igual que antes, para obtener el estimador de un
  paso, use

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Casos Especiales Generalización

• Si queremos adicionar las ecuaciones en niveles a
  las ecuaciones en diferencias anteriores
  (Blundell y Bond (1998) (BB)) las ecuaciones del
  modelo quedan
• D yj D yj(-1) ? DXj ? Duj
• yj yj(-1) ? Xj ? JT c uj

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Casos Especiales Generalización

• O de forma más compacta
• Donde .

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Casos Especiales Generalización

• Siguiendo con el ejemplo anterior con T5, la
  matriz de instrumentos es
• Con Zj definida por (I1).

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Casos Especiales Generalización

• El estimador de BB-GMM es entonces
• Igual que antes, eligiendo como estimador de VN-1
  a la inversa de se
  obtiene el estimador de un paso.

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Casos Especiales

• La consistencia de los dos estimadores de GMM (AB
  y BB), en cualquiera de los casos analizados,
  descansa fuertemente en el supuesto de
  exogeneidad secuencial.
• Como vimos anteriormente, el supuesto de
  exogeneidad secuencial implica que los errores
  idiosincráticos no están correlacionados.

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Casos Especiales

• Como GMM se aplica sobre la ecuación del modelo
  TRANSFORMADA, los nuevos errores del modelo al
  ser las primeras diferencias de errores que no
  están serialmente correlacionados tienen las
  siguientes características
• (1) E(?ujt?ujt-1) lt 0 y
• (2) E(?ujt?ujt-2) 0.

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Casos Especiales

• Como GMM sería inconsistente si estas condiciones
  no fueran satisfechas es indispensable tener
  algún test que contraste esta hipótesis.
• Existen tests basados en la estandarización de
  las autocovarianzas promedio que se comportan
  asintóticamente como variables normales
  estandarizadas, bajo la hipótesis nula de no
  correlación.

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Casos Especiales

• El test estadístico para correlación serial de
  orden dos en (AB2) tiene la siguiente forma
• Donde, ê-2 es el vector de residuos, de dimensión
  N(T-4)x1, rezagado dos veces. ê es el vector de
  residuos adaptado a la dimensión del vector
  anterior (i.e. N(T-4)x1).

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Casos Especiales

• Además ê viene dado por
• Uno puede definir el estadístico m1 siguiendo los
  mismos pasos.

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Casos Especiales

• Algunos programas econométricos como el STATA
  calculan y muestran los estadísticos m1 y m2
  después de la estimación utilizando AB.
• Para que el modelo esté bien estimado uno debiera
  rechazar la hipótesis nula del primer test (m1) y
  aceptar la hipótesis nula del segundo (m2).

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Casos Especiales

• Otra forma de contrastar la validez de las
  variables instrumentales en el contexto de GMM es
  utilizar un test para las restricciones de
  sobreidentificación.
• Uno de esos tests es el de Sargan (1958). Bajo la
  hipótesis nula H0 E(Zj?uj)0 el estadístico de
  contraste,

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Casos Especiales

• Donde êj ?yj - ?Xj son los residuos del
  modelo con siendo el estimador de dos pasos
  de ?. L se refiere al número de columnas de Zj y
  k es el número de columnas de ?Xj. Es decir, hay
  L-k restricciones de sobreidentificación.
• En este caso, rechazar la hipótesis nula
  indicaría que los instrumentos no son exógenos.

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Casos Especiales

• Volviendo a la salida del STATA en el ejemplo del
  Práctico 2.

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Referencias

• Arellano, M. Y S. Bond (1991) Some Tests of
  Specification for Panel Data Monte Carlo
  Evidence and an Application to Employment
  Equations, The Review of Economic Studies, Vol.
  58, No. 2 pp 277-297.
• 
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27
Referencias

• Blundell R. Y S. Bond (1998) Initial conditions
  and moment restrictions in dynamic panel data
  models, Journal of Econometrics, Vol. 87, pp
  115-143.
• GO
  BACK

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Referencias

• Sargan, J.D. (1958) The estimation of economic
  relationships using instrumental variables,
  Econometrica, 26, pp. 393-415.
• GO
  BACK

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Modelos

• Considere el siguiente modelo
• yjt ? yjt-1 xjt ? cj
  ujt
• yjt xjt ? cj ujt, t1,2,...,T (AB2)
• donde xjt es un vector 1x(k-1) de variables
  explicativas. Además xjt yjt-1 xjt, y
  ? (? ?).
• 
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Instrumentos de AB

• 
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31
Estimación GMM

• Recuerde que
• 
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Práctico 2

• En el práctico 2, usted debía replicar los
  resultados de un trabajo de Cornwell-Trumbull
  sobre un modelo económico del crimen.
• En el punto 2, pedía estimar una regresión del
  logaritmo de la tasa de crimen sobre varias
  variables explicativas. Una de esas variables
  explicativas era la variable dependiente
  rezagada.
• La siguiente es la salida del STATA de la
  estimación del modelo usando AB

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(No Transcript)
34
Práctico 2

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