Econometra de Datos de Panel

1
Econometría de Datos de Panel
Martín Gonzalez Rozada

• Lecture 6 Segundo Trimestre 2009

Maestría en Economía Maestría en Econometría
2
Paneles No Balanceados

• Hasta ahora hemos trabajado bajo el supuesto de
  que los datos que tenemos conforman lo que se
  denomina un panel balanceado. Esto es, todas las
  observaciones de corte transversal y de series
  temporales están disponibles.
• La realidad es que en la práctica esta es la
  excepción más que la regla.
• Muchas veces, los datos que tenemos tienen la
  característica de que algunas observaciones de
  series temporales no están disponibles para
  algunas observaciones de corte transversal.

3
Paneles No Balanceados

• Cuando esto ocurre, decimos que tenemos paneles
  no balanceados.
• Los paneles no balanceados pueden surgir por
  varias razones. Primero, por diseño de la
  muestra. Por ejemplo, el procedimiento puede
  simplemente rotar algunas de las observaciones de
  corte transversal de acuerdo a una regla
  específica.

4
Paneles No Balanceados

• Una segunda forma de tener paneles desbalanceados
  es el problema de la no respuesta. En la
  práctica, muchas veces, las unidades de corte
  transversal pueden elegir no responder alguna
  pregunta.
• El problema de attrition es otra forma en la
  que surgen paneles desbalanceados.
• El problema denominado attrition en la
  literatura se da cuando algunas unidades de corte
  transversal eligen salirse del panel.

5
Paneles No Balanceados

• Otra forma de obtener un panel desbalanceado
  surge cuando las unidades de corte transversal no
  desaparecen, pero ciertas variables no se
  observan por al menos algún período de tiempo.
  Este problema se conoce en la literatura como el
  incidental truncation problem.
• Cualquiera de estos casos puede presentar
  potencialmente un problema de sesgo de selección
  muestral.

6
Paneles No Balanceados

• Si la decisión de rotar las unidades de corte
  transversal no se hace aleatoriamente, ó si la no
  respuesta está relacionada con la variable a
  explicar, tendremos un problema de sesgo en la
  muestra.
• De la misma manera, si la attrition se basa en
  factores sistemáticamente relacionados con la
  variable a explicar, entonces tendremos un
  problema de sesgo de selección.

7
Paneles No Balanceados

• Comenzaremos analizando los supuestos bajo los
  cuales, el estimador usual de FE es consistente
  en paneles desbalanceados.
• El modelo es el de efectos no observables
• Yjt xjt ? cj ujt t1, 2,..., T
  (UEM)
• Donde xjt es 1xK y ? es Kx1. En esta ecuación,
  permitimos que xjt y cj estén correlacionados.
• Considere el caso en el que algunos períodos
  temporales no están disponibles para algunas
  unidades de corte transversal.

8
Paneles No Balanceados

• Denotemos por sj ? (sj1 sj2 ... sjT) al vector
  Tx1 de indicadores de selección sjt 1 si (xjt,
  yjt) se observa y cero en cualquier otro caso.
• Podemos tratar a (xj, yj, sj) j1, 2, ..., N
  como una muestra aleatoria de la población los
  indicadores de selección nos dicen que períodos
  temporales no se observan para cada j.
• Podemos escribir el estimador de FE como

9
Paneles No Balanceados

• Donde

10
Paneles No Balanceados

• Tj es el número de períodos temporales observados
  para la unidad de corte transversal j, y
  aplicamos la transformación de FE sobre los
  períodos temporales disponibles.
• Como se desprende de la ecuación anterior, el
  estimador de efectos fijos en paneles
  desbalanceados será consistente siempre que
  para todo t.

11
Paneles No Balanceados

• Como depende de todos los elementos en Xj y
  sj, necesitamos alguna forma de exogeneidad
  estricta.
• Supuesto FEUP.1 (a) E(ujt Xj, sj, cj)0,
  t1,2, ...,T (b) no es
  singular y (c) E(ujt ujt Xj, sj, cj) ?u2
  IT.
• Bajo FEUP.1(a) aplicando
  la ley de expectativas iteradas. FEUP.1(b) es la
  condición de rango usual para identificar ?.
  Estos dos supuestos aseguran la consistencia del
  estimador de FE.

12
Paneles No Balanceados

• Note que en el caso de paneles rotativos
  aleatorios, ó en el caso de que la no respuesta
  sea aleatoria y en cualquier otro caso en el que
  el mecanismo de selección sea completamente
  aleatorio, sj será independiente de (uj, Xj, cj),
  en cuyo caso FEUP.1(a) se cumple bajo el supuesto
  estándar FE.1 E(ujt Xj, cj) 0 para todo t.
• En este caso, los supuestos naturales sobre el
  modelo poblacional implican consistencia y
  normalidad asintótica en paneles no balanceados.

13
Paneles No Balanceados

• Note que FEUP.1(a) no asume nada acerca de la
  relación entre sj y (Xj, cj). Por lo tanto, si
  pensamos que el mecanismo de selección en todos
  los períodos temporales está correlacionado con
  cj ó Xj, pero ujt es independiente en media de
  sj, dado (Xj, cj) para todo t, entonces FE en el
  panel no balanceado es consistente y
  asintóticamente normal.
• Lo que FEUP.1(a) descarta es correlación entre sj
  y ujt.

14
Paneles No Balanceados

• Si adicionamos el supuesto FEUP.1(c), los
  procedimiento de inferencia estándar de FE son
  válidos. En particular
• Por lo tanto la varianza asintótica del estimador
  de efectos fijos se puede estimar como

15
Paneles No Balanceados

• El estimador de ?u2 se obtiene como
• Donde ûjt son los residuos de la estimación por
  FE.
• Los programas que resuelven datos de panel no
  balanceados corrigen por grados de libertad
  restando K de .

16
Paneles No Balanceados

• Estos resultados implican que el sesgo de
  selección muestral en el contexto del modelo de
  FE es un problema solo si el mecanismo de
  selección está relacionado con los errores
  idiosincráticos.
• Por lo tanto, cualquier test de selección
  muestral solo tiene que contrastar ese supuesto.
• Un test simple es el propuesto por Nijman y
  Verbeek (1992).

17
Paneles No Balanceados

• No obstante Nijman y Verbeek desarrollaron su
  test dentro del contexto de RE, también puede ser
  aplicado con FE.
• El test consiste en adicionar el indicador de
  selección muestral rezagado, sjt-1, a la
  ecuación. Estimar el modelo por FE en el panel
  desbalanceado y hacer un test t sobre el
  coeficiente que acompaña a sjt-1.
• Bajo la hipótesis nula que E(ujtsjr)0 ?r, el
  coeficiente que acompaña a sjt-1 no debiera ser
  estadísticamente significativo.

18
Paneles No Balanceados

• Note que poner sjt-1 no funciona si sjt-1 es uno
  siempre que sjt es uno, porque entonces no hay
  variación en sjt-1 en la muestra seleccionada
  (sjt1).
• Este es el caso del problema de attrition en el
  que , digamos, una persona solo puede aparecer en
  el período t siempre que haya aparecido en t-1.
• Una alternativa para el test anterior es incluir
  un adelanto del indicador de selección, sjt1.

19
Paneles No Balanceados

• Note que para observaciones j que están en la
  muestra todos los períodos sjt1 siempre es uno,
  mientras que para los que dejan la muestra, sjt1
  cambia de uno a cero en el período anterior al de
  la attrition.
• El problema del truncamiento incidental es un
  poco más complicado de analizar.
• Wooldridge (1995) extiende el método de Heckman
  al caso de datos de panel.

20
Paneles No Balanceados

• Considere el siguiente modelo que contiene la
  ecuación de interés y una regla de selección
  muestral.
• La ecuación de interés es
• La variable yjt se observa siempre que sjt1.
  Para cada t1, 2,,T, definamos la siguiente
  variable latente

21
Paneles No Balanceados

• Donde vjt Xj Normal(0,1). El indicador de
  selección binario se define entonces como sjt ?
  1hjt gt 0.
• xjt denota el conjunto total de variables
  explicativas en el período t y xjt1 es un
  subconjunto de esas variables.
• El mecanismo de selección descripto por la
  ecuación (W2) puede ser visto como la forma
  reducida de la ecuación de selección.

22
Paneles No Balanceados

• Incorporar las variables explicativas en todos
  los períodos temporales en la ecuación de
  selección en el período t permite acomodar
  modelos de selección muy generales, incluyendo
  aquellos que tienen efectos no observables.
• Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación
  de selección estructural

23
Paneles No Balanceados

• Donde (?j, ajt) tiene distribución conjunta
  normal con E(ajt)0 y ajt independiente de Xj. ?j
  es un efecto no observable constante en el
  tiempo.
• Si ?j es independiente de Xj como en una
  especificación de RE, entonces (W2) se cumple con
  ?t0?0 ? E(?j), ?tr0, r?t, y ?tt?.
• Para permitir que ?j esté correlacionada con Xj,
  podemos especificar, siguiendo Chamberlain (1980)
  la siguiente ecuación

24
Paneles No Balanceados

• ?j ?0 xj1 ?1 xjT ?T ?j
• donde ?j es independiente de Xj con media cero y
  distribución normal. Con estas definiciones, (W2)
  se satisface con ?t0?0, ?tr?r, r?t, ?tt??t,
  y vjt ?j ajt.
• Los supuestos necesarios para derivar la
  generalización del procedimiento de Heckman para
  paneles son.

25
Paneles No Balanceados

• Supuesto W.1
• (a) La ecuación de selección está dada por (W2)
  con todos sus supuestos
• (b) E(ujt Xj, vjt) E(ujt vjt) ?t vjt,
  t1,2,,T y
• (c ) E(cj Xj, vjt) L(cj 1, Xj, vjt).
• El supuesto (b) es estándar y sigue de asumir
  normalidad conjunta de (ujt, vjt) como en Heckman
  (1976).

26
Paneles No Balanceados

• El supuesto (c ) implica que
• E(cj Xj, vjt) Xj ? ?t vjt
• Usando la ecuación (W2) y la ley de expectativas
  iteradas tenemos
• E(cj Xj) Xj ? ?t E(vjt xj) Xj ?.
• Tomando esperanzas en (W1) tenemos

27
Paneles No Balanceados

• Condicionando en sjt1, tenemos
• Donde la última igualdad se sigue del teorema
  20.4 de Greene.
• Por lo tanto una estimación consistente de ? se
  obtiene como

28
Paneles No Balanceados

• (1) Para cada t estime un modelo Probit
• Pr(sjt1 Xj) ?(Xj ?t)
• calcule la inversa del cociente de Mills,
  ,
• para todo j y t.
• (2) Use POLS en la muestra seleccionada (sjt1) y
  estime
• Donde d2t a dTt son dummies temporales.

29
Paneles No Balanceados

• El modelo anterior es el más general, uno puede
  suponer que ?t? es constante en el tiempo. En
  este caso
• (1) Para cada t estime un modelo Probit
• Pr(sjt1 Xj) ?(Xj ?t)
• calcule la inversa del cociente de Mills,
  ,
• para todo j y t. Defina el vector de
• dimensión 1x(1TKKT)

30
Paneles No Balanceados

• (2) Aplique POLS a
• Lo que da

31
Paneles No Balanceados

• (3) Estime la varianza asintótica de los
  estimadores, , como sigue Primero
  defina los residuos,
• Defina la matriz
• Donde
• es una matriz de dimensión
  (1TKKT)xT(1TK).

32
Paneles No Balanceados

• Cada cero en la primera fila de Gjt es de
  dimensión (1TKK)x(1TK), y cada cero en la
  segunda fila de la matriz es de dimensión
  Tx(1TK). La matriz Zjt está ubicada a partir de
  la columna t-ésima y es de dimensión Tx(1TK).
• Cada cero en Zjt es de dimensión 1x(1TK).

33
Paneles No Balanceados

• Para cada t, defina como el vector (1TK)x1
  igual a menos la inversa de la matriz Hesiana
  promedio estimada multiplicada por la derivada de
  la función del logaritmo de verosimilitud del
  modelo Probit para la observación j.
• Construya el vector de dimensión T(1TK)x1
  stacking

34
Paneles No Balanceados

• La matriz  viene dada por
• Además, para cada j1, 2, ..., N defina
• Un estimador consistente de B es

35
Paneles No Balanceados

• Finalmente la varianza asintótica de los
  estimadores del modelo viene dada por
• Y los desvíos estándar asintóticos se obtienen
  con la raíz cuadrada de los elementos de la
  diagonal de esta matriz.

36
Paneles No Balanceados

• Remark 1. La corrección propuesta por Wooldridge
  requiere que se cumpla el supuesto de exogeneidad
  estricta de los regresores (condicional a los
  efectos no observables). En particular este
  supuesto es necesario para que W1.(c) se cumpla.
• Si las variables en la ecuación de interés fueran
  secuencialmente exógenas, el conjunto de
  variables válidas en la proyección lineal de cj
  variaría en el tiempo.

37
Paneles No Balanceados

• Sin embargo, si el conjunto de variables válidas
  cambia en el tiempo, los coeficientes para los
  rezagos y adelantos de las variables explicativas
  en la proyección lineal de cj variarán en el
  tiempo invalidando W.1(c).
• Esto significa que no se puede identificar en
  forma separada a los estimadores de ? y ?.

38
Referencias

• Nijman T. y M. Verbeek (1992) Nonresponse in
  panel data the impact on estimates of a life
  cycle consumption function, Journal of Applied
  Econometrics, 7, pp 243-257.
• 
  GO BACK

39
Truncamiento Incidental

• Suponga que y y z tienen una distribución
  bivariada con correlación ?. Nosotros estamos
  interesados en la distribución de y dado que z
  excede un determinado valor. Esto es, la función
  de densidad conjunta de y y z es

40
Truncamiento Incidental

• Teorema 20.4 (Greene, 1997, Cap. 20, página 975)
  Si y y z tienen una distribución normal bivariada
  com medias ?y y ?z, desviaciones estándar ?y y ?z
  y correlación ?, entonces

41
Truncamiento Incidental

• En economía el caso emblemático es el modelo de
  oferta de trabajo de las mujeres (Gronau, 1974
  Heckman, 1976). Este modelo consiste de dos
  ecuaciones, una ecuación de salarios que
  representa la diferencia entre el salario de
  mercado de una persona y su salario de reserva en
  función de características tales como la edad,
  educación, número de hijos etc.

42
Truncamiento Incidental

• La segunda ecuación es una ecuación de horas
  deseadas de trabajo que depende del salario, de
  la presencia de hijos pequeños, del estado civil,
  etc.
• El problema del truncamiento es que en la segunda
  ecuación observamos las horas reales solo si la
  persona está trabajando. Esto es, solo si el
  salario de mercado excede al salario de reserva.
  En este caso se dice que la variable horas en la
  segunda ecuación está incidentalmente truncada.

43
Truncamiento Incidental

• Para poner este ejemplo en un marco general de
  análisis, digamos que la ecuación que determina
  la selección muestral es
• y la ecuación de interés es
• La regla es que yi es observada solo cuando zi
  es mayor a cero. Asumamos que ui y ?i tienen
  distribución normal bivariada con medias cero y
  correlación ?.

44
Truncamiento Incidental

• Aplicando el teorema 20.4

45
Truncamiento Incidental

• Por lo tanto
• Está claro de este desarrollo que estimar por OLS
  la ecuación de horas, solo con los datos
  observados, produce estimadores inconsistentes de
  ? por el argumento estándar de variables
  omitidas.

46
Truncamiento Incidental

• Heckman (1979) diseñó un método de estimación en
  dos etapas.
• (1) Estime una ecuación probit para obtener
  estimaciones de ?. Para cada observación en la
  muestra seleccionada calcule
• (2) Estime por OLS ? y ?? en la regresión de y
  sobre x y .
• GO
  BACK

47
Referencias

• Greene, W. (1997) Econometric Analysis,
  Prentice Hall, Tercera Edición.
• GO
  BACK

48
Referencias

• Gronau, R. (1974) Wage comparisons A
  selectivity bias, Journal of Political Economy,
  82, pp. 1119-1155.
• Heckman, J. (1976) The common structure of
  statistical models of truncation, sample
  selection, and limited dependent variables and a
  simple estimator for such models, Annals of
  Economic and Social Measurement, 5, pp. 475-492.
• GO
  BACK

49
Referencias

• Heckman, J. (1979) Sample selection bias as a
  specification error, Econometrica, 47, pp.
  153-161.
• 
  GO BACK

50
Referencias

• Chamberlain, G. (1980) Analysis of covariance
  with qualitative data, Review of Economic
  Studies, 47, pp. 225-238.
• GO BACK

51
Referencias

• Wooldridge, J. (1995) Selection corrections for
  panel data models under conditional mean
  independence assumptions, Journal of
  Econometrics, 68, pp. 115-132.
• GO
  BACK

52
Modelo Probit

• Denotemos por ?() y por ?() a las funciones de
  densidad y de distribución acumulada de una
  normal estándar.
• La función de verosimilitud para el modelo Probit
  en cada t es
• Donde Yj es una variable binaria que adopta el
  valor 1 si j está en la muestra seleccionada

53
Modelo Probit

• Y su logaritmo natural es
• Las condiciones de primer orden son

54
Modelo Probit

• La matriz de información de Fisher es
• Por lo tanto , t1, 2,
  ..., T.
• Donde es de dimensión (1TK)x1 es
  de dimensión (1TK)x(1TK) y es de
  dimensión (1TK)x1.
• GO
  BACK

55
Supuestos

• Supuesto W.1
• (a) La ecuación de selección está dada por (W2)
  con todos sus supuestos
• (b) E(ujt Xj, vjt) E(ujt vjt) ?t vjt,
  t1,2,,T y
• (c ) E(cj Xj, vjt) L(cj 1, Xj, vjt).
• 
  GO BACK

56
Supuestos

• El supuesto (c ) implica que
• E(cj Xj, vjt) Xj ? ?t vjt
• GO
  BACK