>> Transformaci

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gtgt Transformación ltltTransformaciones 3D
LINK http//www.sc.ehu.es/ccwgamoa/docencia/Materi
al/Presentaciones
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Contenido

• Transformaciones (Foley 5, Hearn 11)
• Traslación de un cuerpo
• Escalado con pívot en el origen
• Oblicua (shear)
• Rotación de un cuerpo sobre un eje coordenado
• Transformaciones y topología
• Coordenadas homogéneas
• Matrices de transformación
• Composición de transformaciones. Ejemplos
• Álgebra matriz cambio de base, quaternion
• Gestión trfm. 3D en OpenGL

3
Traslación de un cuerpo
Entry Level Graphics Course Curriculum Western
Michigan University Jason_a.cavanaugh_at_wmich.edu h
ttp//grog.lab2.cc.wmich.edu/atkins/section52.htm
4
Descripción de la traslación

• La traslación se define mediante un vector t
• Todo punto P perteneciente al cuerpo trasladado
  pasa a una posición P determinada por el vector
  de traslación t
• Sea un punto P de coordenadas (x, y, z) deseamos
  calcular sus nuevas coordenadas (x, y, z) tras
  sufrir una traslación t (tx, ty, tz)

x x tx y y ty z z tz
ver nota
5
Escalado

• Escalado homogéneo en los tres ejes, con pívot
  (centro) de escalado en el origen

ver nota
6
...

• El escalado se puede realizar respecto de
  cualquier pívot . En este caso se ha elegido el
  centro del cubo que envuelve al sólido

ver nota
7
...

• Escalado no homogéneo en cada eje se utiliza un
  coeficiente de escalado distinto.

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Cálculo del escalado

• El escalado se define mediante factores de escala
• Escalado homogéneo un único factor s ? ?, s gt 0
  
• s gt 1 aumenta el tamaño
• s lt 1 disminuye
• Escalado heterogéneo factores de escalado en
  cada eje coordenado sx, sy, sz
• El escalado homogéneo es el más habitual
• Si consideramos como pívot el origen de
  coordenadas
• Sea un punto P de coordenadas (x, y, z), deseamos
  calcular sus nuevas coordenadas (x, y, z)

x sx x y sy y z sz z
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Oblicua (shear)
x shx x y y z z
x x y shy y z z
x x y y z shz z
x shx x y y z shz z
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Rotación sobre un eje coordenado
Entry Level Graphics Course Curriculum Western
Michigan University Jason_a.cavanaugh_at_wmich.edu h
ttp//grog.lab2.cc.wmich.edu/atkins/section52.htm
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Descripción de la rotación

• La rotación puede ser sobre cualquier eje
• Una rotación se define mediante (O, r )
• Un punto del eje
• Un vector que determina la dirección y sentido
  del eje
• El sentido positivo de giro de un eje lo
  determina la regla de la mano derecha o del
  sacacorchos

http//www.cac.psu.edu/dept/cac/publications/web/
publications/cacguide/viz/sem_notes/3d_fundamental
s
12
...

• Signo o sentido de la rotación

13
...

• Todo punto P perteneciente al cuerpo girado pasa
  a una posición P por rotación de un ángulo ß
  sobre (Q, j)
• La figura supone que ß es positivo
• De modo similar se presentan las rotaciones
  positivas (O, i), (O, k)

P
14
Giro ? Coordenada polar

• Distinguir
• Rotación (no usa origen de referencia)
• Coordenada polar (requiere referencia)

Coordenada polar referida al eje z
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Cálculo rotación de un punto (eje y)

• Sea un punto P de coordenadas (x, y, z) deseamos
  calcular sus nuevas coordenadas (x, y, z) tras
  girar un ángulo ß alrededor del eje y
• P estará contenido en un plano perpendicular a j
  que pasa por P
• Resolveremos el problema en ese plano

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x z sin ß x cos ß y y z z cos ß x
sin ß

• Usando dos parámetros auxiliares a y d
  (distancia de P al eje y), se puede expresar
• x d sin a
• z d cos a
• Similarmente, y sustituyendo lo anterior, se
  obtiene
• x d sin (a ß ) d ( cos a sin ß sin a cos
  ß ) z sin ß x cos ß
• y y
• z d cos (a ß ) d (cos a cos ß sin a sin
  ß ) z cos ß x sin ß
• Que se puede expresar matricialmente

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Transformaciones y topología

• Se puede observar que las relaciones topológicas
  entre vértices, aristas y caras no varían en
  ninguna de las transformaciones estudiadas
• Tampoco varían sus ángulos relativos, excepto en
  el caso de escalado no homogéneo

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Coordenadas homogéneas

• Utilizaremos coordenadas homogéneas (Burgos
  11.8)
• Con una única estructura de datos se describen
  todas las transformaciones matrices M44
• Permite componer una sucesión de transformaciones
  en una única matriz
• No toda M44 representa una transformación
  geométrica válida
• Lo habitual será considerar la unidad en la
  cuarta coordenada (la homogénea)

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Matriz de traslación

• Expresaremos ahora la translación de un punto
  usando coordenadas homogéneas

20
Matrices de rotación sobre ejes coord.
Rotación en x
Rotación en y
Rotación en z
21
...
Escalado
Oblicua en xy (z invariante)
Reflexión plano xy
22
Matrices inversas
ver nota
23
...
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Composición de transformaciones

• Apliquemos una transformación P MT1 P
• Apliquemos otra P MT2 P MT2 MT1
  P ?
• La matriz que acumula ambas transformaciones será
  
• M MT2 MT1
• En general M MTn ... MT3 MT2 MT1

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No conmutativa

• La composición de transformaciones no es
  conmutativa

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Ejemplo transformar vector ligado

• Problema dados dos vectores ligados encontrar
  la transformación que lleva a uno sobre el otro
  
• Sean dos vectores ligados especificados mediante
  su punto origen y su vector. Los denominaremos
  móvil (Am , vm ) y fijo (Af , vf )
• Se trata de determinar la matriz de
  transformación que aplicada a Am obtiene Af y
  aplicada al punto Amvm lo transforma situándolo
  sobre el semieje positivo de vf

• NOTA se dibuja en negro la recta soporte
• Continua por encima del plano xz
• Discontinua por debajo

27
...

• Resolvemos el problema con ambos vectores
  aplicados en el origen
• Usaremos coordenadas esféricas (mod, f, ?) nota
• Llevamos vm sobre el plano yz mediante
  rotY(-fm) vm
• Lo transformamos sobre z con rotX(?m) vm
• Deshacemos esa rotación con rotX(-?f)
• Y queda resuelto el problema aplicando rotY(ff)

vxzsqrt(vx2vz2) if( vxz / v lt e ) f
0 else f acos( vz/ vxz ) if( vx lt
0 ) f - f
? sin( vy / v )
Siempre resulta -p ? f ? p -p/2 ? ? ? p/2
ver nota
28
...

• El problema completo queda resuelto componiendo
  también las transformaciones de traslación
• trans(-Am)
• rotY(-fm)
• rotX(?m)
• rotX(-?f)
• rotY(ff)
• trans(Af)

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Ejemplo giro sobre cualquier eje

• Problema giro sobre cualquier eje (Hearn
  11.9)
• Sea un eje definido por (Q, r )
• Dado P (x, y, z) deseamos conocer sus nuevas
  coordenadas (x, y, z) tras rotarle un ángulo ?
  sobre dicho eje
• El problema se resuelve mediante composición de
  transformaciones
• Primero se enuncian las transformaciones
• Después se determina el cálculo de cada una de
  ellas
• Finalmente se explica como evaluar los ángulos
  requeridos

30

• Componiendo las siguientes transformaciones queda
  el problema resuelto

31
...

• Solución
• Sea R tal que R Q r
• Calcular la traslación que lleva Q al origen
• M1 MT(-qx, -qy, -qz)
• Se cumplirá que
• r M1 r
• el resultado verificará que
• r r
• Q M1 Q
• el resultado verificará que
• Q O (queda sobre el origen)
• R M1 R
• el resultado verificará que
• OR r r

32
...

• Para calcular el ángulo a entre p y pyz tendremos
  en cuenta
• p es el plano que pasa por el eje z, y contiene a
  r
• pyz es el plano definido por los ejes y-z
• Se cumple, por tanto, que O ? p r ? p k ? p
• rxy es la proyección ortogonal de r sobre pxy
• a es el ángulo formado por rxy y j
• Tener en cuenta el sentido de giro positivo k
• Calcular M2 MRz (a)
• Aplicar M2 a R para obtener R
• R quedará sobre pyz
• es decir, se verificará que, Rx 0
• r quedará paralelo a ese plano,
• es decir, se verificará que, rx 0

33
...

• Calcular el ángulo ß entre r y j
• Tener en cuenta el sentido de giro positivo i
• Calcular M3 MRx (ß)
• Si se aplicase M3 (ß) a R se obtendría R
• R quedaría situado sobre el eje y

34
...

• Calcular la matriz de giro M4 MRy (?)
• Una vez calculado el giro ? alrededor del eje
  transformado, habrá que invertir el proceso de
  transformación y para ello se calculan las
  matrices inversas
• M5 MRx (-ß)
• M6 MRz (-a)
• M7 MT(qx, qy, qz)
• La matriz de transformación que resuelve el
  problema planteado será la que combina todas esas
  transformaciones
• M(Q,r) (?) M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1
• No se calcula la expresión algebraica de la
  matriz M(Q,r) (?), sino que se crea el código que
  realiza esos procedimientos

35
...

• Cálculo del ángulo a
• Se proyecta r sobre pxy rxy (rx, ry, 0)
• cos a j rxy / rxy
• cos a ( (0, 1, 0) (rx, ry, 0) ) / (rx2 ry2
  )1/2
• cos a ry / (rx2 ry2 )1/2
• Como cos (a) cos (a) , entonces
• si rx lt 0 entonces el ángulo debe ser (2p- a) ?
  a - a

a acos ( ry / (rx2 ry2 )1/2 ) si rx lt 0 ? a
- a
ver nota
36
...

• Cálculo del ángulo ß
• R, y por tanto r, ha quedado abatido sobre
  pyz
• cos ß j r / r
• cos ß ( (0, 1, 0) (0, ry, rz) ) / (ry2
  rz2 )1/2
• cos ß ry / (ry2 rz2 )1/2
• Como cos ß cos ß , entonces
• si rz gt 0 entonces el ángulo debe ser (2p- ß)
  ? ß - ß

ß acos ( ry / (ry2 rz2 )1/2 ) si rz gt
0 ? ß - ß
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Matriz inversa

• Dada una matriz de transformación 3D cualquiera,
  su inversa se puede calcular por lo métodos
  habituales del Álgebra de matrices
• La matriz inversa se puede calcular de modo
  directo si la transformación se ha construido
  componiendo
• Traslaciones
• Rotaciones sobre ejes
• Escalado (tanto homogéneo como heterogéneo)
• Dada una matriz de ese tipo se puede descomponer
  en un producto de tres matrices (4x4)
• M T R S

38
...

• Se puede comprobar que si
• Entonces

39
...

• Por tanto
• M-1 (T R S)-1 S-1 R-1 T-1
• Y las inversas de estas matrices se calculan
  fácilmente

R-1 RT por ser una matriz de columnas
ortonormales
1/ R1 0 0 0 1/ R2 0 03x1 0 0 1/R3 01x
3 1
40
Transformaciones vectores fila

• Hasta ahora se han utilizado vectores columna
• Pero, existen otros modos de gestión, por
  ejemplo, OpenGL utiliza una versión transpuesta
  (vectores fila)

x y z 1
x y z 1
ver nota
41
...

• Todo lo visto es válido, si se tiene en cuenta
  que hay que transponer la matrices de
  transformación
• El modo de componer transformaciones, sigue el
  orden opuesto al visto, quedando
• M MT1 MT2 MT3 ... MTn
• OpenGL almacena estas matrices en un vector del
  siguiente modo
• r1x r1y r1z 0 r2x r2y r2z 0 r3x r3y r3z 0 tx ty
  tz 1

42
Otros ejercicios de composición

• Cambio de sistema de referencia
• Calcular la matriz de transformación que, con
  pívot en P (Px, Py, Pz), realiza un escalado no
  homogéneo de coeficientes (Sx, Sy, Sz)
• Pegado de objetos usando caras, aristas y
  vértices
• Movimientos relativos
• Gestión de pilas y composición
• Transformación de vectores
• Transformación de planos

43
Álgebra matriz cambio de base
44
Transf. 3D vs. Cambio Sist. Ref.
45
Quaternion

• Fundamentos matemáticos (Hearn Anexo 6)
• q s ia jb kc q (s, v)
• q1q2 (s1s2, v1v2)
• q1q2 (s1s2 - v1 v2 , s1 v2 s2v1 s1v1 ?
  v2)
• q2 s2 v v
• q-1 (1/q2) (s, -v)
• Uso en rotaciones (Hearn 11.2, al final)

46
Clase trfm3D
47
Gestión trfm. 3D en OpenGL
48
Animación y transformación 3D

• Animación 3D
• Cadena abierta
• Cadena cerrada
• Trayectorias
• Movimiento con restricciones (automóvil, avión)
• Control
• Interactivo (grados de libertad)
• Procedural ley, comportamiento, agente, etc
• Definición posición
• Parámetros para posicionamiento relativo
• Matriz para cada sólido