Title: Matemticas para Ciencias de la Computacin MCC3182
1Matemáticas para Ciencias de la
ComputaciónMCC3182
- Principio de Inducción Matemática
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- Supóngase que tenemos la sucesión de números
naturales con la propiedad de que dichos números
son de color rojo. - 1,2,3,4,5,6,7...
- Supongamos que
- El primer natural es de color rojo (1).
- Si todos los naturales que preceden al
(n1)-ésimo son de color rojo, entonces el
(n1)-ésimo número es de color rojo (2). - Para demostrar que el número 8 es de color rojo,
se observa que todos los que preceden al 7 y, por
(2) el número 7 también es de color rojo. - Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción
Matemática
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- Inducción Matemática
- Ejemplo
- Denótese por Sn1234...n (1)
- Consideremos que se afirma que
- Snn(n1)/2 para n1,2,... (2)
- Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a
saber - S11(2)/21
- S22(3)/23
- S33(4)/26
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- Supóngase que cada ecuación verdadera está
marcada con una X. Dado que la primera ecuación
es verdadera, - S11(2)/2 X
- S22(3)/2 X
- S33(4)/2 X
- Sn-1(n-1)n/2 X
- Snn(n1)/2 X
- Sn1(n1)(n2)/2 ?
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- Supóngase ahora que puede demostrarse que si
todas las ecuaciones que preceden a la
(n1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la
(n1)-ésima ecuación también lo está. - Debe probarse que si todas las ecuaciones que
preceden a la (n1)-ésima son verdaderas,
entonces la (n1)-ésima ecuación también es
verdadera. - Sn1123...n(n1)
- Sn(n1)
- n(n1)/2(n1)
- (n1)(n2)/2
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- Principio de Inducción Matemática Supóngase que
se tiene una proposición S(n) para cada entero
positivo n, la cual es verdadera o falsa.
Consideremos que - Paso Básico
- S(1) es verdadera
- Paso Inductivo
- si S(i) es verdadera para todo iltn1, entonces
S(n1) es verdadera.
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- Ejemplo Use inducción para demostrar que si a es
distinto de 1, (Suma Geométrica). - 1a1a2...an(an1-1)/(a-1)
(1) - Paso Básico Se obtiene cuando n0,
- 1(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero.
- Paso InductivoSupongamos que la proposición es
verdadera para n. Ahora - 1a1a2...anan1 (an1-1)/(a-1)an1
- (an1-1)/(a-1)(an1(a-1))/(a-1)
- (an2-1)/(a-1)
- Como el paso básico y el paso inductivo ya han
sido verificados, el principio de inducción
matemática establece que (1) es verdadera para
n0,1,2,...
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- Grafo Ciencias de la Computación
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- Definición
- Un grafo es una conjunto de vértices V y un
conjunto de arcos E,tal que - Así E, es simplemente una relación binaria en el
conjunto V.
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14Matemáticas para Ciencias de la
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- Representación de Matriz Booleana
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- Operaciones sobre la Matriz Booleana
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- Composición Usando Matrices
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19Matemáticas para Ciencias de la
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- Definición
- Un grafo simple es una conjunto de vértices V y
un conjunto de arcos E, donde cada arco es una
par no ordenado de distintos vértices a y b. - El grado de un vértice es el número de arcos que
se conectan a el. -
- Ejercicio Dibuje un grafo con 3 vértices de
grado 2,2 y 1.
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- ProblemaLocalización de galpones para aeronaves.
- Horario de Aerolíneas
- Dado un conjunto de vuelos que llegan a
distintos horarios, Cuántos galpones necesitamos
para poder acomodar dichos aviones?
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- Solución Coloreo de Grafo
- Se colorea cada vértice de manera que no queden
dos vértices adyacentes con el mismo color.
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- Asignación de Galpones (o colores)
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- Fuente de Problemas
- Cómo podemos programar los exámenes finales con
el objetivo de que no se tomen dos al mismo
tiempo?. - cuántos habitad diferente necesito para que
algunas especies animales puedan coexitir con
otras especies?.
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- Número Cromático
- Pregunta Cuál es la cantidad mínima de colores
que necesito para resolver el problema? - Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?
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- Principio de Inducción Matemática Supóngase que
se tiene una proposición S(n) para cada entero
positivo n, la cual es verdadera o falsa.
Consideremos que - Paso Básico
- S(1) es verdadera
- Paso Inductivo
- si S(i) es verdadera para todo iltn1, entonces
S(n1) es verdadera.