Captulo 4

1
Capítulo 4

• La Utilidad

2
Preferencias - Un Repaso

• x y x es preferida estrictamente a y.
• x y x e y son igualmente preferidas.
• x y x es al menos tan preferida como y.

p
3
Preferencias - Un Repaso

• Completitud Dadas dos cestas x e y es siempre
  posible decidir que o bien
  x y o bien y x.

4
Preferencias - Un Repaso

• Reflexividad Cualquier cesta x es al menos tan
  preferida como ella misma es decir,
  x x.

5
Preferencias - Un Repaso

• Transitividad Six es al menos tan preferida
  como y, ey es al menos tan preferida como z,
  entoncesx es al menos tan preferida como z es
  decir, x y e y z x z.

6
Funciones de Utilidad

• Una relación de preferencias que es completa,
  reflexiva, transitiva y continua se puede
  representar por una función de utilidad continua.
• Continuidad significa que cambios pequeños en una
  cesta de consumo provocan sólo cambios pequeños
  en el nivel de preferencia.

7
Funciones de Utilidad

• Una función de utilidad U(x) representa a
  relación de preferencias si y sólo si
  x x U(x) gt U(x)
  x x U(x) lt U(x)
  x x U(x) U(x).

p
p
8
Funciones de Utilidad

• Utilidad es un concepto ordinal.
• Por ejemplo, si U(x) 6 y U(y) 2 entonces la
  cesta x es estrictamente preferida a la cesta y.
  Pero no significa que x preferida tres veces más
  que y.

9
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Considerar las cestas (4,1), (2,3) y (2,2).
• Supongamos que (2,3) (4,1) (2,2).
• Asignamos números a estas cestas de forma que se
  preserva el orden de preferenciaspor ejemplo,
  U(2,3) 6 gt U(4,1) U(2,2) 4.
• Estos número se llaman niveles de utilidad.

p
10
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Una curva de Indiferencia contiene cestas
  igualmente preferidas.
• Igual preferencia ? mismo nivel de utilidad.
• Por tanto, todas las cestas en una curva de
  indiferencia tienen el mismo nivel de utilidad.

11
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Por tanto, las cestas (4,1) y (2,2) están en la
  curva de indiferencia con nivel de utilidad U º 4
• Pero, la cesta (2,3) está en la curva de
  indiferencia con nivel de utilidad U º 6.
• Sobre un diagrama de curvas de Indiferencias,
  está información se representa de la manera
  siguiente

12
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
(2,3) (2,2) (4,1)
p
U º 6
U º 4
x1
13
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Otra forma de visualizar esta misma información
  es representar el nivel de utilidad sobre el eje
  vertical.

14
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
Representación 3D para 3 cestas, nivel de utilidad
U(2,3) 6
Utilidad
U(2,2) 4 U(4,1) 4
x2
x1
15
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Esta visualización 3D de las preferencias se
  puede representar de una manera más informativa
  añadiendo las dos curvas de Indiferencia.

16
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
Utilidad
U º 6
U º 4
x2
Curvas de indiferencia Mayores, contienen Cestas
más preferidas
x1
17
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Comparando más cestas obtenemos una colección
  mayor de curvas de indiferencia y una descripción
  mejor de las preferencias del consumidor.

18
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
U º 6
U º 4
U º 2
x1
19
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Igual que antes, podemos visualizar esto en 3D,
  dibujando cada curva de Indiferencia a la altura
  de su nivel de utilidad.

20
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
Utilidad
U º 6
U º 5
U º 4
U º 3
x2
U º 2
U º 1
x1
21
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• Comparando todas las cestas posibles obtenemos la
  colección completa de todas las curvas de
  Indiferencia del consumidor, cada una con su
  nivel de utilidad.
• Esta colección de las curvas de Indiferencia
  representa completamente las preferencias del
  consumidor.

22
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
23
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
24
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
25
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
26
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
27
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x2
x1
28
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
29
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
30
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
31
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
32
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
33
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
34
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
35
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
36
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
37
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
x1
38
Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia

• La colección de todas las curvas de Indiferencia
  para una relación de preferencias dada es una
  función de indiferencia.
• una función de indiferencia es equivalente a una
  función de utilidad.

39
Funciones de Utilidad

• Hay más de una función de utilidad que representa
  a una relación de preferencias.
• Supongamos que U(x1,x2) x1x2 representa a una
  relación de preferencias.
• Consideremos, de nuevo, las cestas (4,1), (2,3) y
  (2,2).

40
Funciones de Utilidad

• U(x1,x2) x1x2, por lo queU(2,3) 6 gt U(4,1)
  U(2,2) 4es decir, (2,3) (4,1) (2,2).

p
41
Funciones de Utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Definamos V U2.

42
Funciones de Utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Definamos V U2.
• Entonces, V(x1,x2) x12x22 y V(2,3) 36 gt
  V(4,1) V(2,2) 16De nuevo,(2,3) (4,1)
  (2,2).
• V preserva el mismo orden que U y, por tanto,
  representa las mismas preferencias.

p
43
Funciones de Utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Definamos W 2U 10.

44
Funciones de Utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Definamos W 2U 10.
• Entonces W(x1,x2) 2x1x210 por lo que W(2,3)
  22 gt W(4,1) W(2,2) 18. De nuevo,(2,3)
  (4,1) (2,2).
• W preserva el mismo orden que U y V y, por tanto,
  representa las mismas preferencias

p
45
Funciones de Utilidad

• Si
• U es una función de utilidad que representa a la
  relación de preferencias y
• f es una función estrictamente,
• entonces V f(U) es otra función de utilidad
  que también representa

46
Sustitutos Perfectos

• Cómo son las curvas de indiferencia de la
  función de utilidad, V(x1,x2) x1
  x2 ?

47
Sustitutos Perfectos
x2
x1 x2 5
13
x1 x2 9
9
x1 x2 13
5
V(x1,x2) x1 x2.
5
9
13
x1
48
Sustitutos Perfectos
x2
x1 x2 5
13
x1 x2 9
9
x1 x2 13
5
V(x1,x2) x1 x2.
5
9
13
x1
Todas las curvas de indiferencia son líneas
rectas paralelas.
49
Complementarios Perfectos

• Cómo son las curvas de indiferencia de
• La función de utilidad, W(x1,x2)
  minx1,x2 ?
• complementarios perfectos

50
Complementarios Perfectos
x2
45o
W(x1,x2) minx1,x2
minx1,x2 8
8
minx1,x2 5
5
3
minx1,x2 3
3
5
8
x1
51
Complementarios Perfectos
x2
45o
W(x1,x2) minx1,x2
minx1,x2 8
8
minx1,x2 5
5
3
minx1,x2 3
3
5
8
x1
Las líneas de indiferencia son ángulos rectos con
vértices sobre un rayo que parte del origen.
52
Preferencias cuasilineales

• Una función de utilidad de la forma
  U(x1,x2) f(x1) x2es lineal sólo en x2 y se
  llama cuasi-lineal.
• Por ejemplo, U(x1,x2) 2x11/2 x2.

53
Preferencias cuasilineales
x2
Cada curva de indiferencia se obtiene desplazando
cualquier otra de manera vertical.
x1
54
Preferencias Cobb-Douglas

• Una función de utilidad de la forma
  U(x1,x2) x1a x2bcon a gt 0 y b gt 0 es una
  función de utilidad de tipo Cobb-Douglas.
• Por ejemplo,
• U(x1,x2) x11/2 x21/2 (a b
  1/2) V(x1,x2) x1 x23 (a
  1, b 3)

55
Curvas de indiferencia Cobb-Douglas
x2
Todas las curvas de preferencia Son hypérbolas,
con los ejes como asíntotas.
x1
56
Utilidad Cobb-DouglasNormalización

• La función de utilidad Cobb-Douglas
• U(x1,x2) x1a x2b
• se puede normalizar de forma que
• ab1
• Logaritmos

57
Utilidad Marginal

• Marginal significa incremental.
• La utilidad marginal del artículo i es la tasa de
  variación total de la utilidad respecto a la
  cantidad consumida del artículo i es decir,
  

58
Utilidad Marginal

• Por ejemplo, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

59
Utilidad Marginal

• Por ejemplo, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

60
Utilidad Marginal

• Por ejemplo, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

61
Utilidad Marginal

• Por ejemplo, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

62
Utilidad Marginal

• Por lo que, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

63
Utilidad Marginal y Relación Marginal de
Sustitución

• La ecuación que defina a una curva de
  Indiferencia es U(x1,x2) º k,
  constante.Derivando implícitamente,

64
Utilidad Marginal y Relación Marginal de
Sustitución
es decir,
65
Utilidad Marginal y Relación Marginal de
Sustitución
Por lo que
Esta es la RMS.
66
Utilidad Marginal y Relación Marginal de
Sustitución Ejemplo

• Supongamos que U(x1,x2) x1x2. Entonces

y
67
Utilidad Marginal y Relación Marginal de
Sustitución Ejemplo
U(x1,x2) x1x2
x2
8
MRS(1,8) - 8/1 -8 MRS(6,6) - 6/6
-1.
6
U 36
U 8
x1
1
6
68
Relación Marginal de Sustitución Funciones de
Utilidad Cuasilineales

• Una función de utilidad cuasilineal es de la
  forma U(x1,x2) f(x1) x2.

y
69
Relación Marginal de Sustitución Funciones de
Utilidad Cuasilineales

• RMS - f (x1) no depende de x2. La pendiente de
  las curvas de indiferencia de una función de
  utilidad cuasilineal es constante a lo largo de
  las líneas x1 constante. Cómo se refleja esto
  en la función de indiferencia de una función de
  utilidad cuasilineal?

70
Relación Marginal de Sustitución Funciones de
Utilidad Cuasilineales

• Una función de utilidad cuasilineal es de la
  forma U(x1,x2) f(x1) x2.

y
71
Relación Marginal de Sustitución Funciones de
Utilidad Cuasilineales
x2
RMS - f(x1)
Cada curva es una copia de las otras, desplazada
verticalmente.
RMS -f(x1)
RMS es constantea lo largo de las líneas x1
constante.
x1
x1
x1
72
Transformaciones Monótonas y Relación Marginal de
Sustitución

• Una transformación monótona de una función de
  utilidad representa a la misma relación de
  preferencias.
• Qué ocurre a la RMS cuando se realiza una
  transformación monótona de la función de utilidad
  ?

73
Transformaciones Monótonas y Relación Marginal de
Sustitución

• Para U(x1,x2) x1x2 la RMS - x2/x1.
• Haciendo V U2 es decir, V(x1,x2) x12x22.
  Cuál es la RMS para V?Obtenemos la misma RMS
  que para U.

74
Transformaciones Monótonas y Relación Marginal de
Sustitución

• En general, si V f(U) con f es una función
  estrictamente creciente, entonces

La RMS no cambia con una transformaciónmonótona.