Anlisis de la fila MG1 con prioridad

1
Análisis de la fila M/G/1 con prioridad

• Procesos Estocásticos y Teoría de Filas

2
M/G/1 con prioridad

• La atención con prioridad significa atender en
  forma preferencial a unos usuarios respecto de
  otros
• De esta forma los usuarios que tienen preferencia
  son atendidos antes que usuarios que hayan
  llegado antes.
• En esta presentación se estudia la fila M/G/1,
  pero en lugar de utilizar un disciplina de
  atención fija se introduce la idea de prioridad
  de algunos usuarios sobre otros.

3
M/G/1 con prioridad
Existen dos clases de prioridad

• Prioridad con desalojo es aquella donde el
  cliente que está siendo atendido es devuelto a la
  fila automáticamente si llega al sistema un
  cliente con una prioridad más alta.
• Prioridad sin desalojo es aquella donde no
  sucede lo anterior es decir el cliente que está
  siendo atendido no es devuelto a la fila con su
  atención sin terminar, aunque llegue al sistema
  un cliente con una prioridad más alta.
• Además se puede clasificar la prioridad como
  estática, si la prioridad de un usuario permanece
  constante en el tiempo, o dinámica, si la
  prioridad de un usuario a medida que permanece
  más tiempo en la fila

4
M/G/1 con prioridad

• Un sistema con prioridad puede ser representado
  de la siguiente forma

Prioridad P
?P
nP
Prioridad P-1
?P-1
Servidor
nP-1
...
Prioridad 1
?1
n1
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M/G/1 con prioridad

• La representación considera que cada grupo de
  prioridad es atendido por una fila diferente
• Todas las filas son atendidas por el mismo
  servidor
• La disciplina de atención en cada fila es FIFO
• La tasa de servicio puede ser distinta para cada
  fila

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M/G/1 con prioridad

• Definiciones
• - Grupos de prioridad para distinguir los
  distintos grupos de prioridad se les asigna un
  número p, donde un número mayor indica mayor
  prioridad.
• - P número total de grupos de prioridad
• - ?p tasa de llegada del usuario con prioridad p
• - Xp tiempo medio de servicio del usuario con
  prioridad p
• - Wp tiempo de espera promedio en la fila para
  clientes del grupo p
• - Tp tiempo total promedio en el sistema para
  clientes del grupo p (Wp Xp)
• - Np número medio de usuarios del grupo p en el
  sistema

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M/G/1 con prioridad

• Definiciones

Tasa media de llegada de usuarios al sistema
Utilización media del sistema por parte de los
usuarios p
Utilización media del sistema por parte de todos
los usuarios
Tiempo medio de servicio de todos los usuarios
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Objetivos y Dificultades

• Variables que se quiere determinar
• El número de usuarios en el sistema por grupo de
  prioridad (Np).
• Variable aleatoria discreta.
• Es de interés desde el punto de vista del
  sistema, ej . Dimensionamiento de buffers.
• El tiempo total de permanencia de un usuario de
  cada grupo en el sistema (Tp)
• Variable aleatoria continua.
• Es de interés desde el punto de vista del
  usuario, tiempo de servicio.

9
Objetivos y Dificultades

• Como las variables de interés en el sistema son
  variables aleatorias entonces

• Conocer el sistema es
• Caracterizarlo a través de
• Valores medios de las variables aleatorias de
  interés (medidas globales del sistema, 1er y 2º
  momentos)
• Función de distribución de las variables
  aleatorias de interés

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M/G/1 con prioridad

• En esta presentación se realizará un análisis
  mediante valores medios.
• Se calculará Tp, y Np a partir de los parámetros
  de valor medio del sistema.
• Los parámetros conocidos son
• ?p tasa de llegada de los clientes del grupo p
• Xp tiempo medio de servicio para los clientes
  del grupo p
• X2p segundo momento de la distribución de tiempo
  de servicio

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M/G/1 con prioridad
Diagrama del Problema
?p
Np
Parámetros de entrada
Variables de Salida
Xp
Tp
X2p
12
M/G/1 con prioridad

• Antes de comenzar con el análisis formal de la
  fila M/G/1 con prioridad, se estudiará un ejemplo
• El objetivo es observar las ventajas y
  desventajas de utilizar esquemas con prioridad y
  cuando deben aplicarse
• Este ejemplo permite observar cualitativamente el
  efecto de aplicar prioridad en un sistema
• El ejemplo considera un sistema que consta de dos
  prioridades
• Antes de estudiar el ejemplo es necesario contar
  un resultado importante conocido como Ley de
  Conservación de la M/G/1 con prioridad

13
M/G/1 con prioridad

• Supongase la siguiente situación

14
M/G/1 con prioridad
Ley de Conservación para la M/G/1 con Prioridad
Suponga las siguientes condiciones - En el
instante t hay Np(t) usuarios del grupo p en el
sistema. - Al i-ésimo usuario del grupo p le
corresponde un tiempo xip de servicio. - Al
usuario que está siendo atendido le resta un
tiempo x0. - Entonces el trabajo residual en el
sistema en el instante t es
15
M/G/1 con prioridad

• Obteniendo el valor esperado

16
M/G/1 con prioridad
Por otro lado, por la ley de Little se tiene que
Por lo tanto reemplazando (1.4) en (1.3)
17
M/G/1 con prioridad

• La expresión de (1.5) no depende de la disciplina
  de servicio.
• Por lo tanto, esta expresión por analogía debiera
  ser equivalente a la expresión para el trabajo
  remanente en una M/G/1 con disciplina FIFO, que
  es

• Donde en este caso se tiene

18
M/G/1 con prioridad
Falta conocer
Para lo cual se calcula
Reemplazando en W0 se obtiene
Por lo tanto
19
M/G/1 con prioridad
Ley de Conservación para la M/G/1 con Prioridad
La Ley de conservación se obtiene combinando
(1.8) y (1.5). Para un sistema M/G/1 sin desalojo
y cualquier disciplina de atención siempre se
cumple que
Ley de Conservación para la M/G/1 con prioridad
20
M/G/1 con prioridad

• Utilizando la Ley de Conservación, se analizará
  un caso simple en el cual se asignan 2
  prioridades

21
M/G/1 con prioridad

• En un sistema con desalojo, es posible observar
  que la fila de prioridad 2 (más alta) no es
  afectada por la fila de prioridad 1
• Debido a esto, la fila de prioridad 2 se puede
  calcular como una M/G/1 normal
• En este caso, el tiempo en la fila está dado por

22
M/G/1 con prioridad

• Por otra parte, la Ley de conservación establece
  que

• Donde ? ?1 ?2
• De las ecuaciones 1.10 y 1.11 se tiene que

23
M/G/1 con prioridad

• Por simplicidad se supone que

• Entonces, la ecuación 1.12 puede reescribirse

• Ahora, dados ciertos valores de A y B, se puede
  graficar W1 y W2 para distintos valores de ? y
  ?1, y comparar con un sistema sin prioridad

24
M/G/1 con prioridad

• En el siguiente gráfico se muestran los tiempos
  de espera para una utilización total de 0.2 y
  para distintos valores de la carga de mayor
  prioridad (?2)

25
M/G/1 con prioridad

• En el siguiente gráfico se muestran los tiempos
  de espera para una utilización total de 0.5 y
  para distintos valores de la carga de mayor
  prioridad (?2)

26
M/G/1 con prioridad

• En el siguiente gráfico se muestran los tiempos
  de espera para una utilización total de 0.8 y
  para distintos valores de la carga de mayor
  prioridad (?2)

27
M/G/1 con prioridad

• La primera conclusión que se obtiene de los
  gráficos es que siempre que se mejora la atención
  para un tipo de usuarios, se empeora la atención
  de los otros
• Cuándo es entonces conveniente aplicar
  prioridad?
• Cuando el beneficio que obtienen los usuarios de
  mayor prioridad es alto, y la degradación del
  servicio que experimentan los usuarios de menor
  prioridad es pequeño

28
M/G/1 con prioridad

• De los gráficos anteriores se observa lo
  siguiente
• Cuando el tráfico de mayor prioridad corresponde
  a una fracción pequeña de la carga total, su
  tiempo de espera medio se reduce
  considerablemente
• En cambio, el tiempo de espera de la carga de
  menor prioridad se ve sólo levemente afectado
• Entonces, es útil aplicar prioridad cuando el
  sistema opera bajo estas condiciones

29
M/G/1 con prioridad

• De los gráficos anteriores se observa lo
  siguiente
• Cuando la carga de mayor prioridad representa una
  fracción mayor de la carga total, se observa que
  su tiempo de espera disminuye muy poco en
  relación al valor sin prioridad
• Sin embargo, el tiempo de espera de la carga de
  menor prioridad se incrementa drásticamente
• De lo anterior se obtiene que no es conveniente
  aplicar prioridad cuando el sistema opera bajo
  estas condiciones

30
M/G/1 con prioridad

• Además, de los distintos gráficos se observa
  también que los efectos mencionados se agudizan
  al aumentar la carga total
• Por ejemplo, para ?0.2 y ?10.9, el tiempo de
  espera del tráfico de baja prioridad es alrededor
  del doble del tiempo de espera sin prioridad
• En cambio, para ?0.8 y ?10.9 el tiempo de
  espera para el tráfico de baja prioridad es
  alrededor de 6 veces el tiempo de espera sin
  prioridad

31
M/G/1 con prioridad

• El ejemplo revisado permite observar qué es lo
  que se puede esperar de los sistemas con
  prioridad
• Mediante el análisis de este caso sencillo, se ha
  visto cuando es conveniente utilizar prioridad y
  cuando no
• A continuación, se realiza un análisis detallado
  de los esquemas con prioridad

32
Prioridad estática sin desalojo

• Se comenzará analizando el caso de Prioridad
  estática sin desalojo
• Como ya se mencionó, este caso consiste en que al
  llegar un cliente de prioridad más alta que el
  resto de los usuarios, incluido el usuario que
  está siendo atendido, se termina la atención de
  este y luego se atiende al de más alta prioridad

33
Prioridad estática sin desalojo

• La estrategia de solución es cuantificar, por
  cada grupo de prioridad, los distintos tipos de
  retardo a los que se ve sometido un usuario
• Un usuario puede experimentar tres tipos de
  retardo
• Retardo debido a al tiempo de servicio remanente
  del usuario que está siendo atendido cuando llega
  a la fila (W0)
• Retardo debido a los clientes que se encuentran
  antes que él en la fila y que reciben atención
  primero (WN)
• Retardo debido a los clientes que llegan cuando
  el usuario ya está en la fila, pero que reciben
  atención primero que él (WM)

34
Prioridad estática sin desalojo

• Por ejemplo, para calcular el tiempo de espera de
  un usuario de prioridad 2 se tiene

WN tiempo de espera debido a clientes que ya
estaban en la fila y que son atendidos primero
WMtiempo de atención de clientes que llegan
después y que son atendidos primero
3
3
Servidor
2
2
2
1
1
1
1
W0tiempo de servicio remanente
Clientes de prioridad más baja, no influyen en el
retardo de un cliente de prioridad 2
35
Prioridad estática sin desalojo

• La estrategia de solución será
• Cuantificar el valor medio de estas tres
  componentes del retardo para los clientes
  pertenecientes a cada grupo de prioridad
• En base a estas tres componentes, se puede
  obtener el tiempo total medio que está un usuario
  en la fila. Es decir se calcula
• Aplicando Ley de Little, es posible obtener el
  número medio de clientes en la fila por grupo de
  prioridad

36
Prioridad estática sin desalojo

• El primer componente de retardo para un cliente
  que llega es el tiempo residual del cliente que
  esta siendo atendido (W0)
• Gráficamente se tiene

Tiempo residual de servicio
x3
x1
x2
x3/2
x1/2
x2/2
t
37
Prioridad estática sin desalojo

• De la figura , el tiempo residual de servicio
  promedio corresponde al área acumulada en
  intervalo 0,t dividida por t, cuando t tiende a
  infinito
• El área puede ser dividida en triángulos de
  altura y base xi, donde xi es el tiempo de
  servicio para un usuario de la clase i
• El promedio se puede calcular como

Donde Nc (t) es el número de servicios de
usuarios de clase c que han ocurrido en el
intervalo 0,t
38
Prioridad estática sin desalojo

• Amplificando el término interior por Nc(t) se
  tiene

• Por otro lado, se tiene que

• Ya que ?c es el número de llegadas de una clase
  en un intervalo 0,t dividido por t, cuando t
  tiende a infinito

39
Prioridad estática sin desalojo

• Por otra parte se tiene que

• Reeplazando (3) y (4) en (2) se tiene

• Se obtiene entonces el primer componente de
  retardo que experimenta un usuario en el sistema

40
Prioridad estática sin desalojo

• El segundo componente de retardo es debido al
  número de clientes de un grupo q que un cliente
  encuentra en la fila al llegar, y que reciben
  atención antes que el. Se define
• Nq,p número medio de clientes del grupo q que un
  cliente del grupo p encuentra en la fila al
  llegar, y que reciben servicio antes que él.

41
Prioridad estática sin desalojo

• El tiempo medio de espera debido a los clientes
  del grupo q que se encuentran en la fila al
  llegar es

• El tiempo de espera medio total debido a todos
  los clientes que se encuentran antes del usuario
  que llega será

• Nótese que la suma se realiza sólo desde p hacia
  arriba ya que los usuarios de menor prioridad no
  son atendidos antes que el usuario que está
  llegando

42
Prioridad estática sin desalojo
Por otra parte, por teorema PASTA, la cantidad
media de usuarios de la clase q que encuentra un
usuario de la clase p al llegar es el número
medio de clientes de la clase q que hay en la
fila. Es decir Nq,pNq
Entonces, aplicando Ley de Little se tiene
Reemplazando (8) en (6) se tiene
43
Prioridad estática sin desalojo

• El último componente de retardo es debido al
  número de clientes de un grupo q que llegan
  mientras nuestro cliente esta en la fila, y que
  reciben atención primero que el. Se define
• Mq,p número medio de clientes del grupo q que
  llegan mientras nuestro cliente del grupo p se
  encuentra en la fila, y que reciben servicio
  antes que él.

44
Prioridad estática sin desalojo

• El retardo que experimenta el usuario en
  consideración debido a los usuarios del grupo i
  que llegan después de él es

• El tiempo total de retardo que experimenta el
  usuario debido a clientes que llega después de él
  es

• Nótese que la suma se realiza desde p1 hacia
  arriba, ya que sólo los usuarios de mayor
  prioridad pueden ser atendidos antes del usuario
  en consideración, habiendo llegado después que él

45
Prioridad estática sin desalojo
Por otra parte, la cantidad media de clientes de
la clase q que llegan mientras el usuario
considerado está esperando y son atendidos
primero puede escribirse como
Reemplazando (9) en (7) se obtiene
46
Prioridad estática sin desalojo
Ejemplo gráfico
Arribo de clientes
47
Prioridad estática sin desalojo
Ejemplo gráfico
Considerando el segundo cliente de prioridad 1
tiempo
Arribo de clientes
48
Prioridad estática sin desalojo
De acuerdo a las ecuaciones (9) y (11), el tiempo
de espera de un usuario en la fila se puede
escribir
49
Prioridad estática sin desalojo
Despejando se llega a
50
Prioridad estática sin desalojo
Conviene definir
51
Prioridad estática sin desalojo
Al resolver recursivamente
52
Prioridad estática sin desalojo
A partir de este resultado es posible calcular el
tiempo promedio de un usuario del grupo p en el
sistema como
53
Prioridad estática sin desalojo
Por Ley de Little se calcula el número medio de
usuarios del grupo p en la fila
Se han calculado entonces las variables Np y Tp ,
las cuales permiten caracterizar el sistema M/G/1
con prioridad estática sin desalojo, en valor
medio
54
Prioridad estática sin desalojo

• Los resultados obtenidos para prioridad estática
  sin desalojo se resumen en el siguiente cuadro

55
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo

• En este tipo de prioridad, un cliente que esta
  siendo atendido es interrumpido en su atención
  si llega otro usuario de prioridad más alta
• El trabajo del cliente desalojado no se pierde,
  al volver a atender al cliente desalojado el
  trabajo se retoma desde donde había quedado

56
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo
El usuario entrante de mayor prioridad desaloja
al usuario en servicio de menor prioridad
57
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo
Ejemplo gráfico
Espera del cliente p2 antig.
Espera del cliente p2
Espacio del servidor
Atención incompleta de un cliente p2 antig.
Atención del cliente p3
Continuación cliente p2 antig.
Atención incompleta del cliente p2
Atención del cliente p3
Continuación cliente p2
Atención del cliente p1
tiempo
p3
p3
. . . . . . . . . . .
Arribo de clientes
p2
p2
p1
p4 la más alta prioridad
p1 la más baja prioridad
58
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo

• La estrategia de solución es similar al caso sin
  desalojo
• Se calculará el tiempo de permanencia medio de un
  usuario en el sistema
• Para esto, se calcularán las tres componentes de
  este tiempo. Estas componentes son
• El tiempo de servicio correspondiente al usuario
  en consideración (Xp)
• El tiempo remanente debido a los usuarios que se
  encuentran en el sistema cuando llega el usuario
  (T0)
• El tiempo de espera debido a los clientes de
  mayor prioridad que llegan mientras el usuario
  considerado está en espera o incluso en servicio
  (Tx)

59
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo

• De acuerdo a lo anterior, se puede establecer que
  el tiempo medio de permanencia para un usuario de
  clase p es

• El tiempo que queda por atender a los usuarios de
  prioridad igual o más alta que se encuentra en el
  sistema al llegar el usuario de clase p se puede
  obtener por Ley de Conservación
• Este tiempo equivale al trabajo remanente debido
  a los usuarios de mayor prioridad que el usuario
  en consideración

60
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo

• La ley de conservación establece en forma general
  que

• Sin embargo, en este caso, el tiempo remanente se
  debe sólo a los usuarios de mayor prioridad, por
  ende

61
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo

• Finalmente, queda por incluir el tiempo de los
  usuarios de mayor prioridad que el que llegarán
  al sistema mientras el este esperando servicio o
  incluso en servicio
• En promedio serán ?qTp usuarios del grupo q
  donde cada uno aportará con un tiempo Xq

• Considerando que sólo los usuarios de grupos de
  mayor prioridad contribuyen a este tiempo se
  tiene

62
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo
Entonces, Tp estará dado por la suma de estas
tres componentes
Es decir
63
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo
Despejando en (11)
64
Prioridad Estática con Desalojo y sin Pérdida de
Trabajo
Utilizando Ley de Little, es posible determinar
el número medio de clientes en el sistema por
grupo de prioridad
65
Conclusiones

• En esta presentación se ha estudiado la fila
  M/G/1 con prioridad
• Los tipos de prioridad estudiados han sido
• Prioridad estática sin desalojo
• Prioridad estática con desalojo y sin pérdida de
  trabajo
• Para ambos tipos de prioridad se ha determinado
  el tiempo medio de un usuario en el sistema así
  como el número medio de clientes en el sistema,
  por grupo de prioridad

66
Conclusiones

• Se ha observado además que los sistemas con
  prioridad no siempre traen ventajas
• El análisis hecho en esta presentación permite
  determinar el impacto que tendrá sobre los
  usuarios de distinto tipo la aplicación de un
  esquema con prioridad
• De esta forma, se puede determinar si las
  condiciones del sistema hacen recomendable o no
  aplicar prioridad

67
Referencias

• Presentaciones M/G/1 con prioridad
• Teoría de Filas, 2001.

68
M/G/1 - Ecuación de P-K

• La ecuación (14) puede rescribirse en términos
  del coeficiente de variación del tiempo de
  servicio Cb
• Luego con
• Se llega a
• Esta ecuación es conocida como la ecuación de
  Pollaczek-Khinchin (P-K) para valor medio.

IPD-436 Prof. Reinaldo Vallejos, UTFSM
69
M/G/1 -

• Recordando la ley de Little
• Y sabemos que representa el número medio de
  usuarios encontrados en forma aleatoria, asi que
  , entonces
• Resolviendo para el tiempo medio en el sistema

70
M/G/1 -

• Como , entonces
• Es el tiempo medio remanente de servicio para el
  usuario encontrado en servicio por una nueva
  llegada