SCD08 - PowerPoint PPT Presentation

Title: SCD08


1
Modelos booleanos de regulación genética
2
Extendiendo el paradigma
Redes de regulación qué es qué modelos
booleanos atractores, transientes, grafo de
transiciones arabidopsis kauffman, el
applet otros tipos de redes biológicas Importancia
topología Motifs, redes complejas
3
Redes de regulación
A pesar de tener el mismo genoma, las células
pueden ser muy distintas.
Además, puede estar haciendo cosas distintas en
un momento y en otro.
4
Redes de regulación

• Lo que distingue la naturaleza y estado de una
  célula son las moléculas que contiene.
• En relación al genoma, lo que interesa es qué
  genes están siendo expresados, y en qué cantidad.

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Redes de regulación

• Para modelar la relación entre todas esas
  entidades, se han propuesto diversos modelos, con
  distintos
• Niveles de continuidad (variables binarias,
  discretas, continuas)
• Niveles de estocasticidad (deterministas o
  probabilistas)
• ...que a su vez los hacen diferir en
• Realismo
• Cantidad de parámetros (?cantidad de datos!)
• Así que hay desde redes booleanas hasta
  ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

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Redes de regulación

• En estos modelos las entidades pueden ser
• Moléculas (proteínas, RNA, etc.)
• Componentes celulares
• Condiciones ambientales
• Reacciones químicas
• Etc.

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Redes de regulación

• Y las interacciones pueden ser
• Transformación en una reacción
• Relación catalítica
• Regulación de transcripción
• Regulación de traducción
• Activación / desactivación
• Etc...

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Redes de regulación
9
Redes de regulación
Para entender una célula, habría que entender
algo así
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Redes de regulación
Aún estamos muy lejos. ? Los modelos
funcionales hoy en día no pasan en general de una
docena de nodos (entidades). Para hacernos una
idea del tipo de comportamiento y dificultades
que aparecen, hablaremos del tipo más simple de
modelo redes booleanas.
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Redes booleanas
Asumimos -estados binarios para las entidades
(nodos) -funciones booleanas para las
relaciones Por lo general también se asume
iteración paralela (todos los nodos se actualizan
al mismo tiempo).
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Redes booleanas

• Ventajas
• Permiten analizar comportamientos cualitativos de
  la red
• Su construcción requiere relativamente pocos
  datos.
• Desventajas
• No es cuantitativo
• No puede modelar señales con intensidad variable
• Ergo, no es realista.
• Es difícil incluir el ruido (azar) del sistema
  vivo.

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Redes booleanas

• Ventajas
• Permiten analizar comportamientos cualitativos de
  la red
• Su construcción requiere relativamente pocos
  datos.
• Desventajas
• No es cuantitativo
• No puede modelar señales con intensidad variable
• Ergo, no es realista.
• Es difícil incluir el ruido (azar) del sistema
  vivo.

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Redes booleanas
Las redes booleanas son el caso más simple de
redes de autómatas (MEF puestas en un
grafo). Las podemos ver como un digrafo (G,V)
con estados booleanos en los nodos, y funciones
de actualización que dependen de los nodos
incidentes. O como funciones F0,1n?0,1n. Mo
do de iteración en el caso más simple, es
paralelo (síncrono) ? todos los nodos se iteran a
la vez, así que simplemente se aplica F.
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Redes booleanas
Como el sistema es finito, siempre caemos en
ciclos de algún largo p (es decir, un punto fijo
de Fp). Y podemos visualizar ciclos y
transientes haciendo el grafo de transiciones del
sistema.
f1 x4 f2 x4 ? x3 f3 x2 ? x4 f4 x2 ? x1 ?
x3
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Grafo de transiciones
17
Grafo de transiciones
18
Grafo de transiciones

• Nota la cantidad de estados del sistema es 2n
• crece exponencialmente con n
• Hay una serie de problemas NP duros asociados a
  la dinámica.
• Por ejemplo dada una RB, encontrar un punto
  fijo.
• ? NP completo.

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Modos de iteración

• Aparte de la iteración más simple (paralela,
  determinística), se usan varias alternativas.
• Iteración secuencial iteramos primero el nodo 1,
  luego el 2, ..., hasta el n-ésimo, y luego
  volvemos al 1.
• Iteración por bloques le asignamos a cada nodo
  un bloque de iteración, y ponemos un orden a esos
  bloques. Iteramos los bloques uno después de
  otro, pero cada bloque se itera en paralelo.

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Modos de iteración

• Eso agota las opciones determinísticas que iteran
  todos los nodos 1 y sólo 1 vez por vuelta.
• Alternativas probabilistas
• Iteración asíncrona en cada paso escogemos un
  nodo al azar y lo iteramos.
• Combinaciones varias.

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Modos de iteración

• Nota
• los puntos fijos no dependen del modo de
  iteración.
• Ergo, el cambio en el modo de iteración afecta
  sólo los ciclos y transientes del sistema.
• En lo que sigue asumiré iteración paralela, salvo
  que se indique otra cosa.

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Tipos de funciones

• Conviene distinguir algunos tipos de funciones
  booleanas que aparecen al modelar (y le dan a la
  red dinámicas particulares).
• Funciones de umbral se pueden escribir como

donde los wij son pesos y los ?i son
umbrales. Es el tipo de función que aparece en
las redes neuronales discretas.
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Tipos de funciones
Funciones canalizadoras existe algún input que,
con un valor, determina el resultado. Si está en
el otro valor, no lo determina.

• Canalizadoras anidadas existe un orden en los
  inputs uno es canalizador, en su defecto el
  siguiente lo es, etc.
• En general las funciones canalizadoras aumentan
  la estabilidad de la dinámica.

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Tipos de funciones
Una red canalizadora anidada
f1 x4 f2 x4 ? x3 f3 x2 ? x4 f4 x2 ? x1 ?
x3
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Tipos de funciones

• Funciones monótonas fi es monótona en el input j
  si se verifica siempre

o si se verifica siempre la desigualdad contraria
(monótona creciente, o decreciente).
Una red en que todas las funciones son monótonas
en todos sus argumentos tiene la gracia de que se
pueden asociar signos a los arcos el efecto de
un nodo sobre otro siempre es, ora positivo (1),
ora negativo (-1). Nota tanto las funciones de
umbral como las canalizadoras son monótonas.
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Tipos de funciones

• Ejemplo de red con funciones monótonas

f1 x2 f2 ?(x1 ? x3) f3 x1 ? (x2 ? x3)
Un circuito de largo L es un camino cerrado en el
grafo xc(1)xc(2)...xc(L), (xc(i),xc(i1))?V
para todo i, (xc(L),xc(1))?V Así que tiene L
nodos, y L arcos. Es simple si no repite nodos.
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Circuitos positivos y negativos
Circuitos simples Negativos 1 ? 2 1 ? 3 ? 2
2 ? 3 Positivos 3
Decimos que un circuito es positivo si el
producto de los signos de sus arcos es 1, y
negativo en caso contrario.
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Circuitos positivos y negativos

• Un circuito representa una acción de un estado
  sobre si mismo (feedback loop).
• La presencia de circuitos positivos está asociada
  a la existencia de atractores múltiples (en un
  atractor, el nodo está "bajo" y se refuerza así
  en el otro, está "alto")
• "multiestacionaridad"
• La presencia de circuitos negativos está asociada
  a la estabilidad (si el valor está alto, tiende a
  bajo, y viceversa)
• ? "homeostasis"

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Problemas de estudio típicos

• Algunos problemas clásicos
• Analizar la dinámica (atractores, estabilidad,
  etc.) de una red dada.
• Estudio estadístico de clases de redes (definidas
  a través de su conectividad, topología, tipo de
  funciones, etc.)
• Reconstrucción de redes a partir de información
  parcial sobre su dinámica (atractores, algunas
  interacciones, ...)

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Redes booleanas aleatorias
Estudio estadístico clásico Random Boolean
Networks (RBN), o "redes de Kauffman". ? Stuart
Kauffman, 1969
Las redes son determinísticas. ? Lo "random"
viene de su generación aleatoria, para estudiar
estadísticamente el comportamiento.
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Redes booleanas aleatorias

• Preguntas (entre otras)
• Qué tanta estabilidad sale de la estructura de
  la red?
• Entender los roles relativos del azar y de la
  selección natural en la construcción de las GRN.
• Modelo NK
• N nodos
• K inputs por nodo (desde otros nodos), al azar
• Funciones booleanas escogidas al azar
• Para N8, k2, 270 redes distintas (muchas
  equivalentes, pero aún así, hartas).

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Redes booleanas aleatorias

• Encuentra varios tipos de comportamiento
• Orden ( k 1 )
• La mayoría de los nodos se puede perturbar, sin
  modificar el atractor alcanzado.
• Perturbaciones pequeñas provocan cambios
  pequeños.
• Casi todos los nodos se estabilizan rápido.
• El atractor alcanzado es corto, O(1). La cantidad
  de atractores es O(2N).

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Redes booleanas aleatorias

• Caos ( k ? 3 )
• Muy sensible a perturbaciones
• ? cambios pequeños se amplifican
  exponencialmente.
• Pocos nodos se estabilizan.
• Pocos atractores, pero largos O(2N)
• recordar que 2N es el tamaño del espacio de
  configuraciones, "espacio de fase" para los
  físicos

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Redes booleanas aleatorias

• Pero para k 2
• Sensibilidad intermedia a perturbaciones
• ? Algunos cambios afectan poco, otros afectan
  harto.
• Muchos nodos se estabilizan, pero persisten
  "zonas de actividad".
• Si se dibuja la red poniendo cerca los nodos que
  están linkeados, lo que se ve son "islas" de
  actividad dentro de un "mar" de nodos
  constantes.

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Redes booleanas aleatorias

• Pero para k 2
• Ciclos límite no son largos, duran O(?n) pasos.
• Cantidad de atractores también escala como O(?n).
• ?Hay una reducción efectiva del espacio de fase
• Para n100, de 2100 configuraciones posibles, el
  sistema "escoge" quedarse en 10 atractores, de
  largo 10 ? un conjunto de 100 configuraciones!

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Redes booleanas aleatorias
k2 es aprox. el promedio en redes de regulación
genética reales. Kauffman identifica los
atractores con tipos de células, alcanzados
después de la diferenciación (glóbulos blancos,
neuronas, etc.), y el transiente con el proceso
de desarrollo. Para las cantidades de genes, y
la cantidad de tipos de células, que se estimaban
en los 70, cuadraban las cantidades.
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Redes booleanas aleatorias

• Más tarde se ha visto que habían problemas
• La cantidad de tipos celulares estaba
  sub-estimada.
• La cantidad de genes estaba sobreestimada.
• Hay más formas de regulación (y más compleja) que
  lo que se suponía.
• La topología no parece ser aleatoria, y su
  estructura específica parece ser relevante para
  la dinámica. Sobre eso, volveremos.
• Pero de todos modos lo de Kauffman fue una buena
  aproximación, y hasta hoy es punto de referencia.

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Redes booleanas aleatorias

• Qué tiene de especial k2 ?
• Un cálculo vía aproximación "mean field" (cosas
  de físicos, tomar el promedio de los estados y
  las interacciones).
• Consideremos dos configuraciones iniciales X e Y
  que están a distancia de Hamming D.
• En promedio, cada nodo controla (incide sobre) k
  nodos.
• En promedio, las nodos que difieren entre X e Y
  controlan kD nodos.

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Redes booleanas aleatorias

• Qué tiene de especial k2 ?
• En cada uno de esos nodos cuya preimagen diferirá
  entre X e Y, hay probabilidad ½ de que eso afecte
  el nuevo valor.
• Por lo tanto en promedio los nodos que diferirán
  entre F(X) y F(Y) serán kD/2.
• ? La distancia entre Ft(X) y Ft(Y) será

40
Redes booleanas aleatorias
Qué tiene de especial k2 ?

• Para klt2, las órbitas se acercan.
• Para kgt2, se alejan exponencialmente.
• k2 es el valor crítico la distancia no se
  mantendrá constante, pero dependerá de
  fluctuaciones locales no capturadas por esta
  aproximación mean field.

41
Redes booleanas aleatorias
Nota sólo se supuso que k era el grado
promedio. Los experimentos confirman esto basta
que la cantidad promedio de inputs sea
k. Complicando un poco más el modelo Supongamos
ahora que al escoger la función booleana al
azar, no se toma probabilidad ½ de 1 y 0 en cada
item de la tabla, sino probabilidad p de poner un
1. En tal caso k2 ya no es crítico. Un
desarrollo un poco más complicado ver el apunte
de Gross muestra que en ese caso
42
Redes booleanas aleatorias
Los dibujos ilustran la dinámica para distintos
regímenes (horizontal nodos vertical hacia
arriba tiempo).
43
Redes booleanas aleatorias
Derrida y Pomeau (1986) hicieron este análisis, y
mostraron que efectivamente hay un cambio de fase
en la frontera entre el orden y el caos. En
realidad lo demostraron suponiendo que las
funciones se vuelven a escoger al azar a cada
vuelta sin embargo mostraron después que para
N?? el comportamiento coincide con el usual
(funciones escogidas sólo al comienzo).
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Redes booleanas aleatorias

• Por qué k2 en las redes biológicas? Por qué la
  vida escogió (al parecer) el borde del caos?
• kgt2
• la dinámica se vuelve inestable malo para una
  célula!
• ? La selección natural lo eliminará.
• klt2
• hay poca flexibilidad
• poco orden, con O(2N) atractores
• además, hay "espacio" para agregar conexiones
• ? La selección natural hara crecer k.

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Redes booleanas aleatorias

• El efecto de perturbaciones en la red (N,2) sigue
  leyes de potencia
• muchas con poco efecto (típicamente, entre 80 y
  95)
• unas pocas con grandes efectos.
• Es el régimen óptimo para el procesamiento de la
  información
• hay donde guardarla (a diferencia del caso
  caótico)
• y tiene como propagarse (a diferencia del caso
  ordenado, donde perturbaciones pequeñas sólo
  provocan cambios pequeños).

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Redes de regulación génica

• Pero volviendo al caso de los genes qué tan
  sencillo es modelar fenómenos biológicos con RB?
• Problemas
• A veces simplemente no se puede (pero en ese caso
  es útil demostrar que no se puede, i.e., mostrar
  que el comportamiento del sistema requiere un
  modelo de otro tipo).
• Por lo general no se tiene información completa,
  así que hay que resolver alguna forma del
  problema inverso (RB, dados los atractores, y
  algunas interacciones conocidas).

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Redes de regulación génica
Ejemplo cascada de la caspasa, generando
apoptosis (muerte celular). Típico mono de
paper biológico. Bastará modelar booleanamente
las interacciones?
48
Redes de regulación génica
En este caso al parecer sí el modelo
"booleanizado" permitió predecir de manera
efectiva el efecto de dos posibles medicamentos
para intervenir en el proceso.
49
Redes de regulación génica
Otro caso (un modelo "clásico") formación de la
flor en Arabidopsis thaliana
Cuatro zonas, concéntricas
correspondientes a los traslapes de tres genes
50
Redes de regulación génica
Fenotipos mutantes
51
A
C
Red de Mendoza et al.
B
52
Redes de regulación génica

• Red booleana, funciones tipo umbral

• Iteración por bloques

53
Redes de regulación génica
54
Redes booleanas aleatorias
Cuadraba, pero no predecía todos los fenotipos
experimentales.
A la izquierda, una red más reciente para el
mismo caso. No sólo agrega nodos además algunos
tienen tres estados. Se está trabajando en otra
mucho mayor.
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La importancia de la topología

• Recordemos cómo era la topología que usó
  Kauffman
• Cada nodo recibe input desde k nodos, al azar.

• Ergo, el grado de entrada de los nodos es k, y el
  de salida es una binomial con media k. Ó,
  aproximando, una Poisson de parámetro k.

• No hay nodos "escogidos", que se salgan mucho de
  la norma.
• No hay grupos de nodos que estén especialmente
  conectados entre sí. Es "todos con todos".

56
La importancia de la topología

• No es realista. Incluso en 1970 se sabía que
• Algunos grupos de genes interactúan más entre sí,
  que con el resto de lo genes de la célula.
• Algunos genes regulan mucho más que la media
  (proteínas que se dedican a regular ? "factores
  de transcripción).
• La duda era esos rasgos de la topología,
  influirán en la dinámica?
• ?No había teoría. Ni modelos alternativos para un
  grafo aleatorio.

57
La importancia de la topología

• Veamos un ejemplo para una dinámica bastante
  simple.
• k 7.
• Función booleana idéntica en todos los nodos
• Sea s la suma de los 7 inputs en el tiempo t
• En t1 paso a 1 si 1 ? s ? 6, a 0 si s 0 ó s 7.
• Evalúo, después de cada iteración, la proporción
  de nodos que están en 1.
• Los siguientes gráficos son con N10.000

58
La importancia de la topología
Resultado caótico.
De hecho, si hacemos una aproximación mean field
se ve que para r de 1's en tiempo t, la
proporción en t1 es 1-(1-r)7-r7. Y se demuestra
que la función r?1-(1-r)7-r7 es caótica (como lo
era la logística de parámetro 4).
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La importancia de la topología
Como la regla es homogénea, podemos aplicarla
como autómata celular. Es decir, irnos al extremo
contrario e imponer una topología completamente
regular.
Ponemos entonces los N nodos en un círculo, y
cada uno recibirá input de sus tres vecinos en
cada dirección (y de sí mismo). La función es la
misma.
Resultado orden! La fluctuación es un efecto
del tamaño finito tiende a desaparecer con N??.
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La importancia de la topología

• Son casos extremos, por cierto.
• Cómo podemos interpolar entre un caso y otro?
• Introducimos un parámetro p en la construcción de
  la red.
• Asignamos los 7 inputs más cercanos, como en el
  segundo caso.
• "Repensamos" ahora cada uno de ellos. Con
  probabilidad p, lo reasignamos de modo que venga
  de un nodo escogido al azar.
• ?Con p1, tenemos el primer caso (grafo
  aleatorio).
• ?Con p0, tenemos el segundo (malla regular).

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La importancia de la topología
p 0.3
p 0.45
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La importancia de la topología
de 1's
Diagrama hecho con N1.500.000.
p
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La importancia de la topología

• Moralejas
• Incluso para funciones muy simples, la topología
  puede ser decisiva para la dinámica.
• Hay diferencia entre un grafo aleatorio, y uno en
  que haya algún nivel de orden.
• Puede haber sensibilidad dinámica a variaciones
  pequeñas en un parámetro que define la topología.
• Y eso que el caso que vimos no se metió con otras
  formas de modificar la topología por ejemplo, el
  modelo siguió siendo "democrático" (no había
  nodos especialmente conectados).

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Redes complejas
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Redes complejas

• El énfasis pasa definitivamente a la topología.
• Incluso sin dinámica (sin T) las
  características de la topología son tema de
  estudio (no trivial reciente hot).