Aplicatii ale integralei definite

1
Aplicatii ale integralei definite
2
Grupa 1 Aria suprafetelor plane Subgraficul
unei functii continue si pozitive Aria
subgraficului unei functii continue si
pozitive Aria suprafetei plane cuprinsa între
subgraficele a doua functii continue
Grupa 2 - Arii Aria cercului Aria
patratului Aria dreptunghiului Aria trapezului
Grupa 3- Volumul corpurilor de rotatie Volumul
conului Volumul cilindrului Volumul
sferei Volumul trunchiului de con
Grupa 4 Diferite probleme cu volumul unui corp
de rotatie
Grupa 5 - Probleme din diverse domenii care se
rezolva cu ajutorul integralei definite Probleme
propuse
3
Prima pagina
Aplicatii ale integralei definite
Cum ar fi viata mea fara matematica?
Aria suprafetelor plane
4
Prima pagina
1.Aria unei suprafete plane
a,b
Fie f 0 ) o functie
continua. Reamintim cele doua moduri de abordare
a problemei ariei marginita de curba yf(x), axa
Ox si dreptele verticale xa si xb(fig.1 a)
Figura 1
Pentru a calcula aria A se împarte figura
în benzi verticale(fig1 b) si fiecare banda se
aproximeaza cu aria unui dreptunghi. În final se
face suma ariilor dreptunghiului. Aceasta
operatie ne da o aproximare a ariei A, care este
cu atât mai buna cu cât numarul dreptunghiurilor
este mai mare.
5
Prima pagina
2. Subgraficul unei functii continue si
pozitive Daca fa,b R este o functie
continua, pozitiva, atunci multimea cuprinsa
între graficul functiei f, axa Ox si dreptele
de ecuatii xa si xb se noteaza cu

si se numeste
subgraficul functiei f, figura 1.

6
Prima pagina
2.2. Aria subgraficului unei functii continue.
Teorema. Daca fa,b
este subgraficul functiei f, atunci multimea
Comentarii

• Daca f(x) 0, graficul functiei f este situat
• deasupra axei Ox aria ( ) 0

2) Daca f(x) 0, graficul functiei f este
situat sub axa Ox Aria ( ) -
.
7
Prima pagina
3. Aria subgraficelor. Probleme rezolvate
Exemplu Sa se calculeze aria figurii
determinate de graficul functiei
f-2,2?R,f(x)x², axa 0x si dreptele x-2,
x2 (Fig 3).
Solutie. Aria ceruta este egala cu aria
Observatie Regiunea hasurata este simetrica în
raport cu axa 0y (functia este para). Deci aria
8
Prima pagina
Cerinta Sa se determine ariile subgraficelor
functiilor
Figura 5
Rezolvare
Rezolvare
Figura 6
Aria
9
Prima pagina
Rezolvare
Figura 7
Aria
Rezolvare
Aria
Figura 8
10
Prima pagina
4. Aria suprafetei plane cuprinsa între graficele
a doua functii continue
Daca f,g a,b R sunt functii continue
astfel încât f(x) g(x), x a,b
atunci multimea cuprinsa între graficele
functiilor f si g si dreptele de ecuatii xa si
xb notata cu

are arie si aria
Figura 12

1.În general daca f,g ? R sunt
functii continue atunci aria suprafetei plane
cuprinsa între graficele functiilor f, g si
dreptele de ecuatii xa ,xb este aria

.
2. Daca , atunci
aria
11
Prima pagina
4.1. Aria suprafetei plane cuprinsa între
graficele a doua functii continue. Probleme
rezolvate
1. Sa se determine aria suprafetei plane
marginite de graficele functiilor
Solutie Reprezentarile geometrice ale
graficelor celor doua functii sunt redate în
figura 13.
Aria
2. Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
între axa Ox si imaginea geometrica a graficului
functiei
Solutie Imaginea geometrica a graficului
functiei f este redata în figura 16. Aria
suprafetei plane hasurate este
12
Prima pagina
5. Aria unei suprafete plane. Probleme rezolvate
Cerinta Sa se determine aria suprafetei plane
pentru a)
Figura 9
Solutie Expresia f(x) se expliciteaza astfel

1-x, x -1,1
x-1, x (1,2
Subgraficul este reprezentat în figura 9.
În acest caz, aria
13
Prima pagina

0,1
b)
(1,2
Solutie Subgraficul este reprezentat în
figura 10. Aria
14
Prima pagina
Cerinta Sa se determine aria cuprinsa între
graficul lui , axa Ox
si dreptele x1,x2 (Fig.5).
Solutie. Observam ca
daca
Deci aria
15
Prima pagina
6.Aria unei regiuni cuprinse între graficul lui
f, axa Ox si dreptele xa, xb
Daca este
continua, atunci aria multimii A delimitata de
graficul lui ,axa Ox si dreptele
xa, xb este egala cu aria
(Fig.6)
16
Prima pagina
Exemplu. Sa se calculeze aria multimii A
determinate de graficul lui
,axa Ox si dreptele x0, x2 (Fig.7)
Solutie Aria ceruta este egala cu aria
,unde
Deci aria (A)aria(A1)(A2)
17
Prima pagina
7.Probleme rezolvate

• Fie
• a) Sa se determine aria limitata de graficul
  functiei f, axa Ox si dreptele x0 si x

Solutie
2.Sa se calculeze aria figurii delimitate de
graficul functiei
si de dreapta y6.
18
Prima pagina
4.Se da functia definita
prin
Sa se calculeze aria suprafetei
marginite de dreptele x-2, x2, axa Ox si
graficul functiei. Solutie Se impune
explicitarea functiei ecuatia
are solutia
Aria cautata este
19
Prima pagina
7. Sa se determine aria marginita de graficul
functiei
,axa Ox si dreptele SolutieCum
,aria cautata
este
. Prin urmare
20
Prima pagina
8. Probleme propuse
1. Se considera
functiile date prin si

• Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate
  de graficul functiei f, axa Ox si dreptele

si
2. Se considera functia ,
a)Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
între graficul functiei f, axa Ox si dreptele
si .
3.Pentru se considera functiile
definite prin
si
a)Sa se calculeze aria suprafetei plane marginita
de graficul functiei axa Ox si dreptele de
ecuatii si
4.Se considera functia
a)Sa se determine numarul real
astfel încât aria suprafetei plane determinata
de graficul functiei f, axa Ox, dreptele de
ecuatii si sa fie egala
cu
21
Prima pagina
si
a)Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse
între graficul functiei g, axa Ox si dreptele de
ecuatii
si

1. Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse
   între graficul functiei f, axa

si dreptele de ecuatii
si
22
Prima pagina
Bibliografie

1. Matematica- Manual pentru clasa a XII-a, Marius
   si Georgeta Burtea, Editura Carminis
2. Matematica- clasa XII- Culegere de probleme,
   B.Enescu, L.Vlaicu, Editura Europontic
3. Matematica- Manual pentru clasa a XII-a, Mircea
   Ganga, Editura Mathpress
4. http//www.ideiindialog.ro/articol_167/umanismul_m
   atematicii.html
5. www.math.msu.edu/mshapiro/KidMath/KidMath.html

23
Prima pagina
Realizatori
1.Adalinean Paula Iulia 2.Capâlna Tamara
Eunicia 3.Crisan Roxana Veronica 4.Marian Andrada
Bianca 5.Palii Mirel Ionut 6.Stef Camelia Mirela
24
Prima pagina
Aplicatii ale integralei definite
25
Prima pagina
ARIA SUPRAFETELOR PLANE
26
Prima pagina
1.ARIA CERCULUI
Sa se calculeze aria cercului cu central în
origine si de raza r. Ecuatia acestui cerc este
x²y²r², de unde
,xr,r. Semicercul superior are
ecuatia ,iar aria lui este care se mai poate
scrie
27
Prima pagina
Pentru calcul primitivei
procedam astfel
Deci
de unde
prin urmare,
aria unui semicerc.
Deci
28
Prima pagina
2.ARIA DREPTUNGHIULUI
Se obtine ca aria subgraficului functiei
Aria
29
Prima pagina
3.ARIA PATRATULUI
Se cere aria suprafetei determinata de dreapta
ya, axa Ox si dreapta de ecuatie x0 si xa.
Aria
30
Prima pagina
4.ARIA TRAPEZULUI
Fie Determinam m si n din conditia ca
punctele A(0,a), B(h,b) sa apartina graficului
functiei f.
. Deci functia cautata este
Aria
Am obtinut astfel binecunoscuta formula din
geometria plana.
31
Prima pagina

• Blibliografie
• teorie predare in cadrul orei de matematica
• cartea rosie-numele
• imagini reproducere prin intermediul
  programului de desenat Microsoft Paint

32
Aplicatii ale integralei definite
Prima pagina
Grupa 3

• Volumul corpului de rotatie

33
Volumul corpurilor de rotatie
Prima pagina

• O alta aplicatie a calculului integral (a
  integralei definite) o constituie determinarea
  volumelor unor corpuri de rotatie unor suprafete
  in jurul unei axe de rotatie.Corpurile astfel
  generate se numesc corpuri de rotatie.

34
Trunchiul de con
Prima pagina

• Definitie Trunchiul de con este corpul ce se
  obtine prin rotatia completa a unui trapez
  dreptunghic in jurul axei perpendiculare pe baza
  G?h?(R-r)?
• Elementele trunchiului de con
• 2 baze (cercuri de raze diferite)
• baza mare C(OR)
• baza mica C(Or)
• generatoarea trunchiului (CB)
• inaltimea trunchiului OOš
• distanta dintre centrele bazelor

35
Din punct de vedere al calcului integral
Prima pagina

• 1) Volumul trunchiului de con
• - trunchiul de con se obtinut prin rotirea
  trapezului aABb în jurul axei Ox. Daca r si R
  sunt razele bazelor trunchiului, atunci ecuatia
  dreptei AB este
  si deci trunchiul de con este corpul de rotatie
  determinat de functia

36
Prima pagina

• Prin urmare, volumul sau V este
  
• Daca notam hb-a , atunci h este
  înaltimea trunchiului de con. Considerând x-at ,
  obtinem
• Se obtine bine cunoscuta formula din geome in
  spatiu

37
Volumul Cilindrului
Prima pagina

• Cilindrul se obtine prin rotirea subgraficului
  functiei
• in jurul axei Ox

38
Volumul Cilindrului-corp de rotatie
Prima pagina
39
Conul
Prima pagina

• Conul circular drept de raza R si inaltime h se
  obtine prin rotirea subgraficului functiei
• in jurul axei Ox

40
Sfera
Prima pagina

• 1.Sa se calculeze volumul sferei de raza R.
• Vom considera semicercul de diametru 2R ,cu
  centrul in origine, situat in semiplanul
  determinat de axa Ox si semiaxa Oy.
• Acest semicerc reprezinta graficul functiei
• Sfera se obtine rotind subgraficul functiei f in
  jurul axei Ox,prin urmare

Sfera de raza R se obtine prin rotirea
subgraficului functiei (semicerc) in jurul axei
OX.
41
Sfera
Prima pagina
42
Exemple de probleme
Prima pagina

• Sa se calculeze volumul corpului de rotatie
  generat prin rotirea în jurul axei Ox a
  suprafetei plane limitate de graficele functiilor
  .
• Se stie ca si deci pentru
  orice .In plus egalitatea are loc pentru x0
• Prin urmare

43
Exemple de probleme
Prima pagina

• Se considera functia
• Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin
  rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei
• Rezolvare

44
Exemple de probleme
Prima pagina

• .Se considera functia
• Sa se determine numarul real p a.i. volumul
  corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a
  graficului functiei ,pt orice
• sa fie minim.
• Rezolvare
• sa fie minim. O functie de gradul doi
  are minimul in varf, deci V este minim daca p
  este abscisa varfului.

45
Exemple de probleme
Prima pagina

• .Se considera functia
• Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin
  rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei
• h0,1 R,
• Rezolvare
• Volumul este

46
Probleme propuse
Prima pagina

• 1)Se considera functia
• Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin
  rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei
  f
• 2) Sa se determine numarul real pozitiv a stiind
  ca volumul corpului obtinut prin rotatia, in
  jurul axei Ox, a graficului
• este egal cu

47
Prima pagina
Realizatori

• Bochis Andreea
• Campean Calin
• Duma Iulia
• Maris Gabriela
• Pop Cosmin
• Suciu Flavia

48
Prima pagina
Aplicatii ale integralei definite în diferite
domenii
49
Prima pagina

• Concentratia unei solutii apoase a unei
  substante,variaza urmând legea
• C , fiind grosimea
  stratului de solutie. Care este cantitatea Q de
  substanta continuta într-o coloana verticala de
  solutie a carei sectiune dreapta este S1 m2 si
  grosimea variind între 0 si 200m ?

Solutie Consideram un strat foarte mic al
coloanei de solutie apoasa cu sectiunea S si
grosimea dx , situat la adâncimea x.
Cantitatea de substanta continuta în acest strat
este
dQCSdx
dx
Integrând de la 0 la 200 se obtine
50
Prima pagina
2. O firma de publicitate a primit comanda de a
inscriptiona pe 50 de tricouri sigla clientului,
aceasta având forma ovala, încadrate într-un
dreptunghi de dimensiuni 10 cm si 20 cm. Costul
inscriptionarii este de 5 lei pe centimetru
patrat , iar adaosul practicat este de
20 Calculati profitul firmei de publicitate
obtinut dupa executarea acestei comenzi.
(indicatie aproximati suprafata siglei cu aria
unei elipse, considerând functiile
unei unitati de pe axa corespunzându-i 1 cm)
,
Solutie Cu ajutorul calculului integral calculam
aria elipseiA2
Rationalizam, despartim în doua integrale, una
este formula directa, iar cealalta se calculeaza
prin parti.Obtinem
51
Prima pagina
3. Un cazan in forma cilindrica se termina cu un
segment de paraboloid de rotatie, generat de
parabola (vezi figura 3). Sa se
calculeze
a) înaltimea partii cilindrice a cazanului b)
aria sectiunii axiale S a cazanului c) volumul
cazanului, stiind ca h4 m, d1 m.

• Stiind ca punctul A se afla pe parabola, deci
• rezulta

Figura 3
b) Aria multimii , marginite de arcul de
parabola OA, axa Ox si este
Aria multimii , marginite de arcul de
parabola BOA si dreapta AB, este
52
Prima pagina
Aria multimii ,a dreptunghiului ABCD, are
expresia
Deci,
c) Daca notam cu volumul
segmentului de parabola si respectiv al
cilindrului, obtinem
Prin urmare,
In cazul particular dat (h4m, d1m), rezulta
aria , respectiv
53
Prima pagina
4. Sa se arate ca într-un proces ireversibil
izoterm, lucrul mecanic maxim efectuat este dat
de variatia energiei libere cu semn schimbat.
Conform principiului al II lea al termodinamicii
rezulta
54
Prima pagina
5. O cantitate m1kg de apa aflata la
temperatura este pusa în
contact termic cu un termostat având temperatura
T373K.
a. Care este variatia entropiei apei, a
termostatului si a ansamblului apa-termostat?
b. Daca apa este pusa in contact termic cu un
termostat de temperatura
si apoi, dupa atingerea echilibrului termic cu un
alt termostat cu temperatura
, care este variatia entropiei ansamblului
apa-termostat?
Sistemul apa-termostat este izolat adiabatic fata
de mediul exterior.
a. Caldura primita de apa este
dT
Unde este
caldura specifica a apei. Variatia de entropie
a apei va fi atunci
55
Prima pagina
Termostatul aflat la termperatura T const.
Cedeaza apoi cantitatea de caldura
iar variatia de entropie corespunzatoare va fi
Variatia de entropie a ansamblului va fi
b. Tinând cont de rezultatul de mai sus,
Variatia entropiei ansamblului va fi in acest caz
Se observa ca în cazul acesta, variatia entropiei
ansamblului este mai mica decât în primul caz.
56
Prima pagina
6.O galeata goala se pune sub robinet si se umple
cu apa. t reprezinta timpul cât sta galeata sub
robinet. Debitul apei care curge este egal cu
2,3-0,1t galoane pe minut. Câta apa este în
galeata dupa 5 minute?
Variabila independenta este timpul t masurat în
minute din momentul în care galeata a fost pusa
sub robinet. Ni se da formula pentru debitul apei
r(t) cu care intra galeata în timpul t. Astfel
r(t) va juca rolul unei functii f(x) mentionata
mai sus. Notam V(t) volumul în galoane a apei
din galeata in timpul t. Ne intereseaza V(5) din
ce moment ni s-a spus ca V(0)0 (galeata este
goala când o punem sub robinet) vom avea
V(5)V(5)-V(0) si intervalul de interes este
intervalul0,5. Functia r(t) este continua în
acest interval. Mai mult relatia dintre debitul
si schimbarea de volum a apei este astfel daca
apa curge în galeata cu un debit constant r în
intervalul de timp c,d atunci se schimba
volumul intre timpul c si d dupa formula
V(d)-V(c)r(d-c). Astfel presupunerile 1 si 2
sunt vf si putem exprima V(5) ca o integrala
definita
V(5)V(5)-V(0)
57
Prima pagina
7. O albina calatoreste cu viteza
. Unde t-timpul masurat în
secunde în momentul plecarii de la stup. Cât de
departe ajunge albina în timpul celei de a doua
secunda? Solutie
8. Se confectioneaza un vas având forma corpului
de rotatie determinat de functia
, f(x)
, unei unitati de pe axa corespunzându-i 10 cm.
Verificati daca încap în acest corp 50 litri de
apa. Solutie 10cm1dm, 1dm31l Calculam volumul
corpului de rotatie determinat prin rotirea în
jurul axei Ox a graficului functiei f V
50l
58
Prima pagina
Probleme propuse

1. O colonie de bacterii creste la o rata de 5,3
   105 1.7t, în cazul în care nu se masoara în
   ore. În cazul în care initial exista 106 bacterii
   prezente, cât de multe bacterii vor fi în
   colonie dupa trei ore?

59
Prima pagina
2. Un fabricant de materiale de constructie vrea
sa realizeze un pavaj din dale având forma si
dimensiunile din figura 2, unde mijlocul I al
segmentului AB este centru de simetrie pentru
arcul
.
a. Sa se arate ca exista o functie
al carei grafic este
b. Daca
calculati aria dalei si verificati rezultatul
prin considerente geometrice.
60
Prima pagina
3. Un leu urmareste o gazela. Timpul se masoara
în secunde si t0 marcheaza începutul cursei ,de
exemplu în momentul în care gazela îl vede pe
leu. Pentru t0 viteza leului în km/h este data
de formula V(L)90-2t (deci leul fuge deja cu
viteza gazelei in km/h este data de formula
V(G)5t (astfel gazela are viteza mai mare). a)
În ce moment t gazela si leul au aceeasi
viteza? b) Cu cât se diminueaza distanta dintre
leu si gazela în timpul primelor 2 secunde ale
cursei? c) Cât trebuie sa se aproprie L de G la
începutul cursei astfel incât sa o prinda pe
gazela?
61
Prima pagina
Bibliografie
Matematica-manual pentru clasa a XII a M2, Mihai
Postolache, editura Fair Parteners Matematica-m
anual pentru clasa a XII a M2, Marius Burtea,
Georgeta Burtea, editura Carminis www.wikipedia.r
o www.math.ohiou.edu
62
Prima pagina
Realizatori
1. Buzan Cristina 2. Coroian Alexandru 3. Marc
Sabina 4. Mocan Anca 5. Rus Georgiana