M

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Métodos de elemento finito

• 7.4.1. Método de Galerkin
• 7.4.2. Formulación de elemento finito en 2
  dimensiones

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• Los métodos de elemento finito (MEF) son una
  estrategia numérica alternativa muy popular para
  la simulación de el flujo subterráneo.
• La teoría de elemento finito es más abstracta que
  los métodos de diferencias finitas (MDF), el
  (MEF) tiene ventajas significativas sobre el
  (MDF) en algunas aplicaciones practicas.
• El (MEF) se basa en considerar al cuerpo o
  estructura dividido en elementos discretos, con
  determinadas condiciones de vínculo entre sí,
  generándose un sistema de ecuaciones que se
  resuelve numéricamente y proporciona el estado de
  tensiones y deformaciones.

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• Se utiliza la teoría de aproximación polinominal
  presentada en la sección 7.2 como punto de
  partida en el desarrollo del método, combinando
  las ecuaciones 7.15 y 7.16 de la sección 7.2
  tenemos que
• f(x) es la función buscada, que puede ser en este
  caso h(x)
• h(x) es la aproximación polinominal de h(x).
• E(x) es el error de aproximación

(7.65)?
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• La aproximación clásica para el desarrollo de el
  método de elemento finito utiliza el concepto de
  residuos pesados.
• Para hacer este concepto tan abstracto más
  concreto, quizá ayude seleccionar una ecuación a
  la cual se le aplique el (MEF).
• Si definimos un operador (x) como una ecuación
  de flujo de agua subterránea en una dimensión en
  estado estacionario con una fuente Q(x) tenemos
  que
• Ahora si definimos el residual R(x) como la
  diferencia entre el valor obtenido de la solución
  exacta h(x) y el valor obtenido de sustituir h(x).

(7.66)?
5

• Obtenemos la ecuación
• Si consideramos que (h(x))0 tenemos
• Consideremos ahora, una función de peso w(x) que
  es también función de x. El método de residuos
  pesados puede ser simplemente definida como

(7.67)?
(7.68)?
(7.69)?
6

• La ecuación anterior afirma que se busca un valor
  de h(x), tal que la integral en el dominio de X
  por la función w(x) sea igual a cero.
• La selección de la función de w(x) indica la
  naturaleza del método de residuos pesados.

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Método de Galerkin

• La función de peso más comúnmente usada es la
  misma función utilizada para aproximar la función
  conocida, h(x).
• Esta formulación es conocida como el Método de
  Galerkin
• De la ecuación 7.65 podemos ver que es un
  polinomio de Lagrange, lnj(x) y de la ecuación
  7.69 tenemos que

(7.70)?
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• El siguiente paso es sustituir la aproximación de
  h(x) dada por la ecuación 7.65 sin el termino del
  error.
• Hay que tener en cuenta que el valor de h(xj) es
  un número representando la función h(x) con
  xxjj?x. Si asumimos que In2, podemos
  utilizar esta información dada en la figura 7.8
  con la cual la ecuación anerior queda de la
  siguiente forma

(7.71)?
(7.72)?
9

• Si tomamos en cuenta la definición de (x) y la
  sustituimos en la ecuación obtenemos
• Pero conocemos de la ecuación 7.33 que
• Sustituyendo en la ecuación resulta

(7.74)?
(7.75)?
(7.76)?
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(No Transcript)
11

• Si consideramos para esta ecuación la forma
  general de los polinomios de Lagrange ecuación
  7.13 obtenemos
• Sustituyendo en la ecuación para i1

(7.77)?
(7.78)?
12

• Si consideramos que la componente Q es constante
  en el espacio y no depende de x.
• Pero esta ecuación es la aproximación de
  diferencias finitas para la ecuación.

(7.79)?
(7.80)?
13

• Sin embargo, si consideramos los mismos 3 nodos
  pero ahora empleando polinomios lineales de
  Lagrange usando una estrategia ligeramente
  diferente, podemos obtener una nueva formulación
  a partir de sustituir la definición de (h(x))
  dentro de la ecuación 7.70.

(7.81)?
14

• Ahora definimos h(x) usando polinomios lineales
  de Lagrange como se muestra en la figura 7.9.
• La aproximación a h(x) ahora se escribe como
• donde

(7.82)?
(7.83)?
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(No Transcript)
16

• La sustitución de la ecuación de la ecuación 7.82
  en 7.81 produce, para ecuación generada por la
  función de peso l1.
• Inmediatamente surge un problema, puesto que la
  segunda derivada de una función lineal es cero
  casi en cualquier lugar tal que la aproximación
  d2h/dx2 tiende a cero excepto en los puntos
  nodales, en donde esta es infinita.

(7.84)?
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• Para esquivar este problema, se puede aplicar la
  integración por partes de la segunda derivada,
  donde el resultado para una función de peso, la
  cual es
• Nótese que l1(x)0 para xx0 y también para xx2,
  por lo que el segundo termino en la ecuación
  desaparece.

(7.85)?
Ir a 26
18

• De la ecuación 7.41 obtenemos la aproximación, y
  de la ecuación 7.83 tenemos que
• De manera similar,
• Combinando las ecuaciones anteriores con la 7.85
  obtenemos que

(7.90)?
(7.91)?
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• Si consideramos que Q es constante rescribimos la
  ecuación anterior como
• Si utilizamos el (MEF) o el (MDF), siempre
  terminaremos con la misma aproximación numérica
  de la ecuación de flujo de agua subterránea en
  estado estacionario en presencia de una fuente
  constante Q.

(7.92)?
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Formulación de elemento finito en 2 dimensiones

• La extensión de la teoría de elemento finito en
  2-D requiere nuevos conceptos.
• Consideremos la ecuación de flujo de agua
  subterránea en 2-D independientes del tiempo.
• Extendemos la representación de la carga
  hidráulica para 2-D como h(x,y), donde los
  elementos finitos están representados por
  rectángulos como se muestran en la figura 7.10.

(7.93)?
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(No Transcript)
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• Donde lij(x,y)li(x)lj(y) y asumimos que los
  polinomios de Lagrange son lineales.
• La función lij(x,y) se muestra en la figura 7.11
  para el elemento D y el nodo a.
• La función es lineal para las dos direcciones x y
  y, sin embargo la línea que se dibuja del nodo a
  al c no lo es.

(7.94)?
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(No Transcript)
24

• La ecuación de residuos pesados la podemos
  escribir como
• ? es el dominio en 2-D que representa el área.
• El operador (h(x)) lo definimos ahora como
• Introducimos la notación

(7.95)?
(7.96)?
(7.97)?
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• Podemos escribir la ecuación 7.96 como
• donde T es el tensor de transmisividad
• Combinando la ecuación de residuos pesados (7.95)
  y la definición de la ecuación 7.98 obtenemos

(7.98)?
(7.99)?
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• Aplicando el segundo teorema de Green
• Aunque la ecuación anterior es análogo a la
  ecuación 7.85, si expandimos el primer termino de
  la integral de superficie en la ecuación 7.100
  por una función de peso localizada en un punto
  (xk,yl) esta dada por

(7.100)?
(7.101)?
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• Sustituyendo la función h(x) obtenemos
• Esta ecuación no puede ser fácilmente
  simplificada a causa de los productos de los de
  varios polinomios de Lagrange y sus derivadas.
• En 2-D la formulación de elemento finito no
  corresponden a la forma de diferencias finitas,
  aún cuando TxyTyx0

(7.102)?
Ir a 34
28

• Como se menciono en el capitulo anterior existen
  3 tipos de condiciones de frontera que pueden
  potencialmente se consideradas.
• La condición de frontera tipo Dirichlet, que se
  define como una condición de carga constante en
  la frontera.
• El resultado sustituir valores constantes de la
  carga conocida en la frontera es, una reducción
  en el número de filas en la matriz.
• La matriz final contiene el número de ecuaciones
  no conocidas, que son el número de nodos menos el
  número de condiciones de frontera Dirichlet

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• El segundo tipo es la condición de frontera tipo
  Neumann
• Para los nodos localizados en la frontera de la
  región de flujo dentro del elemento puede
  especificarse, asumiendo que una condición
  Dirichlet no esta definida a lo largo del
  segmento de frontera.
• Para esto se remplaza el termino T ?xyh(x,y) por
  un valor de flujo conocido.
• Así se crea el termino que representa el flujo a
  través de la frontera en el perímetro.

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• La forma más popular y por lo tanto la más
  utilizada para elementos finitos en 2-D son los
  triángulos en comparación con los rectángulos.
• La ventaja de los triángulos en 2-D y tetraedros
  en 3-D en la flexibilidad para la localización de
  nodos.
• Para los elementos triangulares no conviene
  utilizar la notación ij utilizada para los
  rectángulos.
• Por el contrario, cada nodo es numerado como se
  muestra en la figura 7.12.

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(No Transcript)
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• La ecuación (7.102) y la teoría presentada en
  este capítulo, tomada para elementos
  triangulares, difiere solo en la definición de
  funciones de peso y base fi(x,y).
• Si usamos fi(x,y) en vez de li(x,y) reconociendo
  que esta función no es un polinomio de Lagrange
  en el sentido clasico.
• Por lo que podemos considerar que a fi(x,y) como
  una pieza plana del polinomio de Lagrange.

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• Si consideramos el elemento A en la figura 7.12.
  La función base identificada con el nodo 2 se
  asemeja a la figura 7.13.

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• Puesto que la integración que esta en la ecuación
  7.102 esta sobre un triángulo, una transformación
  coordenada se aplica para facilitar los cálculos.
• Consideremos un ejemplo para ver las ventajas de
  la flexibilidad de elementos finitos triangulares
  contra mallas rectangulares.
• En la figura 7.14 se muestra una malla
  rectangular generada por la aplicación de
  diferencias finitas.
• En la figura 7.15 se muestra una malla triangular
  generada por la aplicación de elemento finito.

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(No Transcript)
36
(No Transcript)
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• La comparación de las 2 mallas ilustra dos
  características
• La primera, en la vecindad de la localización de
  un pozo, ambas mallas requieren una gran densidad
  de nodos.
• Para el caso de la malla rectangular, las
  consideraciones geométricas requieren que una
  línea de nodos una vez empezado debe ser continua
  en la frontera del modelo.
• En contraste, la malla de elemento finito,
  triángulos pequeños reflejan el gran número de
  nodos cerca del pozo, pero es un decrecimiento
  gradual en la densidad de nodos.

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• La segunda característica se puede observar en la
  parte superior derecha, donde la frontera es
  oblicua.
• El número de nodos en la malla rectangular son
  cerca de 1600 y en la malla triangular son cerca
  400.
• Para el manejo computacional, el considerar
  mallas triangulares es más eficiente que las
  mallas rectangulares.
• Cuando se generan líneas de flujo, se puede
  utilizar el hecho de que, para un triangulo, el
  gradiente es constante. Así se construyen las
  líneas de flujo de un punto arbitrario.