Grundmodelle f

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Grundmodelle für Peak Oil
a.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling Institut für
Mathematik und Wissenschaftliches
Rechnen Präsentation verlinkt auf
/dokumentation.html

• Modelle für
• Ölentdeckung
• Ölproduktion
• Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital

• Entropie/Komplexität Energie
• Spiele für Kooperation

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Ölentdeckung

• Wir suchen Öl in einem Gitter (der Welt)
• Zu Beginn Wahrscheinlichkeit einer zufälligen
  Entdeckung N/(NM).

X X
X

X

X X X
X

XRessource ?Leer
NAnzahl der Ölzellen MAnzahl der
Leerzellen
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Ölentdeckung

• Was sind die Wahrscheinlichkeiten der ersten paar
  Erfolge?
• Gleiche Erfolgs- und Ausfallsverhältnisse
  bedeutet
• Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs

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Ölentdeckung

• Beispiel
• P(5 Kinder heute) P(5-gt5) P(5 Kinder
  gestern)
• P(4-gt5) P(4 Kinder gestern)
• Ähnlicherweise
• P(n in tdt) P(n-gtn) P(n in t)
• P(n-1-gtn) P(n-1 in t)
• oder
• wobei
• pn(t) Wahrscheinlichkeit in Zeit t, dass n
  Ölzellen schon gefunden.

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Ölentdeckung

• Alles zusammen
• oder

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Ölentdeckung

• Anfangswertproblem
• Ergebnis
• Mittelwert erfüllt

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Ölentdeckung

• Realistischere Wahrscheinlichkeiten der Erfolge?
• Statt
• Nimm

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Ölentdeckung

• Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs
  (logistisch aussehend!)
• Alles zusammen
• oder

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Ölentdeckung

• Anfangswertproblem
• Ergebnis
• Mittelwert ist ungefähr logistisch beweisbar.

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Ölentdeckung

• Das resultierende Modell der Entdeckung
• E(t) (Erwartungswert der) Entdeckung in Zeit t
• Logistisches Modell

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Ölproduktion

• Das einfachste Modell der Produktion Ein
  Brunnen
• Bernoulli-Poiseuille

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Ölproduktion

• Bernoulli-Poiseuille
• Fluss
• Volumenänderung
• Produktion nicht logistisch

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Ölproduktion

• Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille
• Fluss
• Volumenänderung
• Produktion ohne Mischung linear!

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Ölproduktion

• Salzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille
• Fluss
• Mit Mischung - Konzentrationsänderung
• Produktion mit Mischung nicht logistisch!

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Ölproduktion

• Kopplung zwischen Entdeckung und Produktion
• Wenn gekoppelt sehen beide logistisch aus,
  Produktion zögert nach Entdeckung

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Kopplung mit Vorrat Kapital

• Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa
• Diskret Ndt Adt bestimmt Preis p

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Kopplung mit Vorrat Kapital

• Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa
• Stetig N A bestimmt Preis p

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Kopplung mit Vorrat Kapital

• Population steigt mit V, Nachfrage fällt mit
  Überschuss in V, also N steigt schwach mit V,
  Angebot steigt stärker mit V
• Bedingung N A bestimmt Preis p
• Produktion hört auf wegen Verschuldung, wird
  beschleunigt mit mehr K

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Kopplung mit Vorrat Kapital

• Sogar mit diesem einfachen Modell sieht man
  folgende Schwingungen
• Am Peak steigen A N, bis V konsumiert,
  Verschuldung stoppt P, p steigt bis Kgt0 und Öl
  völlig produziert, A N (Population) niedrig.

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Entropie/Komplexität Energie

• Was ist Entropie? TdSdEpdV-µdNvon der
  Thermodynamik
• Beispiel Unterschiedliche Kugeln verteilt in
  eine Box
• System strebt zu Smax

Mögliche Realisierungen O
Einige Konfigurationen
????
1
4
6
12
24
? ???
?? ??
? ? ??
? ? ? ?
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Entropie/Komplexität Energie

• Präziser
• für Systeme in Gleichgewicht. !Nun gezeigt auch
  für Systeme nicht in Gleichgewicht Jaynes,
  1957-1998, Dewar, 2003
• wird maximiert, wobei G ein möglicher Pfad ist.
• System strebt zu max Entropieproduktion
  wahrscheinlichster Zustand, wahrscheinlichster
  Weg. (vgl. Prigogine!)

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Entropie/Komplexität Energie

• Entropie fällt wegen Einschränkungen
• Z.B. S(Eis)ltS(Wasser). Eis ist komplexer. Ein
  Maß der Komplexität
• Z.B. K(Eis)gtK(Wasser).

Eingeschränkte Konfiguration
Mögliche Realisierungen O
4
24
? ? ? ?
? ? ? ?
Freie Konfiguration
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Entropie/Komplexität Energie

• Zwei Gefäße, ein ideales Gas, gleicher P, gleiche
  N, aber T1 ? T2.
• Getrennt ? eingeschränkt ? komplexer.
• Wenn Gefäße verbunden werden, steigt Entropie
  beim Gleichgewicht
• Rückkehr verlangt Energie!

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Entropie/Komplexität Energie

• Wenn diese Energie investiert wird, Wärme Q1
  stellt T1, T2 wieder her,
• und T1 und T2 sind für Arbeit verfügbar
• wenn Q2 abgegeben wird. Verfügbare Arbeit pro
  Wärmeeinheit
• Neue Komplexität und verfügbare Arbeit
• Ein Taintersches Komplexitätsdiagramm.

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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Land X und Land Y entscheiden, ob sie
  Verschmutzung reduzieren oder nicht.
• Kosten für Reduzieren 7 Einheiten
• Gewinn von Reduzieren 5 Einheiten für beide
  genießbar
• Darstellung des Spiels Auszahlungen (x,y)
• Selbe Struktur wie Gefangenendilemma
  Gleichgewicht in (0,0).
• Strafe für Nichteinhaltung? Wer macht die
  Durchsetzung?

X Y verschmutzen reduzieren
verschmutzen (0,0) (5,-2)
reduzieren (-2,5) (3,3)
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Neue Bedingung,
• Kosten für Reduzieren 7 Einheiten
• Gewinn von Reduzieren 5 Einheiten für beide
• Kosten wenn beide nichts tun 4 Einheiten
• Darstellung des Spiels Auszahlungen (x,y)
• Selbe Struktur wie Angsthasenspiel
  Gleichgewichte in (-2,5) (5,-2).
• Wer bedroht, kann das Gleichgewicht entscheiden.
• Wer den ersten Zug hat, kann das Gleichgewicht
  entscheiden.

X Y verschmutzen reduzieren
verschmutzen (-4,-4) (5,-2)
reduzieren (-2,5) (3,3)
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Land X und Land Y entscheiden, ob sie
  zu einem Allgemeinwohl beitragen.
• Kosten eines Beitrags 8 Einheiten
• Gewinn 12 Einheiten für beide, nur wenn beide
  beitragen.
• Darstellung des Spiels Auszahlungen (x,y)
• Selbe Struktur wie Sicherungsspiel
  Gleichgewichte in (0,0) (4,4).
• Kooperative Lösung selbstdurchsetzend, ohne
  Anreiz nicht zu halten.
• In Wiederholung des Spiels gibt es Anreiz zur
  kooperativen Lösung.

X Y nicht beitragen beitragen
nicht beitragen (0,0) (0,-8)
beitragen (-8,0) (4,4)
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Kontinuum von Strategien, z.B. wie viel
  will man beitragen?
• N Länder spielen. Land i trägt zi bei.
  Gesamtbeitrag is ZSi1N zi.
• Land i hat Gewinn Bi(Z) und Kosten Ci(zi).
• Zu maximieren ist Bi(Z)-Ci(zi).

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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Kein reines Gleichgewicht, also
• X und Y spielen gemischte Strategien
• P(a)q, P(b)1-q, P(c)p, P(d)1-p
• q3/4?X-Gewinne gleich in 3/4. p3/8?X-Gewinne
  gleich in -3/4.

Y q 1-q
X Strategie a Strategie b X-Gewinn
p Strategie c (2,-2) (-3,3) 5q-3
1-p Strategie d (0,0) (3,-3) 3-3q
Y-Gewinn -2p 6p-3
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Spiel gegen Natur, Entscheidungstheorie.
  
• kKosten zur Zweigbibliothek, ?kKosten zur
  Zentralbibliothek
• K(c)ltK(d) wenn 1/? ltq gilt, also geh erst zur
  Zweigbibliothek.

Natur q 1-q
X Möglichkeit a Möglichkeit b X-Kosten
Strategie c k (1?)k qk(1-q)(1 ?)k
Strategie d ?k ?k q?k(1-q)?k
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Evolutionär stabile Strategien.
• q7/12 ? Eindringlinge-Gewinne gleich in 25/4.
• Spezies stabil gegen Eindringlinge.

Spezies q 1-q Eindringlinge-
Eindringlinge Falke Taube Gewinne
Falke (-25,-25) (50,0) -25q50(1-q)
Taube (0,50) (15,15) 0q15(1-q)
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Einführung in Spieltheorie

• Beispiel Wiederholtes Gefangenendilemma,
  TgtRgtUgtS, Rgt(ST)/2.
• P(1.Spiel)1, P(2.Spiel)p, P(3.Spiel)p2, usw.
• Gewinn durch Kooperieren RpRp2RR/(1-p)
• Gewinn durch Überlaufen beim mten Zug
• RpRp2Rpm-1R pmT pm1Upm2U
• R(1-pm)(1-p)pmTpm1U/(1-p)
• Kleiner als R/(1-p) wenn pgt(T-R)/(T-U), also
  kooperieren.

X Y kooperieren überlaufen
kooperieren (R,R) (S,T)
überlaufen (S,T) (U,U)
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Modell der Ressourcenteilung

• Pallage Zwei Länder, wählen in t,t1 eigene
• Konsum ct
• Kapital kt1
• Ressourcennachschub xt
• Transfer tt
• Produktion einer Ware ytf(kt) beschädigt die
  Umwelt durch g(yt)
• Ressource at entwickelt sich so at1 at
  xt1-g(yt1) xt2-g(yt2)
• Unter natürlichen Einschränkungen soll eigene
  Utilität maximiert werden St08ßt U(ct,at1)
• Länder kooperieren wenn Anfangsressource oder
  Anfangskapital genügend knapp sind oder wenn ß
  groß genug ist.