Presentazione di PowerPoint

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Stime per intervalli
Oltre al valore puntuale di una stima, è
interessante conoscere qual è il margine di
errore connesso alla stima stessa. Si possono
stabilire dei limiti entro i quali si ha una
confidenza (1-?) che vi sia compreso il vero
valore del parametro nella popolazione. Questi
limiti si chiamano LIMITI FIDUCIALI, e
lintervallo che definiscono si chiama INTERVALLO
FIDUCIALE o INTERVALLO DI CONFIDENZA
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Stime per intervalli
Una stima del parametro fatta da un campione,
corredata dai suoi limiti fiduciali, è detta
STIMA PER INTERVALLI. I valori usuali di ? sono
0,01 0,05 0,1, che danno luogo a intervalli
fiduciali o intervalli di confidenza
rispettivamente del 99 95 90. Per definire un
intervallo di confidenza si utilizzano le
distribuzioni campionarie.
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Intervallo di confidenza di una media (? noto)

• Si estrae un campione di numerosità n per stimare
  la media. Della popolazione si conosce la
  deviazione standard ?.
• Facciamo riferimento alla distribuzione delle
  medie campionarie.
• La media del campione appartiene alla popolazione
  di medie campionarie che ha
• distribuzione normale
• stessa media della popolazione di partenza
• deviazione standard ?/?n.
• Si tratta, in questa distribuzione normale, di
  individuare lintervallo che esclude ?/2 per
  lato.
• Questo intervallo avrà probabilità 1-? di
  includere la vera media della popolazione.

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Intervallo di confidenza di una media (? noto)
Se ? è noto si fa riferimento alla distribuzione
z (? 0 e ?1)
Con
Definito un grado di confidenza 1-?,
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Intervallo di confidenza di una media (? noto)
Se ad esempio il grado di confidenza 1-? 0,95
Z?/2 1,96 Quindi lintervallo di confidenza
della media sarà
Valori critici usuali di Z?/2 sono Z0.05 1.64
(per confidenza del 90) Z0.025 1.96 (per
confidenza del 95) Z0.005 2.57 (per confidenza
del 99)
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Intervallo di confidenza di una media (? noto)
Z?/2 (?/?n) è la quantità che viene aggiunta e
sottratta alla media campionaria per avere
lintervallo. Si chiama massimo errore di stima,
ed è un indicatore della precisione della
stima. A parità di ? i limiti fiduciali si
restringono allaumentare di ? (e quindi al
diminuire del grado di confidenza) si esclude
unarea di curva maggiore ma aumenta la
possibilità che i limiti non contengano il vero
? n non vi sono controindicazioni, se non il
costo o lonere di un campione più grande
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Intervallo di confidenza di una media (? ignoto)
Dal campione si deve stimare la media e la
deviazione standard. Non si può usare la
distribuzione di z, poiché per usare z occorre
conoscere ?. Si usa quindi la distribuzione di t.
con
Analogamente a quanto visto, i limiti fiduciali
per una confidenza 1-? saranno dati da
Dove la distribuzione di t è quella per (n-1) GL
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Intervallo di confidenza di una media (? ignoto)
ESEMPIO Avendo rilevato produzioni di un pascolo
si sono ottenuti i seguenti valori (t ha-1 di
sostanza secca) 3.6 4.3 4.8 3.3 3.2 2.8
4.1 4.8 3.3. Calcolare la produzione media ed i
suoi limiti fiduciali al 90, al 95 e al
99 Soluzione
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Intervallo di confidenza di una proporzione
Una distribuzione binomiale, se ci si riferisce
alle proporzioni di successi, è caratterizzata
da Media (valore atteso) ?p Varianza ?2
p(1-p) La proporzione di successi del campione,
se n è sufficiente, è una variabile casuale con
distribuzione approssimativamente normale e
Media p Varianza p(1-p)/n
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Intervallo di confidenza di una proporzione
Se n è sufficientemente grande
Ha distribuzione della normale standardizzata
Dove è la proporzione campionaria di
successi, trovata con un campione di numerosità
n. Definita una confidenza 1- ? posso quindi
calcolare lintervallo di confidenza come
(sostituendo la stima di p nella formula)
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Esempio intervallo di confidenza di una
proporzione
In un sondaggio elettorare su 150 intervistati 84
(cioè 56) hanno dichiarato di votare per il
partito A. Si vuole costruire lintervallo di
confidenza al 99.
Il limite inferiore sarà 0,456 e quello superiore
0,664