Modele szereg

1
Modele szeregów czasowych z tendencja rozwojowa

• Modele analityczne

2
Modele tendencji rozwojowej stosujemy do
prognozowania na podstawie szeregów czasowych, w
których wystepuja tendencja rozwojowa oraz
wahania przypadkowe. Role zmiennej objasniajacej
odgrywa zmienna czasowa. Nie jest ona
bezposrednia przyczyna zmian zachodzacych w
wartosciach zmiennej prognozowanej, ale
syntetyzuje wplyw blizej nie znanych czynników,
stwarza mozliwosc opisu tych zmian w sposób
ilosciowy.
3
Zapis modelu zatem bedzie nastepujacy 
yt f(t) ?t, t 1,........,n (1)
lub yt f(t) ?t, (2)
Gdzie f(t) - funkcja czasu, charakteryzujaca
tendencje rozwojowa szeregu, nazywana funkcja
trendu, ?t - zmienna losowa, charakteryzujaca
efekty oddzialywania wahan przypadkowych na
zmienna prognozowana, o wartosci oczekiwanej
równej 0 dla (1) lub 1 dla modelu (2) i
skonczonej wariancji.
4
Model zapisany równaniem pierwszym odpowiada
sytuacji, gdy szereg czasowy stanowi sume trendu
i wahan przypadkowych (model addytywny), a model
drugi sytuacji, gdy szereg czasowy jest
iloczynem trendu i wahan przypadkowych (model
multiplikatywny) .
5
Modele analityczne
Okreslenie funkcji trendu metoda analityczna
polega na znalezieniu funkcji f(t), optymalnie, w
swietle przyjetych kryteriów oceny, pasujacej do
wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej.
Do oceny dopasowania modelu do danych
empirycznych uzywa sie na ogól wspólczynnika
determinacji R2.
6
Najczesciej spotykana postacia funkcji trendu
jest funkcja liniowa
(3)
Reprezentuje ona staly kierunek rozwoju danego
zjawiska, wyznaczony przez wspólczynnik
kierunkowy prostej . Parametr ten jest
wspólczynnikiem stalego przyrostu wartosci
zmiennej prognozowanej w ciagu jednostki czasu.
7
W wielu przypadkach stosowanie liniowych funkcji
trendu jest nieuzasadnione. Sa sytuacje, w
których nalezy zastosowac funkcje o rosnacych
przyrostach a) funkcja wykladnicza
(4)
lub
(5)
Której wlasciwoscia sa stale stopy wzrostu
wynoszace
dla modelu (4) lub dla modelu (5)
8
b) wielomian stopnia drugiego (parabola)
którego zaleta jest duza elastycznosc, wynikajaca
z posiadania trzech parametrów, dzieki czemu moze
on lepiej odzwierciedlac rózne nieliniowe
tendencje rozwojowe
c) funkcja potegowa
która jest odpowiednia do opisu tendencji
rozwojowych, które w ukladzie wspólrzednych
logarytmicznych wykazuja przebieg liniowy.
9
W sytuacjach, w których wzrost wartosci zmiennej
prognozowanej przebiega coraz wolniej i zdaza do
pewnego poziomu, zastosowanie moga znalezc
funkcje o malejacych przyrostach
a) logarytmiczna
b) potegowa
c) wielomian stopnia drugiego (parabola)
10
Najczesciej spotykana metoda estymacji parametrów
wymienionych funkcji to metoda najmniejszych
kwadratów. W celu oszacowania nie znanych ocen
wartosci parametrów modeli liniowych uzywamy
wzorów
gdzie
11
Po wyborze postaci funkcji trendu oraz
wyznaczeniu ocen jej parametrów dokonuje sie
oceny jakosci otrzymanego modelu.
Zeby uzyc modelu do budowy prognoz trzeba
zalozyc a) stabilnosc relacji strukturalnych w
czasie,oznaczajaca, ze zarówno postac analityczna
modelu, jak i wartosc ocen jego parametrów nie
ulegna zmianie w przedziale czasu, dla którego
wyznacza sie prognoze, b) stabilnosc rozkladu
skladnika losowego, umozliwiajaca ocene bledu ex
ante prognozy.
12
Przyszla wartosc zmiennej uzyskuje sie przez
ekstrapolacje funkcji trendu, tj. przez
podstawienie do modelu w miejsce zmiennej
czasowej numeru momentu lub okresu - T, na który
wyznacza sie prognoze
Jest to prognoza punktowa. Do oceny jej jakosci
uzywa sie bledu prognozy ex ante, który w
przypadku liniowej funkcji trendu jest dany
wzorem
13
gdzie s - odchylenie standardowe reszt dane
wzorem
gdzie
yt - rzeczywista wartosc zmiennej Y w momencie
lub okresie t - teoretyczna wartosc
zmiennej Y wynikajaca z modelu w momencie lub
okresie t - srednia wartosc zmiennej Y w
szeregu czasowym o dlugosci n n - liczba
obserwacji m - liczba zmiennych objasniajacych
14
Do oceny dopasowania modelu do wartosci
rzeczywistych zmiennej prognozowanej mozna sie
posluzyc a) wspólczynnik determinacji
b) standardowy blad oceny modelu
15
Czesto oprócz wyznaczenia prognozy punktowej
konstruuje sie przedzial prognozy (prognoze
przedzialowa), tj. przedzial liczbowy, do którego
ze z góry zadanym prawdopodobienstwem (p), zwanym
wiarygodnoscia prognozy, nalezec bedzie przyszla
wartosc prognozowanej zmiennej.
Gdzie u - wspólczynnik zwiazany z
wiarygodnoscia prognozy, rozkladem zmiennej
prognozowanej oraz dlugoscia szeregu czasowego
(ugt0), p - wiarygodnosc prognozy.
16
Jezeli w procesie weryfikacji hipoteza o
normalnym rozkladzie reszt modelu nie zostala
odrzucona, to wartosc wspólczynnika u odczytuje
sie z tablic rozkladu normalnego (dla ngt30) lub z
tablic rozkladu t-Studenta dla n-2 stopni swobody
i prawdopodobienstwa 1-p. Jezeli hipoteza ta
zostala odrzucona lub nie byla weryfikowana, to
wartosc wspólczynnika u moze byc wyznaczona z
nierównosci Czebyszewa
Gdzie
- wartosc oczekiwana zmiennej prognozowanej Y, -
odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej Y.
17
Przyklad 1
Wielkosc sprzedazy wedzisk spinningowych (w szt.)
u jedynego przedstawiciela firmy Shimano na
Podlasie w poszczególnych pólroczach lat
2000-2005 w województwie podlaskim ksztaltowala
sie nastepujaco 105 115 118 129 128 130
139 141 146 156 160 164 Przyjmujac, ze w
latach 2006-2007 czynniki i ich oddzialywanie
ksztaltujace wielkosc sprzedazy nie ulegna
zmianie, nalezy wyznaczyc prognozy punktowe i
przedzialowe sprzedazy wedzisk na trzy kolejne
pólrocza. Przedstawiciel firmy Shimano postawil
warunki - prognoza moze byc obarczona bledem
wzglednym co najwyzej 4 - wiarygodnosc prognozy
przedzialowej ma wynosic 95.
18
Oszacowana funkcja trendu ma postac
W latach 2000-2005 sprzedaz wedzisk spiningowych
wzrastala przecietnie z pólrocza na pólrocze o
5,1 sztuk. Dopasowanie linii trendu do danych
empirycznych bylo bardzo dobre, oszacowany model
w 98 wyjasnial zmiennosc wielkosci
sprzedazy. Przecietne odchylenie wartosci
empirycznych od linii trendu wynosilo 2,8 sztuk.
19
Konstrukcja prognozy punktowej
Bledy ex ante obliczonych prognoz wynosza
20
Wzgledne bledy ex ante wynosza
Wszystkie otrzymane bledy wzgledne sa mniejsze od
z góry zakladanego (4), tak wiec wszystkie
prognozy sa dopuszczalne i w swietle postawionych
warunków powinny zostac zaakceptowane przez
zleceniodawce.
21
Prognoza przedzialowa
Sytuacja A Hipoteza o normalnym rozkladzie reszt
nie byla weryfikowana lub hipoteza ta zostala
odrzucona, wówczas wartosc wspólczynnika u
obliczamy ze wzoru
W naszym przykladzie wiarygodnosc prognozy
zostala ustalona na p0,95, zatem
22
Prognoza przedzialowa dla T13 ma postac
Oznacza to, ze z prawdopodobienstwem 95 liczba
sprzedanych wedzisk Shimano w województwie
podlaskim w I pólroczu 2001 roku bedzie zawierac
sie w przedziale od 154 do 184 sztuk. Odbiorca
stwierdzil, ze podany przedzial jest za szeroki,
a wiec malo precyzyjnie okresla przyszla
sprzedaz. W zwiazku z tym przetestowano hipoteze
o normalnosci rozkladu reszt modelu i nie bylo
podstaw do jej odrzucenia.
23
Sytuacja B Rozklad reszt jest normalny. Wartosc
wspólczynnika u odczytujemy z tablic rozkladu
t-Studenta dla n-2 stopni swobody i
. W naszym przypadku mamy
stopni swobody oraz
a wiec
Prognoza przedzialowa dla T13 ma postac
Odbiorca uznal prognoze, ze w 13 okresie z
prawdopodobienstwem 0,95 sprzeda od 162 do 176
sztuk wedzisk, za przydatna.
24
W analogiczny sposób obliczono prognozy
przedzialowe dla T14 oraz T15. Wartosc
wspólczynnika u nie zmienia sie. Wartosc
bezwzglednego bledu ex ante z okresu na okres
jest wyzsza
T14
T15
25
Przyklad 2
W styczniu 2006 roku pojawil sie nowy dystrybutor
sprzetu firmy Shimano w Bialymstoku. Czy mozna
wykorzystac model z przykladu 1 do budowy
prognozy na nastepny okres, tj. na II pólrocze
2007 r. Zebrano informacje o wartosciach
rzeczywistych zmiennej z przykladu 1 w obu
pólroczach roku 2006 i I pólroczu roku 2007.
Wynosily one odpowiednio 142, 145 i 151 sztuk.
26
Pojawienie sie nowego konkurenta powoduje, ze nie
mozna wykorzystac modelu do konstrukcji prognozy
na nastepny okres, a przynajmniej nie mozna tego
uczynic bezposrednio, tzn. stosujac prognozy
nieobciazonej. Prognozy wyznaczone na okresy 13,
14 i 15 byly nietrafne, mimo iz spelnialy
wymagania dopuszczalnosci. Przy konstrukcji
prognoz przyjeto niezmiennosc charakteru zmian
prognozowanej zmiennej. Pojawienie sie nowego
konkurenta stanowilo zmiane jakosciowa, która
naruszyla ten dotychczasowy charakter zmian.
27
Wzgledne bledy prognoz ex post wyniosly
Sredni wzgledny blad tych prognoz wyniósl
28
Zakladajac, ze przyczyny powodujace odchylenia
ostatnich danych rzeczywistych od prognoz
utrzymaja sie (konkurent utrzyma sie na rynku), a
wplyw pozostalych czynników pozostanie
niezmienny, do budowy prognozy na II pólrocze
2007 r. mozna wykorzystac model oszacowany w
przykladzie 1, ale otrzymana prognoze nalezy
potraktowac jedynie jako wstepna i skorygowac o
pewna wartosc - poprawke. Nalezy zatem skorzystac
z reguly podstawowej z poprawka.
29
Wyznaczone w przykladzie 1 prognozy byly wyzsze
niz zaobserwowane wartosci rzeczywiste i róznily
sie od nich w okresach 13,14 i 15 odpowiednio o
27, 29 i 28 sztuk. Poprawke p szacujemy w
nastepujacy sposób
W naszym przykladzie
Otrzymana poprawka informuje o tym, ze pojawienie
sie konkurenta na rynku spowodowalo odchylenie
sie wartosci zmiennej prognozowanej od
dotychczasowej tendencji w badanym okresie
srednio o 28 sztuk.
30
Konstrukcja prognozy
Prognoza wstepna - wyznaczana z ekstrapolacji
funkcji trendu
Prognoza ostateczna - po uwzglednieniu poprawki