PLANS D

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PLANS DEXPERIENCES NUMERIQUES, APPRENTISSAGE ET
GEOSTATISTIQUE
Laurent CARRARO mars 06
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Plan

• Introduction
• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Plan

• Introduction
• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Exemple exploration pétrolière

• Objectifs
• découvrir, évaluer et produire des réservoirs
  pétroliers.
• objets complexes, difficilement accessibles, mal
  connus.
• nécessité dinvestir des sommes colossales.
• Risques financiers énormes

nécessité de développer une méthode de gestion
des incertitudes subsurface.
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Problèmes à résoudre

• Trois types de problèmes
• Propagation des incertitudes
• Calage/qualification de codes
• Optimisation
• Enjeux et objectifs
• Analyses de risques pour prise de décision
• Maximiser la rentabilité

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Exploration pétrolière
caractéristiques du réservoir
scénario(s) de production
SIMULATEUR
évaluation de la production y1(t), y2(t),, yn(t)
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Problèmes direct et inverse

• En phase dappréciation / développement
• Quel impact les incertitudes sur les
  caractéristiques du réservoir peuvent avoir sur
  lévaluation de la production et des réserves?
• Direct propagation des incertitudes

• En phase de production
• Comment la connaissance de la production passée,
  avec ses erreurs de mesures, peut aider à mieux
  connaître les caractéristiques du réservoir et à
  affiner les prédictions de production?
• Inverse calage

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Plan

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• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Le phénomène réel

• Il est caractérisé par
• des variables dintérêt yréel
• exemple production de pétrole cumulée à venir
• des variables denvironnement venv
• variables subies et mal connues, de grande
  dimension
• exemple caractéristiques du sous-sol
• des variables de contrôle ucont
• variables pouvant être fixées par lutilisateur
  pour atteindre divers objectifs

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Le phénomène réel
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• Le phénomène réel
• Le simulateur
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• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Le simulateur

• La fonction fréel est approchée par un
  simulateur.
• Une nouvelle classe de variables, les variables
  de simulation, apparaît pour
• paramétrer le simulateur et/ou
• lajuster ( tuning parameters )
• Ainsi
• ysim est la réponse estimée par le simulateur
• uenv est une approximation des variables
  denvironnement de venv
• ucont représente les variables de contrôle
• usim est le vecteur des variables de simulation

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Le simulateur
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• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
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• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Les problèmes à résoudre

• Propagation dincertitudes
• Comment propager les incertitudes affectant la
  variable uenv sur la réponse ysim ?
• Problèmes inverses
• Calage de paramètres / dhistorique
• Les variables de contrôle sont fixées et le
  phénomène réel est observé. Comment ajuster les
  paramètres denvironnement et/ou de simulation
  pour reproduire les observations ?
• Optimisation des variables de contrôle
• Les variables de modélisation et denvironnement
  sont fixées et un ou plusieurs critères à
  maximiser introduits. Quel niveau des variables
  de contrôle ucont  maximise les critères ?

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Difficultés à surmonter

• Dimension des variables du problème
• Il faut réduire la taille des variables en
  présence
• Analyses de sensibilités (globales)
• Temps de calcul de fsim
• Renault simulation dun cycle dexplosion dans
  un cylindre. Quelques heures de calcul pour
  simuler une fraction de secondes.
• ONERA une simulation de soufflerie à Mach 3 dure
  plusieurs semaines.

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Démarche adoptée

• Approximation du simulateur
• On remplace le simulateur fsim par une fonction
  plus simple, notée fapp. Cest la surface de
  réponse.
• La réponse yapp donnée par la fonction fapp est
  liée aux variables denvironnement xenv, de
  contrôle ucont et dapproximation uapp par
• Plan dexpériences numériques
• Pour construire la fonction approchée fapp, le
  simulateur est évalué sur un jeu de variables
  denvironnement, qui constitue un plan
  dexpériences numériques.

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En résumé
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Plan

• Introduction
• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Modèles pour lapprentissage

• Historiquement reconnaissance des formes
• Domaine frontière - data mining
• informatique
• neurosciences
• statistiques
• Apprentissage supervisé
• apprendre une relation, une classification,
• à partir dune base dexemples,
• et dinformations a priori

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Quelques modèles du data mining

• Modèles paramétriques
• Régression linéaire
• Régression non linéaire
• Modèles non paramétriques
• Lissage et splines
• modèles semi-paramétriques (GAM, PPR)
• réseaux de neurones
• machines à support vectoriel (SVM)
• arbres de régression et forêts aléatoires
• bagging et boosting

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• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Expériences numériques

• Les variables denvironnement sont inconnues,
  mais on peut les fixer !!
• Les points sur le bord du plan dexpériences sont
  de probabilité nulle.
• Problème des plans dexpériences factoriels.
• Répétabilité fsim est une fonction !

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• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Rappels de géostatistique

• Origine statistique minière
• Formalisme
• Variable régionalisée z(x), x de dim 1,2 ou 3
• Hypothèse z(x) est la réalisation dune
  fonction aléatoire Z(x)
• Observations z(xi) ou z(xi)?i, pour 1?i?n
• Modèles stationnaires, avec dérive
• Z(x) t(x) Y(x)
• t est la tendance
• Y est un processus stationnaire gaussien centré
• cov(Y(x), Y(xh)) ?2 R(h)

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Plan

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• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Métamodèles et géostatistique

• On écrit
• fsim(uenv) t(uenv) y(uenv)
• Commentaires
• Lalea sur y est une traduction de la régularité
  supposée de la fonction
• le krigeage est une méthode dinterpolation
• t est estimée par les techniques de data mining
• R aussi, à partir de la nuée variographique
• estimation du métamodèle et de son incertitude

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Plan

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• Formalisation
• Le phénomène réel
• Le simulateur
• Les problèmes à résoudre
• Métamodèles et géostatistique
• Modèles pour lapprentissage
• Caractéristiques des expériences numériques
• Rappels de géostatistique
• Computer experiments et géostatistique
• Conclusions

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Conclusions et perspectives

• Projet DICE (Deep Inside Computer Experiments)
• Géostatistique
• à adapter aux grandes dimensions
• krigeage bayésien
• Théorie des plans dexpériences à reconstruire
  dans ce contexte
• Suites à faible discrépance
• Propriétés des projections des plans
  dexpériences sur des sous-espaces

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Eléments bibliographiques

• Carraro L., Corre B., Helbert C., Roustant O.
  (2005), Construction dun critère doptimalité
  pour plans dexpériences numériques dans le cadre
  de la quantification dincertitudes, Revue de
  Statistique Appliquée, LIII (4), p. 87-103.
• Cressie N.A.C. (1993), Statistics for spatial
  data, Wiley series in probability and
  mathematical statistics.
• Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. (2001), The
  elements of statistical learning, Springer.
• Jones D.R., Schonlau M., Welch W.J. (1998),
  Efficient global optimization of expensive
  black-box functions, J. of Global Optimization,
  13, p. 455-492.
• Oakley J.E., O'Hagan A. (2004), Probabilistic
  sensitivity analysis of complex models a
  Bayesian approach, J. R. Statist. Soc. B, 66, 3,
  p. 751-769.
• Sacks J., Welch W.J., Mitchell T.J., Wynn H.P.
  (1989), Design and analysis of computer
  experiments, Statist. Science, 4, p. 409-435.
• Saltelli A., Tarantola S., Campolongo F., Ratto
  M. (2004) Sensitivity Analysis in Practice A
  Guide to Assessing Scientific Models, Wiley.
• Santner T.J., Williams B.J., Notz W.I. (2003),
  The design and analysis of computer experiments,
  Springer Series in Statistics.
• Vapnik V. (1998), Statistical learning theory,
  Wiley.
• Walter E., Pronzato L. (1994), Identification de
  modèles paramétriques à partir de données
  expérimentales, Masson.