Apresenta

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• AULA COMPUTACIONAL
• Otimização Paramétrica (Cap. 5)

15 DE SETEMBRO DE 2008
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5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns
em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis
de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução
Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5
Método Analítico problemas univariáveis e
multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos problemas univariáveis e
multivariáveis
3
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
São métodos de busca por tentativas.
Os métodos podem ser - Diretos utilizam apenas
o valor da Função Objetivo. - Indiretos
utilizam também o valor da(s) derivada(s) da
Função Objetivo (menor números de tentativas
mas o esforço computacional é maior).
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que
atendam às seguintes propriedades -
Eficiência resolver o mesmo problema com menor
esforço. - Robustez resolver uma variedade
maior de problemas.
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5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas
Univariáveis
Método da Seção Áurea
Utiliza dois pontos posicionados de forma a
manter (a) simetria em relação aos limites do
intervalo (b) fração eliminada constante
5
Método da Seção Áurea
Base Retângulo Áureo (esteticamente perfeito,
segundo os gregos)
Propriedade removendo um quadrado de lado igual
ao lado menor,
resulta um outro retângulo com as mesmas
proporções do retângulo original ?
Razão Áurea
6
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar
Região Atualizar Delta
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
Convergiu Delta ?? Tolerância
7
Iniciar Repetir Eliminar Região
Atualizar Delta Se
Convergiu Então Finalizar Colocar
Novo Ponto
F
s
F
i
L
L
x
x
i
s
s
i
Inicialização
D
L
- L
s
i
D
x
L
0,618
i
i
D
x
L
- 0,618
s
s
8
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas
univariáveis
Exemplo dimensionamento do extrator
Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y 0 2. y -
k x 0 (k 4)
Balanço de Informação V 5, N 2, C 2, M
0 G 1 (otimização)
Avaliação Econômica L R - C R pAB W y C pB
W pAB 0,4 /kgAB pB 0,01 /kgB
9
Seqüência de Cálculo
2. y k x 1. W Q (xo - x)/y
?
Restrições de Igualdade !!!
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Função Objetivo L R - C pAB W y - pB W
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L a - b x - c/x
60
Busca do ponto estacionário
50
Solução completa do problema
R
40
yo 0,04472 kg AB/kg B Wo 1.972,3 kgB/h
Ro 35,3 /h Co 19,7 /h Lo 15,6 /h
C
L,R,C
30
/a
20
o
L
15,6
L
10
o
x
0, 01118
0
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
x kgAB/kg A
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5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
5.6.2 Problemas Multivariáveis
Alguns métodos diretos - Busca Aleatória - Busca
por Malhas - Busca Secionada - Simplex (Poliedros
Flexíveis) - Hooke Jeeves
Procedimento Geral
(a) seleção de um ponto inicial (base).
(b) exploração da vizinhança da base para inferir
uma direção de busca.
(c) progressão na direção de busca até decisão em
contrário.
(d) finalização
Os métodos diferem quanto à forma de executar a
exploração e a progressão.
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Método de Hooke Jeeves
ALGORITMO
Estabelecer um incremento e uma tolerância para
cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da
direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então Progredir (na direção provável) até haver
um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao Ótimo
Então Finalizar
Senão reduzir os incrementos
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Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido
(incrementos ?i e - ?i) de cada direção (xi) ao
redor da Base.
Do resultado, depreender a direção provável do
ótimo
Base
A Exploração não pode ser interrompida sem que
todas as direções tenham sido testadas.
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Exploração
Funções unimodais o sucesso num sentido dispensa
o teste no outro.
S SucessoI Insucesso
Sucesso
Base
desnecessário
buscando máximo
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Exploração
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da
Base para a nova posição. A Exploração continua a
partir desta melhor posição.
Base
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Método de Hooke Jeeves Fase de Progressão
22
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um
Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
25
Exploração a partir da Base (25) com ?1 e ?2 .
Resultado da Exploração
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A Base estará suficientemente próxima para ser
declarada como o ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que
as tolerâncias, SIM! Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser
reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração
à volta da Base com os novos incrementos
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??1 gt ?1 e ??2 gt ?2 ?ainda não chegou ao ótimo
?1 ??1 /2 , ??2 ??2 /2
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??1 lt ?1 e ??2 lt ?2 a Base pode ser considerada
o Ponto Ótimo
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Exemplo dimensionamento de 2 extratores em série
Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 0 2.
y1 - k x1 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 0 4. y2 -
k x2 0
Avaliação Econômica L R - C R pAB (W1 y1
W2 y2 ) C pB (W1 W2) pAB 0,4 /kgAB
pB 0,01 /kgB
Balanço de Informação V 8 N 4 C 2 G 2
(otimização)
22
Exemplo dimensionamento de 2 extratores em série
Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1
0 2. y1 - k x1 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 0 4.
y2 - k x2 0
Modelo Matemático 2. y1 k x1 4. y2 k x2 3.
W2 Q (x1 x2)/ y2 1. W1 Q (xo - x1)/ y1
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Incorporando as Restrições de Igualdade à Função
Objetivo L
2. y1 k x1 4. y2 k x2 3. W2 Q (x1 x2)/
y2 1. W1 Q (xo - x1)/ y1
L R CR pAB (W1 y1 W2 y2 )C pB (W1
W2)
L a b/x1 cx2 d x1/x2
a pAB Q xo 2 pB Q / k 130
b pB Q xo/ k 0,5
c pAB Q 4000
d pB Q / k 25
Buscando o ponto estacionário
?L/?x1 b/x12 d/x2 0
?L/?x2 - c dx1/x22 0
Solução completa y1o 0,05428 kgAB/kgB W1o
1.184 kgB/h y2o 0,03684 kgAB/kgB W2o 1.184
kgB/h Co 23,68 /h Ro 43,15 /h Lo 19,47
/h
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Analisando o ponto estacionário
?L/?x1 b/x12 d/x2 0
?L/?x2 - c dx1/x22 0
det(H - ?I) 0 ? ?1 -0,258?106 e
?2 -1,011?106
Máximo!
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Estágio 1 2
TotalSoluto Recup. kg/h 64,28 43,62
107,90Solv. Consum. kg/h
1.184 1.184
2.368Lucro /a
13,87 5,61
19,48
26
0,020
0,018
0
2,0
4,0
8,0
0,016
6,0
10
0,014
16
14
0,012
X
18
19,5
0,00921
0,010
2
0,008
0,006
12
0,004
0,01357
0,002
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
X
1
27
Seguem-se todos os resultados possíveis da
Exploração em 2 dimensões
28
Direção x1
Unimodalidade dispensa ??1
Direção x2
Unimodalidade dispensa ??2
Sucesso deslocar a Base
15
18
Sucesso deslocar a Base
Direção provável do ótimo
29
Direção provável do ótimo
Direção x1
Unimodalidade dispensa ??1
18
Sucesso deslocar a Base
Direção x2
Sucesso deslocar a Base
15
12
Insucesso permanece na Base
30
Direção x1
Unimodalidade dispensa ??1
Direção x2
13
Insucesso permanecer na Base
Direção provável do ótimo
Sucesso deslocar a Base
15
12
Insucesso permanecer na Base
31
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade dispensa ??2
Sucesso deslocar a Base
15
7
Insucesso permanecer na Base
Sucesso deslocar a Base
18
Direção provável do ótimo
32
Direção provável do ótimo
Direção x1
Sucesso deslocar a Base
18
Direção x2
Sucesso deslocar a Base
15
7
Insucesso permanecer na Base
12
Insucesso permanecer na Base
33
Direção x1
Insucesso permanecer na Base
11
Direção x2
Sucesso deslocar a Base
15
7
Insucesso permanecer na Base
Direção provável do ótimo
Insucesso permanecer na Base
12
34
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade dispensa ??2
Insucesso permanecer na Base
7
8
Insucesso permanecer na Base
Sucesso deslocar a Base
15
Direção provável do ótimo
35
Direção provável do ótimo
Direção x1
Sucesso deslocar a Base
15
Direção x2
Insucesso permanecer na Base
Insucesso permanecer na Base
7
10
8
Base
Insucesso permanecer na Base
9
36
Direção x1
Insucesso permanecer na Base
5
Direção x2
Insucesso permanecer na Base
Insucesso permanecer na Base
7
10
8
Base
Insucesso permanecer na Base
9
A Base deve estar próxima do ótimo !
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Método de Hooke Jeeves
ALGORITMO
Estabelecer um incremento e uma tolerância para
cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da
direção provável do ótimo)
Senão (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao Ótimo
Então Finalizar
Senão reduzir os incrementos
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Funções Unimodais
O método converge sempre para o único extremo
independentemente da base inicial.
Os incrementos iniciais afetam apenas o número de
tentativas.
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Funções Multimodais
O método pode convergir para extremos locais
diferentes dependendo da base inicial e dos
incrementos iniciais selecionados.
(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se
alcançar extremos locais diferentes com os mesmos
incrementos iniciais.
(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se
alcançar extremos locais diferentes com
incrementos iniciais diferentes
f (x) (x12 x2 11)2 (x22 x1 7)2
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Método dos poliedros flexíveis É um método de
busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964,
também chamado de Simplex), onde o pior vértice
de um poliedro com n 1 vértices é substituído
por um novo vértice colinear com o vértice antigo
e o centróide.
Centróide
onde xh,j é o pior vértice.
41
Método dos poliedros flexíveis O algoritmo
envolve quatro operações de busca, que para o
caso da minimização da função objetivo têm as
seguintes formas
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Método dos poliedros flexíveis O critério usado
por Nelder e Mead para terminar a busca é o
seguinte
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DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR SOFTWARES COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos
ordenados para simulação.

• Mas exige um procedimento de otimização
• função objetivo (a ser minimizada) diferença,
  em valor absoluto, entre os valores obtidos para
  as variáveis de saída e os valores estipulados
  como metas
• variáveis de projeto as dimensões dos
  equipamentos

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Exemplo Extrator
Normal
Simulações Sucessivas
FO x 0,008
45
Exemplo Extrator
1. Q(xo x) W y 02. y k x 0
x Q xo / (Q k W )
Por Seção Áurea, 0 lt W lt 1.000 ? W 3.750
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Exemplo Trocador de Calor
Normal
Simulações Sucessivas
T2 T1 Q/W1Cp1T4 T3 Q/W3Cp3
FO (T2 25)2 (T4 30)2
Por HookeJeeves ...
0 lt A lt 1.0000 lt W3 lt 100.000