Metrische Markow-Ketten

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Metrische Markow-Ketten

• Klaus Frieler
• Universität Hamburg
• Musikwissenschaftliches Institut

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Einleitung

• Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei
  Apsekte musikalischer Zeit
• Lineare Zeit
• Zyklische Zeit
• Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner
  Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden
• Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten
  beschränkt auf eintaktige Patterns oder
  Strukturen von Metren.

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Einleitung

• Verallgemeinerung Metrische Kreisabbildung (MKA)
• Einführung von Metrischen Markow-Ketten (MMK)
• Kompakte Visualisierung von einzelnen oder
  mehreren Rhythmen auf dem metrischen Kreis.
• Definition der Metrischen Entropie (ME) als
  Kennzahl für metrische Variabialiät und
  Strukturiertheit.

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Metrische Kreisabbildung

• Rhythmen darsgestellt als streng
  monoton-wachsende Folge von Zeitpunkten ti
• Annahme hier Metrische Rhythmen mit Taktlänge T.
  
• Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den
  Einheitskreis in der komplexen Ebene
• Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie
  Parameter f erlaubt,die Taktanfänge auf einen
  Punkt abzubilden, hier (1,0) oder 3 Uhr.

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Metrische Markow-Ketten

• Definiere N nicht-überlappende Kreissegmente mit
  Mittelpunkten auf den N-ten Einheitswurzeln (bei
  Winkeln 360/N)
• Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau einem
  Intervall.
• Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für
  einen Rhythmus.

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Metrische Markow-Ketten

• Markow-Ketten ergeben sich dann als Besetzungs-
  und Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1.
  Ordnung) zwischen Kreisindizes.
• Bem. Markow-Ketten lassen sich auch für andere
  musikalische Parameter definieren und wurden oft
  für algorithmische Kompositon eingesetzt.

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Visualisierung

• Beispiel Mandy von Barry Manilow

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Visualisierung

• Beispiel Drumgroove Cross-Fade von Steve
  Coleman (9/4). (OL Hihat, OR Cowbell, UL Kick,
  UR Snare)

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Metrische Entropie

• Informationsentropie wurde 1948 von Claude
  Shannon für die Signaltechik eingeführt.
• Sie ist ein Maß für die Information die in
  einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten
  ist, in diesem Sinne
• Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel
  stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment
  herauszufinden.
• Einheit Bits.

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Metrische Entropie

• Sei eine Zufallsvariable (Wahrscheinlichkeitsvert
  eilung) mit N Wahrscheinlichkeiten pi gegeben.
  Dann ist die Entropie
• H -S pi log2 pi
• Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse
  transportieren wenig Information.
• Maximale Entropie bei Gleichverteilung
• pi 1/N

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Metrische Entropie

• Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten
  Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1,
  normalisiert auf Werte zwischen 0 und 1.
• h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten
  
• Desto mehr verschiedene metrische Positionen
  und desto gleichmäßiger sie eingenommen werden,
  desto höher ist die Entropie.
• Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen
  Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen
  zufälligen.
• Entropie sinkt falls bestimmte Positionen
  bevorzugt werden (Besetzungakzente)

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Metrische Entropie

• h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten.
  
• Desto mehr verschiedene Übergänge und desto
  gleichmäßiger diese vorkommen, desto höher die
  Entropie
• Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische
  Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte.
  Unterscheidungskriterium.
• Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für
  metrische Variabilität.
• Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von
  Rhythmen.
• Frage Metrisches Komplexitätsmaß? (keine
  Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen
  Hierarchie)

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Metrische Analyse von Melodiesammlungen

• Zur Demontstration der Methoden wurden 5
  Liedsammlungen untersucht
• 61 Irische Volkslieder
• 586 LuxemburgischeWeisen,
• 149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia
• 207 deutsche Kinderlieder
• 53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs aus
  den Charts, Daten von Frank Riedemann)
• Transformation mit der MKA, Berechnung von MMK,
  Berechnung der ME

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Verteilung der Signaturen
Signatur Kinder Warmia Luxemb. Irisch Pop
2/4 70,5 4,1 33,6 11,0
4/8 0,2
4/4 8,7 72,3 27,0 33,0 96,2
8/4 2,0
3 /8 3,9 1,4 2,0
3 /4 12,1 7,4 21,5 33,0
6/4 1,4 3,0 3,8
6/8 4,8 1,4 15,7 16,0
9/8 3,0
9/4 8,1
5/4 1,4
7/4 0,7
Zweier 79,2 78,4 60,8 44,0 96,2
Dreier 20,8 19,6 39,2 56,0 3,8
Ungerade 2,0
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Visualisierung der Liedsammlungen

• Links Kinderlieder, rechts Warmia

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Visualisierung der Liedsammlungen

• LinksLuxemburg, Mitte Irische, Rechts Pop

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Verteilung der Metrischen Position

• Pop songs

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Verteilung der Metrischen Position

• Oben Kinderlieder, unten Pop songs

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Übergangswahrscheinlichktien
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Metrische Entropien

• Links 0. Ordnung, rechts 1. Ordnung

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Metrische Entropien Vergleich

• Hochsignifikante Unterschiede in den
  Entropieverteilungen (plt.00). Ausnahme Luxemburg
  und Warmia.
• Kinderlieder sind am einfachsten Weniger
  metrische Variabilität (2/4 Takte!),
  Besetzungswahrscheinlichkeiten am stärksten
  akzentuiert.
• Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede
  Achtelposition im 4/4 ist nahezu
  gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren
  in höherer Zahl von Übergängen
• Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen
  homogenste Verteilung, die Irischen Lieder haben
  die breiteste Streuung

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Zusammenfassung und Ausblick

• Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur
  Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen
  geeignet.
• Kompakte Visualisierung
• Metrische Entropien sind zur Differenzierung von
  Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen)
• Mögl. Erweiterungen
• Tonhöhe als Radius
• Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf
  Zylindern)
• Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf
  Torusdarstellung
• Metrische Ähnlichkeitsmaße