KONSEP DASAR PROBABILITAS

1
KONSEP DASAR PROBABILITAS

• Pokok Bahasan ke-5

2
Pengantar

• Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang
  sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian
  yang akan datang.
• Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti,
  tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada
  untuk menuju derajat kepastian atau derajat
  keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.
• Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari
  munculnya hasil percobaan statistik disebut
  Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

3
Konsep dan definisi dasar

• Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala
  kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.
• Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan
  outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya
  dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan
  dengan n(S).
• Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari
  outcome dalam suatu ruang sampel.

4
Contoh

• Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah
  sikring satu persatu secara berurutan dan
  mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi
  notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk
  sikring yang rusak.
• Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
  pemeriksaan tersebut adalah S BBB, BBR, BRB,
  RBB, BRR, RBR, RRB, RRR. Jumlah outcome dalam
  ruang sampel S adalah n(S) 23 8.
• Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu
  sikring yang rusak, maka A BBR, BRB, RBB.
  Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A)
  3.

5
Definisi probabilitas

• Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh
  n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n
  cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk
  muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis
  P(A), dapat dituliskan

6
Sifat-sifat probabilitas kejadian A

• 0 ? P(A) ? 1 , artinya nilai probabilitas
  kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1
• P(A) 0, artinya dalam hal kejadian A tidak
  terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas
  kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa
  kejadian A mustahil untuk terjadi.
• P(A) 1, artinya dalam hal kejadian A, maka
  probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan
  bahwa kejadian A pasti terjadi.

7
Contoh (1)

• Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah
  probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu
  Muka?
• Jawab
• Misal M Muka , B Belakang
• Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S MM,
  MB, BM, BB
• Kejadian A muncul paling sedikit satu Muka
  adalah A MM, MB, BM
• Jadi,
• Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu
  Muka adalah

8
Contoh (2)

• Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4
  coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat
  suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula
  ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan (a)
  mint, dan (b) coffee atau coklat.
• Jawab
• Misal, M mint , C coffee , T coklat
• (a). Probabilitas mendapatkan mint
• (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat
  

9
Probabilitas kejadian majemuk (1)

• Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel
  S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B
  adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada
  A atau B atau pada keduanya.

10
Probabilitas kejadian majemuk (2)

• Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang
  sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A,
  B, dan C adalah

11
Contoh

• Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika
  adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa
  inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus
  keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari
  dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua
  pelajaran tersebut?
• Jawab
• Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B
  adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka
• Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran
  tersebut adalah
• P(M ? B) P(M) P(B) P(M ? B)
• 2/3 4/9 1/4
• 31/36

12
Contoh

• Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada
  gambar di bawah tersusun atas tiga tingkat.
  Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga
  tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh
  unit dalam setiap tingkat saling bebas dan
  masing-masing berjalan baik. Diketahui P(A)
  0,7 P(B) 0,7 P(C ) 0,9 P(D) 0,8
  P(E) 0,6 P(F) 0,6 dan P(G) 0,6.
  Hitunglah probabilitas sistem berjalan dengan
  baik.

13
Jawab

• P(T1) P(A?B) P(A) P(B) P(A?B)
• P(A) P(B) P(A).P(B)
• 0,7 0,7 (0,7)(0,7) 0,91
• P(T2) P(C ? D) P(C).P(D)
• (0,9)(0,8) 0,72
• P(T3) P(E?F ?G)
• P(E) P(F) P(G) P(E?F)
  P(E?G) P(F?G) P(E?F ?G)
• P(E) P(F) P(G) P(E).P(F)
  P(E).P(G) P(F).P(G) P(E).P(F).P(G)
• 0,6 0,6 0,6 (0,6)(0,6)
  (0,6)(0,6) (0,6)(0,6) (0,6)(0,6) (0,6)
• 0,936
• Jadi,
• P(sistem berjalan baik) P(T1 ? T2 ? T3)
  P(T1).P( T2).P( T3)
• (0,91).(0,72).(0,963) 0,613.
• Artinya sistem tersebut secara keseluruhan
  memiliki 61,3 kemungkinan dapat berjalan dengan
  baik.

14
Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau
mutually exclusive)

• Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka
  berlaku

• Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka
  berlaku

15
Contoh

• Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau
  11 bila sepasang dadu dilemparkan?
• Jawab
• Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A
  (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)
• Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B
  (5,6), (6,5)
• Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11
  adalah
• P(A ? B) P(A) P(B) P(A ? B)
• 6/36 2/36 0
• 8/36

16
Dua kejadian saling komplementer

• Bila A dan A dua kejadian dalam S yang saling
  komplementer, maka berlaku

17
Contoh

• Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian
  munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas
  munculnya muka dua dadu yang tidak sama.
• Jawab
• Misal A kejadian munculnya muka dua dadu yang
  sama
• (1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
• maka P(A) 6/36
• Sehingga,
• Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak
  sama P(A) adalah
• P(A) 1 P(A)
• 1 6/36
• 30/36

18
Dua kejadian saling bebas (independent)

• Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak
  saling mempengaruhi.
• Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S
  dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak
  mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B
  dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi
  probabilitas terjadinya kejadian A.
• Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku

19
Contoh

• Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus,
  apakah kejadian munculnya muka dari uang logam
  pertama dan uang logam kedua saling bebas?
• Jawab
• Ruang sampel S (m,m), (m,b), (b,m), (b,b)
• Misalkan, A kejadian muncul muka dari uang
  logam 1 ? P(A) 2/4 ½
• (m,m), (m,b)
• B kejadian muncul muka dari uang
  logam 2 ? P(B) 2/4 ½
• (m,m), (b,m)
• A ? B kejadian muncul dua muka dari uang
  logam 1 dan 2
• (m,m) ? P(A ? B) ¼
• Bila A dan B saling bebas berlaku P(A ?
  B) P(A). P(B)
• ¼ ½ . ½
• ¼ ¼
• Jadi, A dan B saling bebas.

20
Probabilitas bersyarat (conditional probability)

• Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi
  dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau
  akan terjadi atau diketahui terjadi.
• Ditunjukkan dengan P(B?A) yang dibaca
  probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi

21
Contoh (1)

• Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5
  diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari
  kotak satu demi satu secara acak tanpa
  mengembalikan yang pertama ke dalam kotak.
  Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?
• Jawab
• Misalkan A kejadian sekering pertama rusak
• B kejadian sekering kedua rusak
• Maka peluang kedua sekering itu rusak P(A ? B)
• P(A ? B) P(A). P(B?A)
• 5/20 . 4/19
• 1/19

22
Contoh (2)

• Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk
  mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi
  rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S),
  diperoleh informasi sebagai berikut 20 pria
  menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa
  jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10
  wanita menyukai rasa strawbery.
• Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa
  probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa
  strawbery?
• Apabila kita bertemu dengan seorang wanita,
  berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa
  jeruk?
• Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
  pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia
  adalah pria?
• Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
  pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia
  adalah wanita?

23
Jawab
Responsen J S Jumlah
R 20 40 60
W 30 10 40
Jumlah 50 50 100

• Misal W Wanita, R Pria, S pasta gigi rasa
  Strawbery, dan J pasta gigi rasa jeruk.
• Jadi,
• Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa
  probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa
  strawbery adalah
• Apabila kita bertemu dengan seorang wanita,
  berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa
  jeruk adalah
• Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
  pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia
  adalah pria adalah
• Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
  pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia
  adalah wanita adalah

24
Aturan Bayes

• Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian
  saling lepas dalam ruang sampel S.
• B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

25
probabilitas kejadian B adalah
P(B) P(B?A1). P(A1) P(B?A2). P(A2)
P(B?A3). P(A3)
disebut Hukum Probabilitas Total
26

• Secara umum, bila A1, A2, A3, , An kejadian
  saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian
  lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas
  kejadian bersyarat Ai?B dirumuskan sebagai
  berikut

disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
27
Contoh

• Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2
  bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi
  1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi
  2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta
  mengambil satu kotak secara acak dan kemudian
  mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang
  terambil itu..
• Berapakah peluang bola yang terambil berwarna
  merah?
• Berapakah peluang bola tersebut terambil dari
  kotak 2?

28
Jawab

• P(bola yang terambil berwarna merah)
• P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2)

29
Soal 1

• Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih,
  dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,
  tentukanlah probabilitas terpilihnya bola
• Merah
• Tidak biru
• Merah atau putih

30
Soal 2

• Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah
  Elok, diketahui Sarjana teknik pria 1 orang,
  Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan Sarjana
  ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita
  4 orang
• Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1
  orang untuk menjadi manajer pemasaran.
• Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian
  bahwa manajer adalah seorang wanita?
• Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian
  bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik?
• Hitunglah P(A?B).
• Hitunglah P(A?B).

31
Soal 3

• Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing
  berisi bola merah dan putih, seperti yang
  dituliskan dalam tabel di bawah ini
• Mula-mula satu kotak dipilih secara acak,
  kemudian dari kotak yang terpilih diambil 1 bola
  juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan
  yang sama untuk terpilih.
• Berapa peluang bahwa bola itu merah ?
• Berapa peluang bahwa bola itu putih ?
• Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa
  bola tersebut dari kotak 1?
• Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa
  bola tersebut dari kotak 2?

Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah
Bola merah 5 7 8 20
Bola putih 4 3 9 16
Jumlah 9 10 17 36
32
Soal 4

• Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi
  sub-sistem yang saling berkaitan. Skema
  penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam
  gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi
  dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi
  agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan
  bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak
  bergantung satu sama lain dan juga pada komponen
  A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah
  untuk A 0.9 dan masing-masing B 0.8.
  Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut
  berfungsi dengan baik.

33
Soal 5

• Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2.
  Kapasitas produksi mesin pertama adalah 30 dan
  mesin kedua adalah 70. 40 dari produksi mesin
  pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya
  menggunakan komponen impor. Sedangkan 50 dari
  mesin kedua menggunakan komponen lokal dan
  sisanya menggunakan komponen impor. Apabila
  dipilih secara random sebuah produksi, berapa
  probabilitas
• Produk yang terambil menggunakan komponen lokal
• Bila diketahui produk yang terambil menggunakan
  komponen lokal, berapa probabilitas produk
  tersebut dari mesin pertama.