Pr

1
Flocon de Von Koch
Cette courbe s'obtient en appliquant à chaque
côté d'un triangle équilatéral une transformation
simple on remplace le 1/3 central de chaque
côté par 2 segments ayant la même longueur que
celle qui a été prélevée et on recommence la même
opération sur chaque côté de la figure obtenue.
On obtient une surface de dimension finie qui est
limitée par une frontière de longueur infinie.
2
Flocon de Von Koch
Question sauriez-vous démontrer que cette
surface tend vers a étant la longueur du côté
du triangle initial ?
3
Les fractales naturelles
4
Les fractales géométriques
courbe de Hilbert courbe de Peano triangle de Sierpinski
Fougères (IFS) Courbe du dragon
5
Les nombres complexes
Le plus simple des polynômes complexes étudiés
ainsi est P(z)z2c ce qui conduit à la suite
zn1zn2c
Que constate-t-on alors ? Pour certaines valeurs
de départ de z le résultat se maintient au fil de
itérations successives dans un intervalle bien
limité. Au contraire pour d'autres valeurs la
fonction diverge et le point représentant le
résultat s'échappe vers l'infini.
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Les nombres complexes
partie réelle de c -0.0519... partie
imaginaire 0.688... Ensemble de Julia connexe.

partie réelle de c -0.577... partie imaginaire
0.478... Ensemble de Julia non connexe.
7
Les nombres complexes
Détail d'un ensemble de Julia.
8
Les nombres complexes
L'ensemble de Mandelbrot
Dans la formule de récurrence zn1zn2c, on
fixe z0 0 et on fait varier c Dans le plan
complexe.
9
Les quaternions
Les quaternions sont une généralisation des
nombres complexes. Les quaternions ont une partie
entière et trois parties imaginaires.
Si les ensembles de Mandelbrot et de Julia
classiques peuvent être représentés en deux
dimensions, leurs homologues quaternioniques ont
quatre dimensions. Les choses sont toutefois plus
simples qu'il n'y paraît. En effet on peut
considérer ces objets comme des objets à trois
dimensions qui évoluent dans le temps (la
quatrième dimension).
Lien Wikipédia vers La définition
mathématiques Des quaternions
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Les quaternions
Les quaternions sont une généralisation des
nombres complexes. Les quaternions ont une partie
entière et trois parties imaginaires.
Si les ensembles de Mandelbrot et de Julia
classiques peuvent être représentés en deux
dimensions, leurs homologues quaternioniques ont
quatre dimensions. Les choses sont toutefois plus
simples qu'il n'y paraît. En effet on peut
considérer ces objets comme des objets à trois
dimensions qui évoluent dans le temps (la
quatrième dimension).
11
Le mandelBulb
Lien vers un site du CNRS
12
La MandelBox
Lien vers un site du CNRS
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Les paysages fractals
la méthode de déplacement du point médian. Une
surface plane est découpée en plusieurs parties
par un maillage (carré par exemple) et un
déplacement vertical aléatoire est appliqué au
centre de chaque maille. Chaque partie est à sont
tour subdivisée en surfaces plus petites par le
même mécanisme et on applique au centre de
chacune d'elles un nouveau déplacement vertical
aléatoire. On recommence un nombre suffisant de
fois pour avoir des détails de taille assez
petite afin que l'image soit réaliste.
Exemple de paysage obtenu très facilement avec le
programme Terragen.
14
Les paysages fractals
méthode plus élaborée repose sur l'utilisation
d'une fonction décrivant un mouvement brownien
fractionnaire.
Exemple de paysage obtenu très facilement avec le
programme Terragen.
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A quoi servent les fractales ?

• Etude des cours boursiers
• Structure de lunivers
• Etude de la percolation (compagnies pétrolières)
• Etude des bruits parasites dans les circuits
  électroniques
• Compression dimages
• Fabrication dantennes radio fractales
• Et bien dautres domaines ..