Arvuteooria elemendid v

1
Arvuteooria elemendid võistlusülesannetes

• Koostaja Rita Punning

2
ARVU KÜMNENDESITUS

• Olgu meil antud arv a, mille viimane number on
  a0, eelviimane a1, . . . , teine number on an1
  ning esimene number on an, siis
• an  10n  an1  10n1  . .
  .  a2  102  a1  101  a0  100.
• N. 23 056 2 104 3 103 0 102 5
  101 6 100
• Igal arvul on vaid üks kümnendesitus. 
• Vaja on osata esitada arve ka mitmekohaliste
  arvude ja järguühikute korrutiste summana.
• Näiteks 52 341  5  10000  23  100 41
• Või siis 52 341  52  1000  341.

3
Ülesanne 1 Kolmekohalise arvu viimane number
tõstetakse esimeseks, jättes ülejäänud numbrite
järjestuse muutmata. Niiviisi saadav arv on
samavõrra suurem arvust 400, kui esialgne arv on
väiksem arvust 400. Leia esialgne arv, kui on
teada, et selle viimane number on 4.

• Lahendus 1 Olgu esialgne kolmekohaline arv
  100a  10b  c, et viimane number on 4, siis
  võime kirjutada kohe 100a  10b 4 ja viimase
  numbri esimeseks tõstmisel saame arvu
  400  10a  b.
• Ülesande tingimuste põhjal saame koostada
  võrrandi 400  (100a  10b  4)  (400  10a  b) 
   400,
• 400 100a 10b 4 400 10a b 400,
• -110a -11b -396, millest 10a  b  36.
• Et a ja b on numbrid ning igal arvul on vaid üks
  kümnendesitus, siis peab a  3, b  6.

4
Ülesanne Kolmekohalise arvu viimane number
tõstetakse esimeseks, jättes ülejäänud numbrite
järjestuse muutmata. Niiviisi saadav arv on
samavõrra suurem arvust 400, kui esialgne arv on
väiksem arvust 400. Leia esialgne arv, kui on
teada, et selle viimane number on 4.

• Lahendus 2.
• Olgu esialgne kolmekohaline arv 10x  4,
• siis temast viimase numbri esimeseks tõstmisel
  saadud arv on 400  x ning
• saame võrrandi 400  (10x  4)  (400  x)  400,
  
• 400 10x 4 400 x 400, millest x  36.
• Vastus esialgne arv oli 364.

5
ARVU TEGURID JA KORDSED

• Antud naturaalarvu kordseks nimetatakse iga
  naturaalarvu (peale nulli), mis jagub antud
  arvuga.
• Näiteks 12 kordsed on 12, 24, 36, , sest need
  arvud jaguvad 12-ga.
• Antud täisarvu teguriks ehk jagajaks nimetatakse
  iga täisarvu, millega see arv jagub.
• Näiteks 30 tegurid (jagajad) on 1, 2, 3, 5, 6,
  10, 15, 30.

6
Ülesanne 2 Kaks kalameest püüdsid kokku 70 kala,
kusjuures 5/9 esimese poolt püütud kaladest olid
ahvenad ja 7/17 teise poolt püütud kaladest olid
ahvenad. Mitu kala püüdis kumbki kalamees?

• Lahendus On selge, et teise kalamehe poolt
  püütud kalade arv on arvu 17 kordne.
• Seega ta võis püüda 17, 34, 51 või 68 kala.
• Seega esimene pidi püüdma vastavalt 53, 36, 19
  või 2 kala.
• Aga kuna esimese kalamehe poolt püütud kalade
  arv peab olema arvu 9 kordne, siis on ainus
  võimalus, et esimene püüdis 36 ja teine 34 kala.

7
ALGARVUD JA KORDARVUD

• Naturaalarvu, millel on ainult kaks positiivset
  tegurit (arv 1 ja see arv ise) nimetatakse
  algarvuks.
• Näiteks algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13,
• Kui arvul on enam kui kaks positiivset tegurit,
  siis nimetatakse seda arvu kordarvuks.
• Näiteks kordarvud on 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,
  
• Arv 1 ei ole algarv ega kordarv.

8
Ülesanne 3 Pärast seda kui saareriik
Perra-Terra oli jagunenud kaheks erinevaks
riigiks nimedega Perra ja Terra, anti riikides
välja teosed Suur Perra entsüklopeedia ja Suur
Terra entsüklopeedia. Esimesel neist oli
algarvulise järjekorranumbriga köiteid samapalju
kui mittealgarvulisega. Teisel oli kordarvulise
järjekorranumbriga köiteid samapalju, kui mitte
kordarvulisega. Kumma riigi entsüklopeedia
koosnes rohkematest köidetest ja miks?
9

• Lahendus Arv 1 ei ole algarv ega kordarv,
  seetõttu algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 jne
• ning mittealgarvud on 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,
  15, 16 jne
• kordarvud 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 jne
• mittekordarvud 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
• Ei saa üheselt öelda, mitu köidet kummalgi on,
  sest S. Perra e. võib koosneda kas 2-st,
  4-st, 6-st või 8-st köitest, kuid mitte üle
  kaheksa, sest edaspidi paiknevad algarvud üha
  harvemini ja kordarvud tihedamini ning
• S. Terra e. omab mittevähem kui 10 köidet.
  (5 köidet kordarvudega 4, 6, 8, 9, 10 ja 5
  mittekordarvudega 1, 2, 3, 5, 7.).
• Seega rohkem köiteid on Suurel Terra
  entsüklopeedial.

10
ARITMEETIKA PÕHITEOREEM

• Iga ühest suuremat naturaalarvu a saab esitada
  ühelainsal viisil oma algtegurite astmete
  korrutisena.
• Näiteks 360 23 32 51
• Kui naturaalarv on esitatud kujul  
• kus p1,p2, , pk on algarvud ja m1, m2, ., mk
  nende algarvude astendajad arvu a esituses, siis
  arvu a positiivsete tegurite arv on võrdne arvuga
  (m11)(m21)    (mk1).
• Järelikult 360-l on 4 3 2 24 tegurit.

11
JAGUVUS

• Öeldakse, et täisarv a jagub täisarvuga b, kui
  leidub selline täisarv c, et a  c  b.
• Näiteks arv 30 jagub arvuga 5, sest leidub arv 6
  nii, et 30 6 5.

12
JAGUVUSE OMADUSED

• Kui kaks arvu a ja b jaguvad mõlemad arvuga c,
  siis ka nende summa a  b ja vahe a  b jagub
  arvuga c.
• Näiteks 18 ja 30 jaguvad 6-ga, siis ka nende
  summa 18 30 48 jagub 6-ga ning nende vahe 30
  18 12 jagub 6-ga.
• Vastupidine ei pruugi kehtida.

13

• Kui kasvõi üks arvudest a ja b jagub arvuga c,
  siis nende arvude korrutis a  b jagub samuti
  arvuga c.
• Näiteks arvudest 18 ja 30 jagub 30 5-ga, ning
  ka korrutis 18 30 540 jagub 5-ga (540 5
  108).
• Vastupidine alati ei kehti.
• Küll aga kehtib järgmine väide Kui korrutis
  a  b jagub algarvuga p, siis vähemalt üks
  teguritest a või b jagub arvuga p.
• Näiteks 6 35 210 jagub algarvu 3-ga, ka 6
  jagub 3-ga.

14

• Kui täisarv a jagub kahe ühistegurita arvuga c ja
  d, siis jagub arv a ka nende korrutisega.
• Näiteks 420 jagub ühistegurita arvudega 4
  ja 15, jagub 420 ka nende korrutisega 4 15
  60.
• Kui arvud c ja d on arvust 1 suurema
  ühisteguriga, ei pruugi tulemus kehtida.

15

• Kui meil on antud n järjestikust arvu, siis jagub
  alati täpselt üks neist arvuga n.
• Näiteks on 6 järjestikust arvu 8, 9, 10,
  11, 12, 13, nendest ainult üks arv (12) jagub
  arvuga 6.

16
Ülesanne 4 Kui palju on naturaalarvude 1 kuni
100 hulgas arve, mis ei jagu seitsmega?

• Lahendus Iga seitsme järjestikuse arvu seas on
  täpselt üks arv, mis jagub 7-ga.
• Jaotame naturaalarvud 1 kuni 100 seitsmikutesse
  nii, et esimesse neist kuuluvad arvud 17, teise
  814 jne.
• Et 100  7  14  2, siis saame kokku 14 sellist
  seitsmikut, millest täpselt üks arv jagub arvuga
  7 ning üle jäävad arvud 99 ja 100, mis ei jagu
  7-ga.
• Niisiis on nende naturaalarvude hulgas 14
  arvu, mis jaguvad 7-ga, ning 100  14  86
  arvu, mis ei jagu 7-ga.

17
Ülesanne Kas leiduvad numbrid U ja H, nii et
kolmekohaline arv UHU jaguks arvuga 13 aga
kolmekohaline arv HUH ei jaguks arvuga 13?

• Leiame vahe HUH  UHU
  100H  10U  H - (100U  10H  U)
  100H 10U H 100U 10H - U 
  91H  91U 91 (H U).
• Et 91  13  7, siis HUH  UHU jagub 13-ga.
• Et vahe ja vähendaja jaguvad arvuga 13, siis peab
  13-ga jaguma ka arv HUH.
• Vastus Ei leidu ülesande tingimustele vastavaid
  numbreid U ja H.

18
JAGUVUSTUNNUSED

• Arv jagub 2-ga parajasti siis, kui ta on
  paarisarv.
• Arv jagub 5-ga parajasti siis, kui arvu viimane
  number on 5 või 0.
• Arv jagub 10-ga parajasti siis, kui arvu viimane
  number on 0.
• Arv jagub 4-ga parajasti siis, kui arvu kahest
  viimasest numbrist moodustuv arv jagub arvuga 4.
• Arv jagub 8-ga parajasti siis, kui arvu kolmest
  viimasest numbrist moodustuv arv jagub arvuga 8.

19

• Arv jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu
  numbrite summa ehk ristsumma jagub 3-ga.
• Arv jagub 9-ga siis ja ainult siis, kui arvu
  numbrite summa jagub 9-ga.
• Arv jagub arvuga 6, kui arv jagub nii arvuga 2
  kui ka arvuga 3.
• Arv jagub arvuga 12, kui see arv jagub nii arvuga
  3 kui ka 4.
• Arv jagub arvuga 14, kui see arv jagub nii arvuga
  2 kui ka 7.
• Arv jagub arvuga 15, kui see arv jagub nii arvuga
  3 kui ka 5.

20
Ülesanne 5On teatud arv abielupaare. Teada on,
et iga mees teenib täisarv kroone ning oma
naisest kas täpselt 2 korda rohkem või viis korda
rohkem. Kas on võimalik, et kokku saavad need
paarid ühes kuus täpselt 1 000 000 krooni.

• Lahendus Ei. Iga paari poolt teenitud summa
  jagub 3-ga, seega peab ka kogusumma jaguma 3-ga,
  aga 1 000 000 ei jagu arvuga 3.

21
SUURIM ÜHISTEGUR JA VÄHIM ÜHISKORDNE

• Antud arvude ühisteguriteks nimetatakse sellist
  arvu, millega kõik antud arvud jaguvad.
• Ühistegurite seas leidub alati suurim arv nende
  arvude suurim ühistegur.
• SÜT(1860)6
• Antud naturaalarvude ühiskordseks nimetatakse
  positiivset arvu, mis jagub iga antud arvuga.
• Ühiskordsete hulgas leidub alati vähim arv
  nende arvude vähim ühiskordne.
• VÜK(68)24

22
ÜHISTEGURITA ARVUD

• Kui kahe arvu suurim ühistegur on võrdne ühega,
  siis neid arve nimetatakse ühistegurita arvudeks.
• Kui arvude a ja b korrutis a  b jagub arvuga c
  ning arvud a ja c on ühistegurita, siis peab arv
  b jaguma arvuga c.
• Näiteks 14 ja 45 korrutis 14 45 630 jagub
  arvuga 15 (14 ja 45 on ühistegurita), siis 45
  jagub arvuga 15.

23

• Olgu a ja b naturaalarvud. Siis on õiged
  järgmised väited
• SÜT (a, a1)  1
• kui k on täisarv, siis SÜT(a,bka)  SÜT(a,b)
• SÜT(4,14)SÜT(4,234)SÜT(4,2)2
• kui k on positiivne täisarv, siis SÜT(ka,
  kb)  k  SÜT(a,b)
• SÜT(36,40)SÜT(49,410)4SÜT(9,10)4
• SÜT(a,b)  VÜK(a,b)  a  b
• SÜT(6,15)VÜK(6,15)61590
• SÜT(6,15)3, VÜK(6,15)30

24
Ülesanne 6 Kui kaks kolmandikku
perekonnaliikmetest istub, siis on hõivatud
kolmveerand toas olevatest toolidest. Leia vähim
võimalik perekonnaliikmete arv.

• Lahendus Olgu perekonnaliikmete arv p ja toolide
  arv t.
• Siis teame, et p   t, ehk 8p  9t.
• Arvud 8 ja 9 on ühisteguriteta,
• seega peab arv p jaguma arvuga 9 ning tal on
  vähim väärtus siis, kui p  9.
• Vastus Vähim võimalik perekonnaliikmete arv on
  9.

25
JÄÄGIGA JAGAMINE

• Kui naturaalarvu a jagamisel naturaalarvuga c
  saame (mittetäielikuks) jagatiseks k ning tekib
  jääk r, siis võime arvu a üles kirjutada
  järgmisel kujul a  k  c  r, kus 0 ? r lt c.
  Kui r  0, siis arv a jagub arvuga c.
• Näiteks 23 jagamisel 4-ga, tekib jääk 3,
• arv 23 on üles kirjutatav 23543
• Seega saab iga paarisarvu a üles kirjutada kujul
  a  2  k, iga paaritut arvu b kujul
  b  2  k  1.
• NB! Kui ühes ja samas ülesandes on sellel kujul
  esitatud mitu arvu, ei tohi jagatis k erinevate
  arvude puhul olla sama.

26
Arvu viimase numbri leidmine

• Ülesanne Milline on arvu 22005 viimane number?
• Leiame arvu 2 astmete viimased numbrid
• 21 viimane number on 2
• 22 viimane number on 4
• 23 2  22 .. 8
• 24  2  236
• 25  2  24 2
• 26  2  25 4, jne
• Näeme, et viimased numbrid hakkavad korduma
• Arvu 2k  24 viimane number on sama, mis arvu 2k
  viimane number.
• Jagame arvu 2005 jäägiga arvuga 4, saame
  2005  4  501  1.
• Seega arv 22005  lõppeb sama numbriga kui 21 
  ehk numbriga 2.

27
Ülesanne 7 Tähtedele A, B ja C vastavad erinevad
numbrid. Leia A, B ja C, kui AB ABC 2002.

• Lahendus Et 2002271113, siis võimalused, et
  üks tegur oleks kahekohaline arv on 11183,
  13154, 14143, 2291 ja 7726.
• Seega ainus sobiv võimalus on, et 200214143.
• Vastus A1, B4 ja C3

28
Ülesanne 8 Pange järgmises võrduses iga tähe
asemele number nii, et võrdus kehtiks.
Erinevatele tähtedele vastavad erinevad numbrid.
Põhjenda. BES    BES     KÄRBES

• Lahendus BES  BES  KÄR  1000  BES.
• Lahutame mõlemast võrduse poolest arvu BES. Saame
  BES(BES  1)  KÄR  1000. Arvud BES  1 ja BES
  on ühisteguriteta. Kuna aga nende korrutis jagub
  arvuga 1000  53  23 , siis üks neist jagub
  arvuga 53 ja ei jagu arvuga 2, teine aga jagub
  arvuga 23  ja ei jagu arvuga 5.
• Kolmekohaliste paaritute arvude seas jaguvad
  arvuga 125 arvud 125, 375, 625 ja 875. Neist ühe
  võrra suurematest või ühe võrra väiksematest
  arvudest jaguvad arvuga 8 ainult 376 ja 624.
  Kontroll näitab, et arv 376 ei sobi. Küll aga
  sobib arv 625.
• Vastus 625  625  390625

29
Ülesanne 9 Kuldkalal ei olnud just hea suvi,
teda püüti mitmeid kordi kinni ja igakord lasti
ta peale soovide täitmist vette tagasi. Teatud
arvul kordadel oli paadis, kuhu ta tõmmati, 2
kalameest ning kala täitis neist ühel 3 soovi ja
teisel 2 soovi. Teatud arvul kordadel oli paadis
üks kalamees ja kuldkala täitis ta 3 soovi. Leia
vähim arv kordi, mil kuldkala kinni püüti, kui
suve jooksul täitis ta kokku 87 soovi.
30

• Lahendus Kinnipüütud kordadest x korral oli
  paadis kaks kalameest ja y korral üks
  kalamees.
• Seega täitis kuldkala 3x2x3y soovi.
• Et kokku täitis ta 87 soovi, siis 5x3y  87.
• Tuleb leida arvude x ja y väärtused nii, et
  summa xy omaks vähimat võimalikku väärtust.
• See tähendab, et x väärtus peab olema
  võimalikult suur
• ning 87  5x peab jaguma kolmega, sest
  87  5x  3y.
• On selge, et xlt18.
• Et on küsitud vähimat kinni püüdmiste arvu, siis
  x peab olema võimalikult suur. 87 jagub kolmega
  ja 3y jagub kolmega järelikult ka 5x jagub
  kolmega, millest saame, et x peab jaguma 3-ga.
• Kui x15, siis 87  5  15  12 ning järelikult
  y4.
• Seega vähim arv kordi, mil kala kinni püüti oli
  19, neist 15 korral oli paadis kaks
  kalameest ning neljal korral üks
  kalamees.
• VastusVähim arv kordi, mil kuldkala kinni püüti
  on 19.

31
Ülesanne 10 Ringjoonel on 7 punkti, mis on
järjest nummerdatud numbritega 1, 2, 3, 4, 5, 6
ja 7. Tirts hüppab ringjoonel päripäeva ühest
punktist teise. Kui tirts asub punktis, mille
number on paaritu, siis ta hüppab järgmisesse
punkti. Kui tirts asub punktis, mille number on
paaris, siis ta hüppab ülejärgmisesse punkti.
Algul on tirts punktis numbriga 7.
Millises punktis on tirts peale 601. hüpet?

• Lahendus Pärast oma hüppeid on siis tirts
  punktides 7(algus), 1, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6, 1,
  2, 4, 6 jne
• Näeme, pärast hüpet, mille järjekorranumber
  jagub arvuga 4 asub tirts alati punktis nr 6.
• Pärast 601. hüpet on tirts punktis numbriga 1.

32
Ülesanne 11 Näita, et kui mingi kahekohaline arv
jagub arvuga 7, siis seitsmega jagub ka arv, mis
on esialgsest arvust saadud numbrite järjekorra
vahetamisel ning millele on liidetud esialgse
arvu kümneliste number.

• Lahendus Olgu meil kahekohaline arv 10a  b ja
  teame, et see jagub arvuga 7.
• Tuleb näidata, et sel juhul arv 10b  2a jagub
  arvuga 7.
• Et 7 jagab arvu 10a  b, siis 7 jagab ka arvu
  10  ( 10a  b)  100a  10b.
• 100a  10b  98a  (10b  2a).
• Teame, et 7 jagab arvu 98a, sest 98  7  14.
• Kuna 7 jagab summat ja ühte liidetavat,
• siis jagab see ka teist liidetavat,
• st. 7 jagab arvu 10b2a.