Risk analysis as decision support

1
Uusiutumisprosessit

• joskus voi olla tarpeen tarkastella järjestelmiä,
  joiden komponenttien elin- ja korjausaikajakaumat
  eivät ole eksponentiaalisia
• vanhenevat järjestelmät
• ennakoiva kunnossapito
• jne.
• uusiutumisprosessit sopiva työkalu tällaisten
  järjestelmien tarkasteluun

2
Uusiutumisprosessit

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• peräkkäiset, iid jakautuneet elinajat T1, T2, T3
  ,, yhteinen jakauma P(Tiltt) FT(t)
• korjausajat merkityksettömiä
• kiinnostavia muuttujia ovat esim.

3
Uusiutumisprosessit

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• pätee.

Srn jakauma
4
Uusiutumisprosessit

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• selvästikin Srn jakauma on konvoluutio.

• jos jakaumalla on tiheysfunktio, niin

• Laplace-muunnoksien avulla

5

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• N(t)n jakauma.

• uusiutumisfunktio

6

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• uusiutumisyhtälö (engl. fundamental renewal
  equation)

7

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• uusiutumisyhtälö voidaan johtaa myös
  ehdollistamalla ensimmäisen uusiutumishetken
  suhteen

eli
8

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• uusiutumistiheydelle vastaava yhhtälö )saadaan
  derivoimalla uusiutumisyhtälöä)

• Laplace-muunnettu versio

9

• YKSINKERTAINEN UUSIUTUMISPROSESSI
• joitakin tuloksia
• uusiutumisteoreema (engl. elementary renewal
  theorem)

• Blackwellin teoreema

• keskeinen uusiutumisteoreema (engl. key renewal
  theorem)

10

• ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI
• tarkastellaan komponenttia, jonka historia
  koostuu perätäisistä elin- ja korjausajoista

11

• ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI
• perättäiset elin- ja korjausajat muodostavat
  uusiutumisprosessin, jossa uusiutumis välit ovat

• vastaava uusiutumisväin jakauma on ko.
  satunnaismuuttujien jakaumien konvoluutio

12

• ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI
• käytettävyyden lauseke ehdollistetaan
  ensimmäiselle uusiutumisvälille, YT1D1

toisaalta
siis
13
ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI koska
edellä D1gt0
siis
14

• ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI
• käytettävyyden lauseke voidaan johtaa
  helpomminkin
• laite on käytettävä hetkellä t kahdella toisensa
  poissulkevalla tavalla
• E1 se ei ole vikaantunuut kertaakaan hetkeen t
  mennessä
• E2 se vikaantuu ennen hetkeä ja korjaus
  valmistuu hetkellä x sen jälkeen laite
  käytettävä ajan (t-x) kuluttua

15
ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI käyte
ttävyyden L-muunnos helposti laskettavissa
16
ALTERNOIVA, l. VAIHTELEVA UUSIUTUMISPROSESSI rajae
päkäytettävyys