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TEMA 1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
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COMPETENCIAS

• Definir el concepto de sistemas de ecuaciones
  lineales.

• Describir el concepto de solución de un sistema
  de ecuaciones lineales y de conjunto solución.

• Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto
  solución.

• Interpretar geométricamente los diversos tipos
  de S.E.L. para los casos de dos y tres incógnitas.

• Describir los diferentes tipos de
  transformaciones elementales en un S.E.L.

• Describir el método de eliminación de gauss en
  forma matricial.
• Definir el concepto de S.E.L. homogéneos.

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Introducción Multitud de fenómenos naturales,
sociales, económicos o técnicos se comportan
linealmente es decir presentan la Ax b , lo
cual se reduce al problema de resolver un sistema
de ecuaciones lineales.
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• Ejemplo
• En economía, la función demanda expresa la
  cantidad de piezas de cierto producto que se
  venden en función de su demanda. Con frecuencia,
  ella y sus variables forman una ecuación lineal.

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• Se dice que la mayor parte del tiempo que los
  ordenadores actuales dedican a resolver problemas
  matemáticos, que tienen que ver con la
  industria y el comercio, se emplea en el
  tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales
  así tenemos
• Modelos económicos lineales.
• La programación lineal.
• Circuitos eléctricos.
• Cadenas de Markov.

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EJEMPLO
Una firma de transporte posee tres tipos de
camiones A, B y C. Los camiones pue- den
transportar dos clases de maquinaria pesada . El
número de máquinas de cada clase que puede
transportar cada camión se encuentra en el
siguiente cuadro
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camiones
camiones
Máquinas
Máquinas
A B C
A B C
clase 1 2 1 1 clase 2
0 1 2
clase 1 2 1 1 clase 2
0 1 2
Si la firma debe transportar 32 máquinas de
clase 1 y 10 máquinas de clase 2 . Cuántos
camiones se requieren para satisfacer el total
de transporte y cuál es la solución más
económica. Sabiendo que el costo de transporte
por camión es el mismo?.

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Interpretación geométrica en R2 de una ecuación
lineal
y
Ecuación general de una recta
Ax By C 0
x
0
La gráfica de toda ecuación de primer grado con
dos incógnitas en el sistema de coordenadas
rectangulares XY, es una recta y viceversa.
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Ecuación de la recta.
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada
en el origen b, es
b
y mx b
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales en las
incógnitas x1 , x2 ,..., xn es un conjunto
finito de ecuaciones lineales en dichas
incógnitas
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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Una sucesión finita de números reales es una
solución de un S.E.L si es solución de cada
ecuación del sistema.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama
conjunto solución del S.E.L.
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Ejemplo El sistema x y 5 x ?
y 3  es determinado la única solución es el
par formado por x 4 e y 1.
Las rectas son secantes El punto de corte es la
única solución de la ecuación. En este caso el
par ordenado (4 1). C.S. (4 1)?
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• Indeterminado si admite un número
• ilimitado de soluciones.

Ejemplo El sistema x y 5 3x 3y 15
admite infinitas soluciones.
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Incompatible es cuando el sistema no admite
solución.
Ejemplo El sistema x y
5 3x 3y 12  no admite ninguna solución.
En este caso, las rectas resultantes son
paralelas. C.S. ?
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CUADRO RESUMEN
COMPATIBLE
Indeterminados infinitas soluciones.
Determinados solución única.
INCOMPATIBLE
CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO
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    MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS  
MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste
en despejar en ambas ecuaciones una de las
incógnitas e igualarlas.
Ejemplo resuelva el siguiente sistema   2x
3y 7 3x ? 5y 1
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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una
incógnita de una de las ecuaciones y sustituir
esta expresión en la otra ecuación, con lo cual
obtendremos una sola ecuación de primer grado
con una incógnita cuya resolución ya nos es
familiar.
Ejemplo resuelva el sistema   3x ? 2y 7 5x
? 4y ?3
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MÉTODO DE ELIMINACIÓN Este método
consiste en buscar eliminar una incógnita sumando
ambas ecuaciones. Esto se consigue multiplicando
cada ecuación por un número real no nulo, de tal
manera que los coeficientes de una de las
incógnitas sean opuestos. Finalmente se suma las
dos ecuaciones para obtener una ecuación de
primer grado con una sola incógnita.
Ejemplo resuelva el sistema   4x 3y
6 3x 5y ?1
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Método Matricial
Sea el sistema
Se tiene
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Matriz del sistema.
Matriz aumentada del sistema.
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OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
1. Intercambiar dos filas cualesquiera de la
matriz. NOTACIÓN Fi X Fj 2. Multiplicar
cualquier fila de la matriz por una constante
diferente de cero. NOTACIÓN c.Fi 3.
Reemplazar cualquier fila de la matriz por el
resultado de sumarle a ella un múltiplo de
cualquier otra fila. NOTACIÓNFi cFic 0
c 0
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MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS
Sea A una matriz. Si B se obtiene de A mediante
una sucesión finita de operaciones elementales de
filas se dice que A y B son equivalentes por
filas y se escribe A B
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Componente guía
Definición
Es el primer elemento no nulo de una fila,
comenzando esta de izquierda a derecha.
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Matriz escalonada por fila
Definición Una matriz se llama escalonada por
filas si
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Observación Si además en la definición
anterior, se cumple que 1. Todas las
componentes guías son 1. 2. Cada columna que
incluye una com- ponente guía contiene
ceros en los demás elementos, la matriz
se llama escalonada reducida por
filas
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EJEMPLOS
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MÉTODO DE GAUSS (forma matricial)
1.Representar el sistema mediante su matriz
ampliada.
2.Mediante operaciones elementales filas
reducir la matriz ampliada a una forma
escalonada.
3.Obtener el sistema equivalente que resulta.
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4.Resolver el sistema por sustitución
regresiva tomando las variables libres necesarias.
Nota Si en el 2do paso se obtiene la matriz
escalonada reducida, el 4to paso se simplifica
enormemente ( Método de Gauss-Jordan)
Donde No de variables libres no de incógnitas
-no de ecuaciones
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SISTEMAS INCOMPATIBLES
Teorema
Un sistema lineal de ecuaciones es incompatible
si y sólo si su matriz escalonada por fila tiene
alguna fila de la forma 0 0 ...0 C con C 0.
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OBSERVACIONES
1. Un sistema compatible es determinado si y sólo
si su forma escalonada tiene tantas filas no
nulas como incógnitas.
2. Si un sistema de ecuaciones lineales
tiene más incógnitas que ecuaciones y ya está en
su forma escalonada, entonces hay infinitas
soluciones es decir es indeterminado.
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Sistemas homogéneos
Son los que tienen todos sus términos
independientes nulos.
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TEOREMA

Todo sistema homogéneo es compatible
Determinado La única solución es la solución
trivial.
SISTEMA HOMOGÉNEO
Indeterminado Existen infinitas soluciones.
Además de la trivial, existen otras soluciones.
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CONCLUSIONES
Forma escalonada
Incompatible
NF NI
Determinado
Indeterminado
NF lt NI