TD4 :

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TD4  Lois usuelles de statistiques 

• Loi binomiale
• Loi de Poisson
• Loi normale
• Table de N(01)
• Exercices sur Internet
• Exercices 1 et 2 du TD4

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Loi binomiale
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3
Loi binomiale

• Si X1, X2, ...., Xn sont n v.a indépendantes,
  toutes de loi de Bernoulli de paramètre p, alors
  X X1 ... Xn suit la loi
• B(n  p). On écrit alors X gt B(n  p).
• On a alors
• E(X) np
• Var(X) np(1 p)
• Exercice On répond au hasard à un QCM
  comportant 10 questions. Sur 5 propositions de
  réponses, une seule est bonne.
• Calculer la probabilité dobtenir 3 bonnes
  réponses.
• (Réponse Si on nomme la v.a X qui correspond au
  nombre de bonnes réponses, on a X gt B(10 0,2)
  et P(X 3) 0,2013)
• Les calculs peuvent être effectués à la
  calculatrice (voir fiche distribuée)

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Loi binomiale et tableur
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Loi de Poisson

• La loi de Poisson se rencontre lorsque la
  réalisation dun événement est rare sur un grand
  nombre dobservations mortalité, panne de
  machines...
• On appelle loi de Poisson de paramètre l, notée
  P(l), la loi telle que
• E(X) l et var(X) l.
• Une loi binomiale B(n  p) peut être remplacée
  par une loi de Poisson P(lnp) dés que ngt30 et p?
  0,1 .
• Exercice Une fabrication en série présente en
  moyenne 1,5 de produits défectueux. On contrôle
  50 articles choisis au hasard.
• 1) Quelle est la probabilité dobtenir 2
  articles défectueux ?
• 2) Quelle approximation peut-on faire ?
• (Réponse X gt B(50  0,015) avec X la v.a qui
  correspond au nombre de produits défectueux. On a
  P(X 2)
  0,133
• Comme 50 gt 30 et 0,015 lt 1, on a X qui suit la
  loi de Poisson avec l 50 0,015 7,5)

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Loi normale
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7
Loi normale

• Une loi normale est une distribution continue

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Exemples
Notes à un examen
Les impôts
Décès au Canada
Taille des français Somme de 3
dés Fréquence battements
cardiaques
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Distributions normales
Taille des Français
Somme de 3 dés
Fréquence battements cardiaques
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Loi normale

• La loi normale est une loi particulière
• Forme de cloche
• Symétrique
• 2 Points dinflexion
• Infinie

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Point dinflexion

• Définition Si f est dérivable en x0, x0 est un
  point d'inflexion pour f si la tangente au point
  (x0,f(x0)) traverse la courbe représentative de f
  en ce point. En particulier, si f est deux fois
  dérivable en x0, et si x0 est un point
  d'inflexion de f, f''(x0)0.
• Exemple

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Exemples de lois normales
13
Loi normale
Moyenne valeur centrale Écart type distance
aux points dinflexion
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Exemples de lois normales

• Moyenne 0
• Écart type 3

• Moyenne 4
• Écart type 1

• Moyenne -1
• Écart type 0,5

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36 valeurs suivent une loi normale.

• Alors, si on fait un tirage au hasard
• Probablement proche de la moyenne
• Faible chance dêtre loin

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Interprétation graphique

• Un individu pris au hasard a
• 16 de chances dêtre dans le gris
• 2,5 de chances
• 0,15 de chances

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La distribution normale
m 1s
2s 3s
34,1
50
13,6
2,2
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Loi normale centrée réduite

• Définition
• La loi normale de moyenne 0 et décart type
  1 est appelée la loi normale centrée réduite.

Si X suit une  loi normale centrée réduite, E(X)
0 et Var(X) 1 . On écrit X gt N(01)
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Loi normale centrée réduite

• Propriété
• Soit F(u) P(Xltu), la fonction de répartition de
  X, de loi N(01).

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Exemple avec la loi centrée réduite
La table donne les chances P dêtre dans - 8
u Exemple 1 - 8 1,5, F(u) 0,9332 0,3
8 , P(x ? 0,3) 1 P(xlt0,3)
1 0,6179
0,3821
Exemple 2
Si les températures suivent la loi normale de
moyenne 0 et décart type 1, alors 2,5 des
jours auront une température de 2 ou plus 5 des
jours auront une température de -1,6 ou moins
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La loi normale de Laplace-Gauss

• Cest la loi de probabilité la plus importante,
  pour des raisons de pratique, et pour des raisons
  théoriques.
• Densité de probabilité définie de ?? à ?
• La v.a. est centrée et réduite
• P(Xa) 0
• Toute loi normale de paramètres ? et ? peut être
  ainsi transformée en loi normale centrée réduite.

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Loi normale et le tableur (1)
23
Loi normale et le tableur (2)
24
Avec la calculatrice TI82 stats
25
calculatrice Casio Graph35
26
Table de la loi centrée réduite
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Approximations

• Approximation normale de la loi binomiale
• On a la loi binomiale B(n p) qui suit à peu
  prés la loi normale de moyenne np et de variance
  np(1-p) si ngt30, npgt 10 et np(1-p)gt10.
• Approximation normale de la loi de Poisson
• On a P(m) N(m m) si mgt20

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Exercices dentraînement

• Exercices interactifs sur Internet 
  (http//wims.auto.u-psud.fr/wims/ , puis
  rechercher statistiques)
• Variables aléatoires discrètes
• Loi normale

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Exercices du TD4
Exercice 1  Considérer les figures à la fin de
ce TD. 1) Légender la figure b à partir des
encadrés. 2) Compléter les encadrés dans les
figures 1 à 10. Exercice 2  Sachant que U N (
0, 1), calculer 1) P (U gt 1,96) P (U lt -
1,96) P (U gt 2,575) . 2) P (- 1,21 lt U lt
1,53) P ( lt 1,96) P ( lt 2,575) . 3) u tel
que P (U lt u) 0,10 P ( lt u) 0,8 .
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Exercice 1
31
Figure 1 (Exercice 1)
P(- lt U lt ) 1
32
Figure 2 (exercice 1)
P(U lt U1) F(U1)
33
Figure 3 (exercice 1)
P(U gt -U1) P(UltU1) F(U1)
34
Figure 4 (Exercice 1)
P(U gt U1) 1 - P(UltU1) 1 - F(U1)
35
Figure 5 (Exercice 1)
F(-U1) P(U lt -U1) 1 - P(Ugt-U1) 1 P(UltU1) 1
- F(U1)
36
Figure 6 (Exercice 1)
P(-U1ltUltU1) 1 P(Ult -U1) P(UgtU1) 2P(UltU1)
1 2F(U1) 1
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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 1) P (U gt 1,96)
• Réponse P(Ugt1,96) 1 P(Ult 1,96)
• 1 F(1,96)
• 1 0,9750
• 0,025
  

38
Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 1) P (U lt -1,96)
• Réponse
• P(Ult-1,96) P(Ugt1,96) 0,025

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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 1) P (U gt 2,575)
• Réponse P(Ugt2,575) 1 P(Ult 2,575)
• 1 F(2,575)
• 1 0,9950
• 0,005
  

40
Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 2) P (-1,21ltUlt1,53)
• Réponse P(-1,21ltUlt1,53)
• P(Ult1,53)-P(Ult-1,21)
• F(1,53) F(-1,21)
• F(1,53) (1 F(1,21))
• F(1,53) 1 F(1,21)
• 0,9370 1 0,8869
• 0,8239

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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 2) P (-1,96 ltUlt 1,96) )
• Réponse P(-1,96ltUlt1,96)
• P(Ult1,96)-P(Ult-1,96)
• F(1,96) F(-1,96)
• F(1,96) (1 F(1,96))
• F(1,53) 1 F(1,96)
• 2F(1,96) - 1
• 2x0,9750 1
• 0,95

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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 2) P (-2,575 ltUlt 2,575)
• Réponse P(-2,575ltUlt2,575)
• 2F(2,575) - 1
• 2x0,995 1
• 0,99

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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 3) P (Ultu)0,10
• Réponse P(Ultu)0,10
• 1-P(Ultu) 1-0,10 0,9
• P(Ult-u) 0,90
• F(-u) 0,90
• Donc u 1,29 et donc u -1,29

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Exercice 2

• Sachant que U N ( 0, 1), calculer
• 3) P(çUçlt u) 0,8
• Réponse P(çUçlt u) 2 F(u) 1 0,8
• F(u) (10,8)20,9
• Donc 1,28 lt u lt 1,29