Diapositiva 1

1
Multiplicación de números enteros de distinto
signo
Ejemplo
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine.
Cuánto dinero ha gastado después de haber ido
tres veces?
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
6
( 6) ( 3) 18
Va tres veces
3
18
Gasta 3 6 euros 18 euros
Gráficamente
El producto de dos números enteros de distinto
signo es un número entero negativo, cuyo valor
absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Otros ejemplos
(a) (7) ( 9) 63
(c) ( 13) (4) 52
(b) (12) (12) 144
2
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros hay que tener en
cuenta el signo que lleven.
Regla de los signos
Hay cuatro posibilidades
(7) ( 9) (79) 63

(7) ( 9) (79) 63

(7) ( 9) (79) 63

(7) ( 9) (79) 63

1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.
Observa
2º. El resultado es positivo() si los factores
son del mismo signo. El resultado es
negativo () si tienen distinto signo.
Otros ejemplos
(a) (5) ( 1) 55
(b) (5) (7) 35
(c) (3) (9) 27
3
División exacta de números enteros
Para dividir números enteros hay que tener en
cuenta el signo que lleven.
Pueden darse cuatro casos
Regla de los signos

(21) ( 7) (21 7) 3
Es la misma que para la multiplicación
(32) ( 4) (32 4) 8

(63) ( 9) (63 9) 7

(48) ( 8) (48 8) 6

Otros ejemplos
(a) 15 ( 5) (15 5) 3
(b) (54) (6) (54 6) 9
(c) 35 7 5
(d) 72 (9) 8
Observación El paréntesis es necesario cuando se
divide por un número negativo. En cualquier otro
caso es optativo.
4
Propiedad conmutativa
De la suma
Observa
7 ( 12) 5
7 ( 12) (12) 7
( 12) 7 5
La suma de dos números enteros no varía cuando se
cambia el orden de los sumandos.
Del producto
Observa
4 ( 5) 20
4 ( 5) ( 5) 4
( 5) 4 20
El producto de dos números enteros no varía
cuando se cambia el orden de los factores.
Otros ejemplos
Producto ( 3) (9) ( 9) (3) 27 (6)
(8) (8) (6) 48
Suma (5) 7 7 (5) 2 2 (13) (13)
2 11
5
Propiedad asociativa de la suma
La suma
10 (5) (2)
puede hacerse de dos maneras
1º. Sumando los dos primeros números al tercero
10 (5) (2) 5 (2) 3
2º. Sumando el primer número a los otros dos
10 (5) (2) 10 (7) 3
Luego
10 ( 5) ( 2) 10 ( 5) ( 2)
Propiedad asociativa de la suma
La suma de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo
(5) 17 (8) 12 (8) 4
(5) 17 (8) 5 9 4
6
Propiedad asociativa del producto
puede hacerse agrupando los factores de dos
formas distintas
El producto
(12) 8 (5)
1º. (los dos primeros) (el tercero)
(12) 8 (5) (96) (5) 480
2º. (el primero) (el producto de los otros dos)
(12) 8 (5) (12) (40) 480
Propiedad asociativa del producto
Luego
(12) 8 (5) (12) 8 (5)
El producto de tres números enteros no varía
cuando se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo
(5) 7 (3) 35 (3) 105
(5) 7 (3) 5 (21) 105
7
Propiedad distributiva
El valor de la expresión
5 (3 7)
puede calcularse de dos formas distintas
Una forma
Otra forma
Hacemos primero la suma y a continuación la
multiplicación.
Multiplicamos el factor por cada sumando y
después sumamos.
5 (3 7) 5 (3) (5) 7
5 (3 7) 5 4 20
15 (35) 20
El resultado es el mismo
Esta es la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto a la suma
Luego
5 (3 7) 5 (3) (5) 7
El producto de un número entero por una suma es
igual a la suma de los productos del número
entero por cada uno de los sumandos.
Otro ejemplo
15 10 8 (17) 15 (19) 285
Sumando antes
15 10 8 (17)
Multiplicando por cada sumando
15 10 8 (17) 15 (10) 15 8 15
(17) 150 120 (255) 285
8
Factor común
3 7 (3) (2)
En la suma
los sumandos son productos. En ambos se repite
el factor 3.
Hemos sacado factor común.
Decimos que 3 es factor común.
Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de
derecha a izquierda.
Podemos escribir
3 7 (3) (2) 3 7 (2)
Otros ejemplos
(a) 5 (10) 5 (17)
5 10 (17)
5 (27) 135
El factor común es 6.
(b) 6 (12) (6) 17 (6) (9)
6 (12) 17 (9)
6 (4) 24
(c) 9 7 (9) (15) 27 12
Aparentemente no hay factor común. Pero como 27
9 (3), se tiene
9 7 (9) (15) (9 ) (3) 12 9
7 (15) (3 ) 12 9 (44) 396
9
Operaciones combinadas. Sin paréntesis
Ejemplos
5 6 (4) 8 30
(a) La operación
debe realizarse en el siguiente orden
Primero hemos hecho los productos y después las
sumas
30 (32) 30
32
30 6 (3) 4 14
(b) Para hallar
hay que seguir el siguiente orden
Primero divisiones y productos, después las sumas
5 (12) 14
3
El orden de las operaciones es
1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y
restas
Otros ejemplos
1º 6 (4) (12) 4 (5) (9)
24 48 45 21
2º. 8 ( 6) 3 (12 17)
48 3 (5) 48 15 33
Aplicando la propiedad distributiva
8 ( 6) 3 12 3 (17) 48 36 51 33
10
Operaciones combinadas. Con paréntesis
Ejemplos
12 8 (14) 2 7 (9) 5
(a) La operación
Se hace así
12 8 (7) 7 (45)
63
12 1 (52)
El orden a seguir es
1º Operar dentro de los paréntesis 2º Hacer las
multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas
y restas
Otros ejemplos
1º 6 (4) (12) 4 (5) (9)
6 (16) (1) (9) 96 9 105
2º. El mismo ejemplo aplicando la propiedad
distributiva
6 (4) (12) 4 (5) (9)
6 (4) (6) (12) 4 (9) (5)
(9)
24 72 36 45 105
3º 15 (5) (2) (8) (3) 10
(5)
(3) (2) 24 10 (5)
5 34 5 24
11
Operaciones combinadas. Resumen
Resumimos con los siguientes casos
12 (3) (4) (9)
12 (12) (9) 33
Caso 1
12 (3) (4) (9)
(15) (4) (9) 60 (9) 69
Caso 2
12 (3) (4) (9)
12 (3) (5) 12 15 3
Caso 3
15 (5) 75
12 (3) (4) (9)
Caso 4
Observa que en todos los casos hay los mismos
números y operaciones. Cambia la situación de los
paréntesis
12
Resolución de problemas
Problema 1 La suma de dos números enteros es
igual a 19 y su producto es igual a 60. Cuáles
son esos números?
Has advertido que para que el producto sea 60,
los dos números deben ser negativos?
Primero
Tantear para comprender mejor
Si los números suman 19, uno podría ser 29 y
el otro 10.
Entonces, su producto sería 29 10 290.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
Por qué no valdrían dos números positivos?
Segundo
Hacer una tabla
Luego, los números buscados son 4 y 15.
Tercero
Comprobación.
La suma es 4 (15) 19.
Su producto vale (4) (15) 60
Que son las condiciones requeridas.
13
Resolución de problemas
Problema 2 En un depósito hay 800 litros de
agua. Por la parte superior un tubo vierte en el
depósito 25 litros por minuto, y por la parte
inferior, por otro tubo, salen 30 litros por
minuto. Cuántos litros de agua habrá en el
depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Primero
Leer el enunciado y resumirlo.
Hay 800 l, entran 25 y salen 30. En 15 min.?
25 durante 15 min.
Segundo
Hacer un dibujo explicativo.
Hay 800 l
-30
Tercero
Hacer los cálculos.
800 25 15 (30 15) 800 375 450 725
Cuarto
Comprobación.
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5
litros (25 30 5)
En 15 minutos 15 ( 5) 75.
Quedan entonces 800 75 725.