Berekenen van traagheidsmomenten

1
les 8

Berekenen van traagheidsmomenten
2
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Hoeveel verplaatst punt B in x- en y-richting?
Welke situatie is het beste wanneer je weinig
zakking wilt?
staalkabel Ø 5 mm
C
25
A
B
2 m
2 m
200 N
aluminium vierkant kokerprofiel 40 x 40 x 3 mm
3
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
We tekenen eerst een VLS van het kokerprofiel. We
vervangen de kabel door de onbekende kabelkracht
Fk.
C
Fk
25
A
B
2 m
2 m
200 N
4
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
De afstand AC noemen we x. Uit de figuur leiden
we af dat geldt
C
x
Fk
25
A
B
2 m
2 m
200 N
5
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Nu geldt voor de nieuwe hoek a die de kabel
maakt
C
Hieruit kunnen we a berekenen
x
Fk
a
25
A
B
2 m
2 m
200 N
6
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
We ontbinden de onbekende kabelkracht nu in een
horizontale component HD en een verticale
component VD. Wat werkt er in het scharnier A?
C
VD
Fk
43
A
B
HD
D
2 m
2 m
200 N
7
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
AB is nu een balk en niet langer een staaf.
Halverwege werkt immers de kabelkracht Fk. Het
weggelaten steunpunt in A kan op de balk een
horizontale kracht HA en een vertikale kracht VA
uitoefenen. Zie de slide uit Balktutorial!
C
VD
Fk
43
A
B
HA
HD
D
VA
2 m
2 m
200 N
8
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
C
VD
Fk
43
A
B
HA
HD
D
VA
2 m
2 m
200 N
9
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst

• We hebben nu alle krachten berekend, en kunnen
  daarmee twee VLSen tekenen die van de balk en
  die van de kabel.
• Merk op
• De pijllengtes kloppen niet met de grootte van de
  krachten. Dit is niet essentieel, alhoewel
  niemand je tegenhoudt om de tekening daarna nog
  eens netjes overnieuw te maken en alles op schaal
  te tekenen.
• De kracht die de kabel op de balk uitoefent is
  gelijk en tegengesteld aan de kracht die de balk
  op de kabel uitoefent.
• Nu we de krachten weten kunnen we de verlenging
  van de kabel berekenen.

586,478 N
586,478 N
586,478 N
400 N
A
B
428,9 N
D
428,9 N
200 N
200 N
2 m
2 m
10
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
586,478 N
586,478 N
586,478 N
200 N
A
B
428,9 N
D
428,9 N
200 N
200 N
2 m
2 m
11
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
De kabel zal dus 0,389 mm verlengen. De vraag is
nu weer, in welke richting zal D verplaatsen, en
over hoeveel mm? Balkdeel AD zal nauwelijks
verkorten, dus we maken geen grote fout door te
veronderstellen dat D recht onder D ligt.
(feitelijk is DD een stukje cirkelboog met A als
middelpunt) Tegelijkertijd moet gelden dat D
ligt op een crirkelboog met C als middelpunt, en
met een straal van de afstand CD vermeerderd met
de verlenging van de kabel, hier getekend als een
blauw lijntje. Dit blauwe lijntje is eigenlijk
een stukje cirkelboog met C als middelpunt, maar
we maken geen grote fout door dit stukje te
benaderen met een recht lijntje dat haaks op CD
staat. Hiermee wordt DD
C
x
D
43
A
2 m
D
Merk op de hoeken met een rode stip zijn
gelijk!
12
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Wanneer punt D 0,570 mm zakt, zal punt B dubbel
zoveel zakken. Het bevindt zich immers twee maal
zo ver van A.
C
Deze zakking in B is veroorzaakt door kabelrek,
daarom noemen we hem in het vervolg ?kabelrek.
A
B
D
2 m
2 m
13
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
We gaan nu de hoekverdraaiing ? berekenen als
gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB
uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit
is situatie 4 op het formuleblad met de
vergeetmenietjes. Hoe groot is dat koppel? Met
behulp van een evenwichtsbeschouwing (CIP1201)
kunnen we berekenen dat dit gelijk is aan
C
A
B
D
200 N
2 m
2 m
14
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
We gaan nu de hoekverdraaiing ? berekenen als
gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB
uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit
is situatie 4 op het formuleblad met de
vergeetmenietjes. Hoe groot is dat koppel? Met
behulp van een evenwichtsbeschouwing kunnen we
berekenen dat dit gelijk is aan
C
A
B
D
400 Nm
2 m
2 m
15
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Formule 4B stelt ons in staat om de
hoekverdraaiing ? als gevolg van het koppel te
berekenen.
C
De elasticiteitsmodulus van aluminium halen we
van het formuleblad
A
B
D
400 Nm
2 m
2 m
Het traagheidsmoment van het kokerprofiel is
16
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
E en I kunnen we nu invullen in de formule
C
Wanneer het blauwe deel recht zou blijven zou het
ten gevolge van het kwispeleffect een zakking
hebben van
A
B
D
400 Nm
Wanneer het blauwe deel recht zou blijven (wat
niet zo is) dan zou het ten gevolge van het
kwispeleffect een zakking hebben van
200 N
2 m
2 m
Oei... deze zakking blijkt de eerder gevonden
zakking als gevolg van kabelrek volledig te
overheersen!
17
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Maar, zo zagen we al, het blauwe balkdeel buigt
zelf ook. De zakking als gevolg daarvan kunnen we
bereken met behulp van formule 2A.
C
A
B
D
Hier komt dezelfde zakking uit als die welke we
vonden als gevolg van het kwispeleffect. (Dit is
niet geheel toevallig, het komt door de gelijke
afstand tussen AD en DB) Hiermee kunnen we de
totale zakking berekenen. Deze is namelijk de som
van de eerder gevonden zakkingen. Het optellen
van verplaatsing noem je superpositie. Dit
betekent letterlijk op-elkaar-plaatsing.
200 N
2 m
2 m
18
Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst
Okay, schenk jezelf een biertje in. Je hebt het
verdiend!! Na een flinke teug berekenen we de
totale zakking
C
A
B
D
200 N
2 m
2 m
geldt voor thuis, niet voor op school
19
Traagheidsmoment
20
Traagheidsmoment
21
Traagheidsmoment
22
Traagheidsmoment
23
Traagheidsmoment
24
Traagheidsmoment
25
Traagheidsmoment
Met hoeveel koppel moeten we aan de as draaien om
de gele vezel d mm langer te krijgen?
B
Dit is formule 7 van het formuleblad! Omwerken
levert
Dit is de kracht die nodig is om de vezel een
heel klein stukje d te verlengen.
26
Traagheidsmoment
Let op! In formule 7 is A (area) de oppervlakte
in mm van de doorsnede van de gele vezel!
27
Traagheidsmoment
Om een kracht F uit te oefenen op de gele vezel
moet we met het volgende koppel aan de as draaien
B
de verplaatsing d kunnen we ook schrijven als
hoekverdraaiing maal kwispellengte
28
Traagheidsmoment
wanneer we
invullen in
B
staat er
ofwel
29
Traagheidsmoment

• Het traagheidsmoment van de hele doorsnede vinden
  we door van alle vezels waaruit de balk bestaat,
• hun te berekenen,
• al de gevonden waardes op te tellen.
• Wanneer je de balk in oneindig veel oneindig
  dunne vezels verdeelt, noem je dit proces
  integreren.

B
30
Wiskundige definitie van het traagheidsmoment
dA
r
x-as
ZW

• Het traagheidsmoment is theoretisch als volgt te
  vinden
• verdeel de figuur in oneindig veel oneindig
  kleine vierkantjes met oppervlakte dA
• vermenigvuldig iedere oppervlakte met het
  kwadraat van de afstand r van het vierkantje tot
  de x-as
• tel alles op, en je hebt I
• (dit optellen heet integreren)

31
Reserveslide
vezel 2x verder van de as
vezelverlenging 2x zo groot
arm van de kracht voor vezelverlenging 2x zo groot
Benodigd koppel 4x zo groot
32
Traagheidsmoment
voorbeeld 1
voorbeeld 2
x
x
1 mm

• Aanwijzingen
• vermenigvuldig per blokje de oppervlakte met het
  kwadraat van zijn arm
• tel alle resultaten op

1 mm
33
Samengestelde figuren
optellen en aftrekken van traagheidmomenten
toegestaan, mits de zwaartepunten van de
samenstellende figuren op de x-as liggen!!!


34
Oefening 1
Bereken het traagheidsmoment I van onderstaande
afgeplatte buis.
2
16
50
35
Hint voor de oplossing (1)
Traagheidsmoment is traagheidsmoment buitenvorm
min traagheidsmoment binnenvorm


16
12
50
46
36
Hint voor de oplossing (2)
Traagheidsmoment ovaal is traagheidmoment
rechthoek plus twee maal traagheidsmoment halve
cirkel.
16
16
50
34
12
12
34
46
37
Asymmetrische figuren
Wat nu wanneer we het traagheidsmoment willen
berekenen ten opzichte van een lijn die niet door
het zwaartepunt gaat? Volgens de regel van
Steiner moeten we er de verschuiving a in het
kwadraat maal de oppervlakte A bij optellen,
alles in mm
Z
30
8
Z
30
15
de verschuivingsterm van Steiner
15
38
Oefening 2
Bereken het traagheidsmoment van een cirkel met
een diameter van 30 mm ten opzichte van een
raaklijn.
Z
Hoeveel maal groter wordt het traagheidsmoment?
39
Onthoud

• Je berekent een traagheidsmoment altijd ten
  opzichte van een lijn.
• Wanneer er niets bij gezegd wordt bedoelt men
  het traagheidsmoment ten opzichte van een lijn
  die door het zwaartepunt gaat.
• Wanneer we de figuur gaan verschuiven wordt het
  traagheidsmoment altijd groter, nooit kleiner.

40
Berekening ligging zwaartepunt
Vaak is niet zomaar duidelijk waar het
zwaartepunt van een figuur ligt. Dit zullen we
eerst moeten berekenen. Dit doen we met de
methode van het oppervlaktemoment. Waar ligt
het zwaartepunt van dit U-profiel? Om te
beginnen leggen we de x-as gelijk met
bijvoorbeeld de onderkant. Wat je kiest is niet
belangrijk.
2,5 (3x)
30
x
20
41
Berekening ligging zwaartepunt
We verdelen het U-profiel in rechthoeken. We
weten dat het zwaartepunt van iedere rechthoek in
het midden ligt.
2,5 (3x)
30
15
1,25
x
20
42
Berekening ligging zwaartepunt
We berekenen nu de som van de oppervlaktes van
alle rechthoeken maal de afstand van hun
zwaartepunt tot de x-as. Deze moet gelijk zijn
aan de aan de oppervlakte van de totale figuur
maal de afstand van het zwaartepunt van de totale
figuur tot de x-as. In dit geval is een formule
gemakkelijker te onthouden!
A175 mm2
2,5 (3x)
A375 mm2
30
15
1,25
ytot
x
A237,5 mm2
15
20
43
Berekening ligging zwaartepunt
We weten nu waar het zwaartepunt ligt en
verplaatsen de x-as naar dat punt.
Daarna berekenen we de afstanden van de gekleurde
rechthoeken naar de nieuwe x-as.
2,5 (3x)
30
x
15
1,25
12,25
15
20
44
Berekening ligging zwaartepunt
We berekenen nu de afstanden van de zwaartepunten
naar de nieuwe (verschoven as)
2,5 (3x)
2,75
30
x
15
1,25
11
12,25
15
20
45
Berekening traagheidsmoment
We gooien de maten die we niet meer nodig hebben
weg. We kunnen nu het traagheidsmoment van de
complete figuur berekenen. We doen dit per
rechthoek, en tellen ten slotte alles op.
2,5 (3x)
2,75
30
x
11
15
20
46
Oefening 3
Bereken het traagheidsmoment van een omgekeerd
T-profiel. Bereken eerst de ligging van het
zwaartepunt met de oppervlaktemomentmethode.
20
130
20
100
47
Huiswerk 1
Van 1 mm dik staalplaat is onderstaande
profielplaat gezet. Bereken het traagheidsmoment
I van deze plaat. Om de berekening niet te
ingewikkeld te maken nemen we aan dat de hoeken
bij het zetten scherp zijn gebleven. In
werkelijkheid ontstaan afrondingen!
1360
34
18
18
48
Huiswerk 2
De plaat moet een sloot van 1,50 m
overspannen. De ribbels lopen daarbij in
dwarsrichting. Hoeveel mm zakt de plaat in het
midden wanneer daar een man van 80 kg staat?
1360
34
18
18