Esempio 1

1
Esempio 1

• Bruce e Sheila decidono se andare allopera
  oppure ad un incontro di wrestling.
• Sheila ottiene una utilità di 4 se andrà
  allopera e di 1 se va a veder il wrestling.
• Bruce ottiene una utilità di 1 se andrà allopera
  e di 4 se va a vedere il wrestling.
• I due decidono cosa fare nel modo seguente
• Bruce e Sheila mettono entrambi un euro sulla
  guida televisiva in salotto (assumiamo che
  nessuno cerca di guardare come punta laltro).
  Contano fino a 3 e simultaneamente svelano quale
  faccia delleuro è su. Se le facce delleuro sono
  uguali (entrambe testa (heads), o entrambe croce
  (tails)), Sheila decide dove andare, mentre se le
  monente mostrano due facce diverse decide Bruce.

2
Esempio 1
Sheila Sheila
H ( q ) T ( 1q )
Bruce H ( r ) 1 , 4 4 , 1
Bruce T ( 1r ) 4 , 1 1 , 4

• Il payoff atteso di Bruce giocando Head è il
  seguente
• EU1(H, (q, 1q)) q1 (1q)4 43q
• Il payoff atteso di Bruce giocando Tail è il
  seguente
• EU1(T, (q, 1q)) q4 (1q)1 13q
• Bruce è indifferente fra giocare Head o Tail
  quando
• EU1(H, (q, 1q)) EU1(T, (q, 1q)) 43q 13q
  6q 3 Ciò dà un valore di q 1/2

3
Esempio 1
Sheila Sheila
H ( q ) T ( 1q )
Bruce H ( r ) 1 , 4 4 , 1
Bruce T ( 1r ) 4 , 1 1 , 4

• Il payoff di Sheila giocando Head è il seguente
• EU2(H, (r, 1r)) r 4(1r)1 3r 1
• Il payoff di Sheila giocando Tail è il seguente
• EU2(T, (r, 1r)) r1(1r)4 4 3r
• Sheila è indifferente fra giocare Head o Tail
  quando
• EU2(H, (r, 1r)) EU2(T, (r, 1r)) 3r 1 4
  3r 6r 3 Ciò da un valore di r ½
• ( (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ) è un MNE.

4
Esempio 2
Player 2 Player 2
L ( q ) R ( 1q )
Player 1 T ( r ) 6 , 0 0 , 6
Player 1 B ( 1r ) 3 , 2 6 , 0

• Il payoff atteso di Player 1 giocando T è
• EU1(T, (q, 1q)) q6 (1q)0 6q
• Il payoff atteso di Player 1 giocando B è
• EU1(B, (q, 1q)) q3 (1q)6 6-3q
• Player 1 è indifferente tra giocare T e B se
• EU1(T, (q, 1q)) EU1(B, (q, 1q)) 6q 6-3q
  9q 6 Ciò da un valore di q 2/3

5
Example 2
Player 2 Player 2
L ( q ) R ( 1q )
Player 1 T ( r ) 6 , 0 0 , 6
Player 1 B ( 1r ) 3 , 2 6 , 0

• Il payoff atteso di Player 2 giocando L è
• EU2(L, (r, 1r)) r 0(1r)2 2- 2r
• Il payoff atteso di Player 2 giocando R è
• EU2(R, (r, 1r)) r6(1r)0 6r
• Player 2 è indifferente tra giocare L e R quando
• EU2(L, (r, 1r)) EU2(R, (r, 1r)) 2- 2r 6r
  8r 2 Ciò da un valore di r ¼
• ( (1/4, 3/4), (2/3, 1/3) ) è un MNE.

6
Esempio 3 Il gioco di entrata nel mercato

• Due imprese, Firm 1 e Firm 2, devono decidere
  simultaneamente se aprire un ristorante in un
  centro commerciale.
• Ognuna ha due strategie Enter, Not Enter
• Se entrambe giocano Not Enter, guadagnano 0
  profitti
• Se una gioca Enter e laltra gioca Not Enter
  allora limpresa che gioca Enter guadagna 500K
• Se entrambe giocano Enter allora entrambe
  perdono 100K perché la domanda è limitata

7
Esempio 3 Il gioco di entrata nel mercato
Firm 2 Firm 2
Enter ( q ) Not Enter ( 1q )
Firm 1 Enter ( r ) -100 , -100 500 , 0
Firm 1 Not Enter ( 1r ) 0 , 500 0 , 0

• Quanti equilibri di Nash potete trovare?
• Due equilibri di Nash in strategie pure(Not
  Enter, Enter) e (Enter, Not Enter)
• Un equilibrio di Nash in strategie miste((5/6,
  1/6), (5/6, 1/6)) questo perchè r5/6 e q5/6

8
Esempio 4
Player 2 Player 2
L ( q ) R ( 1q )
Player 1 T ( r ) 1 , 1 1 , 2
Player 1 B ( 1r ) 2 , 3 0 , 1

• Quanti equilibri di Nash trovate?
• Due equilibri di Nash in strategie pure(B, L) e
  (T, R)
• Un equilibrio di Nash in strategie miste((2/3,
  1/3), (1/2, 1/2)) Questo perchè r2/3 e q1/2

9
Esempio Roccia, carta e forbici

• Ognuno dei due giocatori annuncia simultaneamente
  Roccia (R), o Carta (P), o Forbici (S).
• La carta batte la roccia
• La roccia batte le forbici
• Le forbici battono la carta
• Il giocatore che nomina loggetto vincente riceve
  1 dallavversario
• Se entrambi giocano lo stesso oggetto nessuno
  vince o perde

10
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock Paper Scissors
Player 1 Rock 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Riuscite a trovare un equilibrio di Nash in
  strategie miste?

11
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Insieme dei giocatori Player 1, Player 2
• Insiemi delle strategie player 1 S1 s11,
  s12, ..., s1J player 2 S2 s21, s22, ...,
  s2K
• Funzioni di payoffsplayer 1 u1(s1j,
  s2k)player 2 u2(s1j, s2k) per j 1, 2, ..., J
  e k 1, 2, ..., K

12
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure
Player 2 Player 2 Player 2 Player 2
s21 (p21) s22 (p22) ....... s2K (p2K)
s11 (p11) u2(s11, s21) u1(s11, s21) u2(s11, s22) u1(s11, s22) ....... u2(s11, s2K) u1(s11, s2K)
s12 (p12) u2(s12, s21) u1(s12, s21) u2(s12, s22) u1(s12, s22) ....... u2(s12, s2K) u1(s12, s2K)
.... ...... ....... ....... ......
s1J (p1J) u2(s1J, s21) u1(s1J, s21) u2(s1J, s22) u1(s1J, s22) ...... u2(s1J, s2K) u1(s1J, s2K)
Player 1

• La strategia mista di Player 1 p1(p11, p12,
  ..., p1J )
• La strategia mista di Player 2 p2(p21, p22,
  ..., p2K )

13
Payoffs attesi 2-giocatori ognuno con un numero
finito di strategie pure

• Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura
  s11 EU1(s11, p2)p21u1(s11, s21)p22u1(s11,
  s22)...p2ku1(s11, s2k)...p2Ku1(s11, s2K)
• Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura
  s12 EU1(s12, p2)p21u1(s12, s21)p22u1(s12,
  s22)...p2ku1(s12, s2k)...p2Ku1(s12, s2K)
• .........
• Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura
  s1J EU1(s1J, p2)p21u1(s1J, s21)p22u1(s1J,
  s22)...p2ku1(s1J, s2k)...p2Ku1(s1J, s2K)
• Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia
  mista p1v1(p1, p2)p11?EU1(s11,
  p2)p12?EU1(s12, p2)...p1j?EU1(s1j, p2)...
  p1J?EU1(s1J, p2)

14
Payoffs attesi 2-giocatori ognuno con un numero
finito di strategie pure

• Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura
  s21 EU2(s21, p1)p11u2(s11, s21)p12u2(s12,
  s21)...p1ju2(s1j, s21)...p1Ju2(s1J, s21)
• Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura
  s22 EU2(s22, p1)p11u2(s11, s22)p12u2(s12,
  s22)...p1ju2(s1j, s22)...p1Ju2(s1J, s22)
• ...........
• Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura
  s2K EU2(s2K, p1)p11u2(s11, s2K)p12u2(s12,
  s2K)...p1ju2(s1j, s2K)...p1Ju2(s1J, s2K)
• Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia
  mista p2v2(p1, p2)p21?EU2(s21,
  p1)p22?EU2(s22, p1) ...p2k?EU2(s2k, p1)....
  p2K?EU2(s2K, p1)

15
MNE 2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Una coppia di strategie miste (p1, p2), dove
  p1(p11, p12, ..., p1J )
  p2(p21, p22, ..., p2K ) è
  un MNE se la strategia mista p1 del giocatore 1
  è una risposta ottima alla strategia mista del
  giocatore 2 p2, e p2 è una risposta ottima a
  p1.
• Oppure, v1(p1, p2)? v1(p1, p2), per tutte le
  strategie miste del giocatore 1 p1, e v2(p1,
  p2) ? v2(p1, p2), per tutte le strategie miste
  del giocatore 2 p2.
• Ciò significa, data la strategia mista del
  giocatore 2 p2, il giocatore 1 non può
  migliorare deviando da p1. Data la strategia
  mista del giocatore 1 p1, il giocatore 2 non
  può fare di meglio deviando da p2.

16
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Teorema 3 (proprietà del MNE)
• Una coppia di strategie miste (p1, p2), dove
  p1(p11, p12, ..., p1J )
  p2(p21, p22, ..., p2K ) è
  un MNE se e solo se v1(p1, p2) ? EU1(s1j,
  p2), per j 1, 2, ..., Jev2(p1, p2) ?
  EU2(s2k, p1), per k 1, 2, ..., K

17
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Teorema 4 Una coppia di strategie miste (p1,
  p2), dove p1(p11, p12,
  ..., p1J ) p2(p21,
  p22, ..., p2K ) è un MNE se e solo se soddisfa
  le seguenti condizioni
• player 1 per ogni m e n, se p1mgt0 e p1ngt0
  allora EU1(s1m, p2) EU1(s1n, p2) se p1mgt0
  e p1n0 allora EU1(s1m, p2) ? EU1(s1n, p2)
• player 2 per ogni i e k, se p2igt0 e p2kgt0
  allora EU2(s2i, p1) EU2(s2k, p1) se p2igt0
  e p2k0 allora EU2(s2i, p1) ? EU2(s2k, p1)

18
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Cosa ci dice il Teorema 4?
• Una coppia di strategie miste (p1, p2),
  dovep1(p11, p12, ..., p1J ), p2(p21,
  p22, ..., p2K ) è un MNE se e solo se soddisfa
  le seguenti condizioni
• Data la strategia mista del giocatore 2 p2, il
  payoff atteso del giocatore 1 da ogni strategia
  pura al quale egli assegna una probabilità
  positiva di realizzo è la stessa, e il payoff
  atteso dal giocatore 1 di ogni strategia pura
  alla quale assegna una probabilità positiva è non
  inferiore del payoff atteso di ogni strategia
  pura alla quale assegna zero probabilità.
• Data la strategia mista del giocatore 1 p1, il
  payoff atteso del giocatore 2 da ogni strategia
  pura al quale egli assegna una probabilità
  positiva di realizzo è la stessa, e il payoff
  atteso dal giocatore 2 di ogni strategia pura
  alla quale assegna una probabilità positiva è non
  inferiore del payoff atteso di ogni strategia
  pura alla quale assegna zero probabilità.

19
2-giocatori ognuno con un numero finito di
strategie pure

• Il Teorema 4 implica che abbiamo un MNE nella
  situazione seguente
• Data la strategia mista del giocatore 2, Il
  giocatore 1 è indifferente tra le sue strategie
  pure alle quali assegna probabilità positiva. Il
  payoff atteso di ogni strategia pura che ha
  probabilità positiva è non inferiore del payoff
  atteso di ogni strategia pura alla quale il
  giocatore 1 assegna probabilità nulla.
• Data la strategia mista del giocatore 1, Il
  giocatore 2 è indifferente tra le sue strategie
  pure alle quali assegna probabilità positiva. Il
  payoff atteso di ogni strategia pura che ha
  probabilità positiva è non inferiore del payoff
  atteso di ogni strategia pura alla quale il
  giocatore 2 assegna probabilità nulla.

20
Teorema 4 esempio dimostrativo
Player 2
L (0) C (1/3) R (2/3)
Player 1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1
Player 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3
Player 1 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7

• Controllare se ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) è
  un MNE
• Player 1
• EU1(T, p2) 0?03?(1/3)1?(2/3)5/3, EU1(M,
  p2) 4?00?(1/3)2?(2/3)4/3EU1(B, p2)
  3?05?(1/3)0?(2/3)5/3.
• Quindi, EU1(T, p2) EU1(B, p2) gt EU1(M, p2)

21
Teorema 4 esempio dimostrativo
Player 2
L (0) C (1/3) R (2/3)
Player 1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1
Player 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3
Player 1 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7

• Player 2
• EU2(L, p1)2?(3/4) 0?0 4?(1/4)5/2, EU2(C,
  p1)3?(3/4) 4?0 1?(1/4)5/2,EU2(R,
  p1)1?(3/4) 3?0 7?(1/4)5/2.
• Quindi, EU2(C, p1)EU2(R, p1)?EU2(L, p1)
• Allora, ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) dato il
  Teorema 4 è un MNE.

22
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Controllate che esista un MNE in cui p11gt0,
  p12gt0, p13gt0, p21gt0, p22gt0, p23gt0.

23
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Se ogni giocatore assegna una probabilità
  positiva ad ognuna delle sue strategie miste
  allora,per il Teorema 4, ogni giocatore è
  indifferente tra le sue tre strategie pure.

24
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Il giocatore 1 è indifferente fra le sue 3
  strategie EU1(Rock, p2) 0?p21(-1)? p221?
  p23EU1(Paper, p2) 1? p210? p22(-1)?
  p23EU1(Scissors, p2) (-1)? p211? p220? p23
• EU1(Rock, p2) EU1(Paper, p2) EU1(Scissors, p2)
• Avendo che p21 p22 p231, abbiamo tre equazioni
  e tre incognite.

25
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• 0?p21(-1)? p221? p23 1? p210? p22(-1)? p23
  0?p21(-1)? p221? p23 (-1)? p211? p220? p23
  p21 p22 p231
• La soluzione è p21 p22 p231/3

26
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Il giocatore 2 è indifferente fra le tre
  strategie EU2(Rock, p1)0?p11(-1)? p121?
  p13EU2(Paper, p1)1? p110? p12(-1)?
  p13EU2(Scissors, p1)(-1)? p111? p120? p13
• EU2(Rock, p1) EU2(Paper, p1)EU2(Scissors, p1)
• Insieme con p11 p12 p131, abbiamo tre
  equazioni e tre incognite.

27
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• 0?p11(-1)? p121? p131? p110? p12(-1)?
  p130?p11(-1)? p121? p13(-1)? p111? p120?
  p13 p11 p12 p131
• La soluzione è p11 p12 p131/3

28
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (1/3) Paper (1/3) Scissors (1/3)
Player 1 Rock (1/3) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (1/3) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (1/3) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Player 1 EU1(Rock, p2) 0?(1/3)(-1)?(1/3)1?(1/
  3)0 EU1(Paper, p2) 1?(1/3)0?(1/3)(-1)?(1/3)
  0 EU1(Scissors, p2) (-1)?(1/3)1?(1/3)0?(1/3)
  0
• Player 2 EU2(Rock, p1)0?(1/3)(-1)?(1/3)1?(1/3)
  0 EU2(Paper, p1)1?(1/3)0?(1/3)(-1)?(1/3)0
  EU2(Scissors, p1)(-1)?(1/3)1?(1/3)0?(1/3)0
• Quindi, (p1(1/3, 1/3, 1/3), p2(1/3, 1/3, 1/3))
  dato il teorema 4 è un MNE.

29
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Controllare se esiste un MNE nel quale p11, p12,
  p13 è positivo, e almeno due fra p21, p22, p23
  sono positivi.
• La risposta è No.

30
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Controllare se esiste un MNE dove due fra p11,
  p12, p13 sono positivi, e almeno due fra p21,
  p22, p23 sono positivi.
• La risposta è No.

31
Esempio Roccia, carta e forbici
Player 2
Rock (p21) Paper (p22) Scissors (p23)
Player 1 Rock (p11) 0 , 0 -1 , 1 1 , -1
Player 1 Paper (p12) 1 , -1 0 , 0 -1 , 1
Player 1 Scissors (p13) -1 , 1 1 , -1 0 , 0

• Quindi, (p1(1/3, 1/3, 1/3), p2(1/3, 1/3, 1/3))
  dato il Teorema 4 è lunico equilibrio di Nash.