CHAPITRE 5

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CHAPITRE 5 Trigonométrie- Angles inscrits,
Angles au centre
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Objectifs
- Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus
et la tangente dun angle aigu et les deux
longueurs dun triangle rectangle.

• - Utiliser la calculatrice pour déterminer un
  angle aigu ou le cosinus, le sinus ou la tangente
  dun angle aigu.

- Calculer, dans un triangle rectangle, un angle
ou la longueur dun côté en utilisant la
trigonométrie

• Calculer un angle en utilisant la propriété de
  langle
• inscrit et de langle au centre.

- Construire un polygone régulier.
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Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et
"metron" (mesure).
On attribue à Hipparque de Nicée (-190 -120)
les premières tables trigonométriques. Elles
font correspondre langle au centre et la
longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Le grec Claude Ptolémée (85 165) poursuit dans
lAlmageste les travaux dHipparque avec une
meilleure précision et introduit les premières
formules de trigonométrie.
Plus tard, lastronome et mathématicien
Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller
développe la trigonométrie comme une branche
indépendante des mathématiques. Il serait à
lorigine de lusage systématique du terme sinus.
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1. Vocabulaire du triangle rectangle

Avant daborder tout problème de trigonométrie,
il faut savoir nommer les côtés dun triangle
rectangle.
Ici on appelle ? la mesure de l angle BÂC dans
le triangle rectangle en C.
B
Hypoténuse (cest le plus grand des côtés, cest
aussi le côté opposé à langle droit.)
Côté opposé à ?
?
A
C
Côté adjacent à ?
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II. Trois formules trigonométriques
Côté adjacent à ?
?
Hypoténuse
Côté opposé à ?
?
Hypoténuse
Côté adjacent à ?
Côté opposé à ?
?
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Remarques - sin se lit  sinus , cos
 cosinus  et tan  tangente 
-Pour saider à retenir ces trois formules, on
peut retenir le  célèbre  mot
Soh Cah
Toa
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III. Applications

• Calcul de la longueur dun côté connaissant
• un angle et un autre côté

Calculer la longueur de AB.
Méthode
Côt. Adj.
?
1. On nomme les côtés du triangle.
23 cm
2. On repère le côté que lon cherche et le côté
que lon connaît, en les soulignant par exemple.
B
3. On choisit la formule dans laquelle il y a
les deux côtés soulignés.
Comme ABC est rectangle en C, on a
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Calculer la longueur de AB
Méthode
?
1. On nomme les côtés du triangle
Côt. Adj.
2. On repère le côté que lon cherche et le côté
que lon connaît, en les soulignant par exemple.
23 cm
B
3. On choisit la formule dans laquelle il y a
les deux côtés soulignés.
Comme ABC est rectangle en C, on a
4. On remplace dans la formule tout ce que lon
connaît.
5. On fait un produit en croix et on calcule AB
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2) Calcul de la mesure dun angle connaissant la
longueur connaissant la longueur de deux côtés
A
Calculer langle BÂC.
?
Méthode
26 cm
2. On repère les deux côtés que lon connaît, en
les soulignant.
Côt. Adj.
10 cm
B
C
3. On choisit la formule dans laquelle il y a
les deux côtés soulignés.
Comme ABC est rectangle en B, on a
10
A
Calculer langle BÂC.
Méthode
?
26 cm
2. On repère les deux côtés que lon connaît, en
les soulignant.
Côt. Adj.
10 cm
3. On choisit la formule dans laquelle il y a
les deux côtés soulignés.
B
C
Comme ABC est rectangle en B, on a
4. On remplace dans la formule tout ce que lon
connaît.
5. Avec la calculette, on tape tan -1
(10/26)
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IV. Angles inscrits- angles au centre 
1) Introduction et définitions
est un angle au centre.
, et sont des
angles inscrits.
Cest un angle dont le sommet est le centre du
cercle.
Cest un angle dont le sommet est sur le cercle.
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2) Propriétés
En mesurant les angles, on constate que 
mesurent 46
et mesure 92
Propriété 1 La mesure dun angle au centre est
le double de celle de langle inscrit qui
intercepte le même arc.
Propriété 2 Deux angles inscrits qui
interceptent le même arc ont la même mesure.
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V. Polygones réguliers
Un polygone régulier est un polygone inscrit dans
un cercle dont tous les côtés ont la même
longueur.
Triangle équilatéral
Carré
Pentagone régulier
Hexagone régulier
Octogone régulier
Remarques  - Il existe toujours une rotation
laissant invariant un polygone
régulier.
- Langle au centre dun polygone régulier se
calcule avec la formule suivante
360
angle au centre
nb côtés polygone
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Exemple Construction d'un décagone régulier
inscrit dans un cercle à la règle,
au compas et au rapporteur.
Cliquez sur licône pour voir lanimation
ABCDEFGHIJ est un décagone régulier inscrit dans
le cercle de centre O