Torens van Hanoi

1
Torens van Hanoi

• Uitgevonden door Franse Wiskundige Edouard Lucas
  in 1883.
• Beschreven in zijn wiskundig spelletjesboek
  Récréations Mathématiques

• De Legende een Hindoe-tempel met priesters (de
  Brahmanen)

2
Torens van Hanoi

• Drie staven. Op één staaf zaten 64 gouden
  schijven van verschillende grootte, de grootste
  vanonder, de kleinste vanboven.
• Verplaatsen van de ene naar de andere.

• Eén schijf per stap verplaatsen

• Er mag nooit een grotere op een kleinere liggen

• De wereld komt tot een einde als het werk af is.

3
Torens van Hanoi

• Eén stap per seconde 580.000.000.000 jaar werk
• Ruwweg veertig maal zoveel de geschatte leeftijd
  van het heelal!

4
Torens van Hanoi

• Kleine versie 8 schijven (verkocht als speelgoed)

• Programmeren willekeurig aantal staven

5
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???

6
Torens van Hanoi
7
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???
• We beginnen met kleinste schijf te verplaatsen

8
Torens van Hanoi
9
Torens van Hanoi
10
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???
• We beginnen met kleinste schijf te verplaatsen
• We nemen volgende schijf en zetten ze op een lege
  staaf.
• We zetten kleinste schijf erop, we hebben nu een
  klein torentje van twee schijven verplaatst.

11
Torens van Hanoi
12
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???
• We beginnen met kleinste schijf te verplaatsen
• We nemen volgende schijf en zetten ze op een lege
  staaf.
• We zetten kleinste schijf erop, we hebben nu een
  klein torentje van twee schijven verplaatst.
• We zetten de volgende schijf op de lege staaf.

13
Torens van Hanoi
???
14
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???
• We beginnen met kleinste schijf te verplaatsen
• We nemen volgende schijf en zetten ze op een lege
  staaf.
• We zetten kleinste schijf erop, we hebben nu een
  klein torentje van twee schijven verplaatst.
• We zetten de volgende schijf op de lege staaf.
• PROBLEEM deze schijf moet ONDER het kleine
  torentje geraken.

15
Torens van Hanoi
16
Torens van Hanoi

• Hoe aanpakken???
• We beginnen met kleinste schijf te verplaatsen
• We nemen volgende schijf en zetten ze op een lege
  staaf.
• We zetten kleinste schijf erop, we hebben nu een
  klein torentje van twee verplaatst.
• We zetten de volgende schijf op de lege staaf.
• PROBLEEM deze schijf moet ONDER het kleine
  torentje geraken.
• OPLOSSING we verplaatsen het kleine torentje nog
  eens op dezelfde manier, maar nu gebruiken we de
  bronstaaf als hulpstaaf.

17
Torens van Hanoi
18
Torens van Hanoi
19
Torens van Hanoi

• We hebben terug hetzelfde probleem
• We hebben een toren van drie schijven gemaakt.
• Er moet een grotere schijf onder.

20
Torens van Hanoi

• Oplossing we doen nóg eens alles opnieuw we
  verplaatsen de driedelige toren bovenop de
  grotere schijf.

21
Torens van Hanoi
22
Torens van Hanoi

• Oplossing we doen nóg eens alles opnieuw we
  verplaatsen de driedelige toren bovenop de
  grotere schijf.
• We plaatsen eerst het tweedelige torentje op de
  lege staaf. Hiervoor gebruiken we de doelstaaf
  als hulpstaaf.

23
Torens van Hanoi
24
Torens van Hanoi

• Oplossing we doen nóg eens alles opnieuw we
  verplaatsen de driedelige toren bovenop de
  grotere schijf.
• We plaatsen eerst het tweedelige torentje op de
  lege staaf. Hiervoor gebruiken we de doelstaaf
  als hulpstaaf.
• We plaatsen de onderste schijf van de driedelige
  toren op de grotere staaf

25
Torens van Hanoi
26
Torens van Hanoi

• Oplossing we doen nóg eens alles opnieuw we
  verplaatsen de driedelige toren bovenop de
  grotere schijf.
• We plaatsen eerst het tweedelige torentje op de
  lege staaf. Hiervoor gebruiken we de doelstaaf
  als hulpstaaf.
• We plaatsen de onderste schijf van de driedelige
  toren op de grotere staaf.
• We verplaatsen het tweedelige torentje nóg eens,
  nu op de doelstaaf. De lege staaf kan nu als
  hulpstaaf gebruikt worden.

27
Torens van Hanoi
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
Torens van Hanoi

• Als we weten hoe we een toren van hoogte n-1
  moeten verplaatsen, hoe verplaatsen we dan een
  toren van hoogte n (ngt1)?
• Beschrijf het algoritme om dit te doen.

31
Torens van Hanoi

• To VerplaatsToren n
• VerplaatsToren n-1 naar hulpstaaf
• Verplaats onderste schijf naar doelstaaf
• VerplaatsToren n-1 van hulpstaaf naar
  doelstaaf
• end

Het verplaatsen van een toren duurt dus ongeveer
dubbel zo lang als het verplaatsen van een toren
van één schijf minder! Vandaar dat de priesters
zo lang werk hebben aan 64...
32
Hanoi in LOGO

• Probleem we willen een grafische voorstelling
  maken van de toren van hanoi in LOGO.
• Schrijf een procedure to hanoi n
• die een demonstratie geeft van hanoi voor een
  toren van n schijven.
• Verdeel eerst in deelproblemen!!!

33
Hanoi in LOGO

• We willen de staven en schijven op het scherm
  tekenen. (De beginsituatie)
• We willen een willekeurig aantal schijven kunnen
  verplaatsen.
• We willen één schijf kunnen verplaatsen. Hiervoor
  moeten we ze kunnen tekenen, maar ook uitwissen.

34
(No Transcript)
35
Opmerking
Voor het practische gemak maken we gebruik van
devolgende procedure die we reeds in een andere
les hebben geprogrammeerd to positie x
y pu setxy x y pd end
36
Hanoi in LOGO

• 1) Maak een procedure
• To Staaf staaf aantalschijven
• staaf is een waarde 1,2 of 3 (bepaalt de
  positie),
• aantalschijven bepaalt de hoogte van de staaf.

37
Hanoi in LOGO
30
20
15
300
38
Hanoi in LOGO
to staaf staaf aantalschijven setpc 255 0 0
setfc 255 0 0 positie 300(staaf-2) 0 repeat
2 fd 20aantalschijven20 rt 90 fd 30 rt
90 rt 10 fd 5 fill lt 10 end
39
Toevoegen van een Schijf

• To voegtoeSchijf staaf schijf
• staaf De procedure moet weten op welke staaf de
  schijf moet geplaatst worden!
• schijf De procedure moet weten welke schijf
  (grootte) er moet geplaatst worden. 1 is de
  kleinste, 2 is groter, enz...
• De procedure moet nóg iets weten. WAT??? Toch
  kunnen we deze niet meegeven met een parameter.
  WAAROM???

40
Toevoegen van een Schijf

• Oplossing
• We moeten ook weten op welke positie de schijf
  moet getekend worden.

• We moeten dus weten hoe hoog de toren op de staaf
  al is, want de volgende schijf moet daar bovenop
  getekend worden.

• Als we een procedure schrijven om een schijf te
  verplaatsen, dan moet die werken op ieder moment,
  voor om het even welk aantal schijven op de
  staven zitten.

• We moeten de hoogtes van de torens dus bijhouden
  in variabelen.

41
Toevoegen van een Schijf

• Er zijn drie staven. We hebben dus drie
  variabelen nodig!
• Wanneer we een schijf bij een staaf staaf
  toevoegen, moeten we drie IF-structuren schrijven
  om de juiste variabele op te vragen!
• Als we de waarde veranderen, moeten we weer drie
  if-structuren gebruiken!

• Er moet een betere manier zijn... Eén variabele
  een array.

42
Toevoegen van een Schijf

• Make staaf1 0
• Make staaf2 0
• Make staaf3 0
• Bijvoorbeeld er is een schijf toegevoegd
• if (staaf1) make staaf1 staaf11
• if(staaf2) make staaf2 staaf21
• if (staaf3) make staaf3 staaf31

43
Arrays in LOGO

• Een array
• Is één variabele die verschillende items bevat.
  Iedere item heeft een waarde.
• De items staan in een bepaalde volgorde. Het is
  dus een rij van waarden.
• De positie van iedere item in die rij noemen we
  de index.

44
(No Transcript)
45
Arrays in LOGO

• Notatie
• Zo maken we een array
• Make array1 7 8 5 1 vier bepaalde
  elementen
• Make array2 (array 100) honderd onbepaalde
  elementen
• Zo vragen we de waarde van een item op (item 3
  array1) geeft item met index 3 (5)
• Zo veranderen we de waarde van een item setItem
  50 array2 100 zet item 50 op 100

46
Arrays in LOGO

• Make staven 0 0 0
• Bijvoorbeeld er is een schijf toegevoegd
• setItem staaf staven (item staaf staven)1

47
Toevoegen van een schijf

• Schrijf de procedure voegtoeSchijf.
• Maak eerst manueel een array Staven aan, en
  teken drie staven.
• Zorg dat de procedure in elke toestand werkt
• Schrijf de procedure beginSituatie. Deze doet
  hetvolgende
• Tekent 3 staven
• Maakt de array Staven
• Voegt aantalschijven schijven toe

48
Hanoi in LOGO
10 x volgnummer