Curso de Semiconductores reuni

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Curso de Semiconductoresreunión 5
Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr.
Eng. E-mail joseaedo_at_udea.edu.co Departamento de
Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica
- Control Universidad de Antioquia
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Cálculo de la densidad de estados
Si tenemos el diagrama de bandas de energía,
necesitamos saber cuantos estados disponibles
existen en cada banda y si esos estados están
ocupados por electrones o huecos
Cuántos estados por unidad de energía por unidad
de volumen habrán en cada banda ?
Ec
Ev
Para calcular la densidad de estados usaremos el
modelo del electrón libre y se considerará el
efecto del cristal por medio de la masa efectiva.
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Modelo del electrón libre
Consideraremos el modelo del electrón libre en
una caja de potencial Tridimensional (sometido al
principio de exclusión de Pauli) Caso
unidimensional
El electrón esta confinado en una caja de
potencial
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Modelo del electrón libre
Si consideraremos el modelo del electrón libre en
una caja de Potencial Tridimensional (sometido
al principio de exclusión de Pauli)
La energía sería
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Cálculo de la densidad de estados
R2
Si consideramos puntos discretos, el volumen en
este sistema nos establecería una cota superior
sobre el número de puntos Disponibles. Cada
punto es un estado disponible.
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Cálculo de la densidad de estados
n3
El volumen establecido en el primer octante
R
1
n1
1
1
como
n2
Luego
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Cálculo de la densidad de estados
n3
Considerando el volumen igual al número
de Estados N
R
1
Considerando que en cada punto existen dos
estados debido al Spin
n1
1
1
n2
como
Luego
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Cálculo de la densidad de estados
n2
R
1
N es una cota superior para el número de estados
que tienen energía menor o igual a E.
n1
1
1
n2
La densidad de estados por unidad de energía (g)
estará dado por
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Cálculo de la densidad de estados
La densidad de estados por unidad de energía (g)
está dado por
Si dividimos por el volumen (a3) tendremos la
densidad de estados por unidad de energía por
unidad de volumen (g)
Este modelo lo utilizaremos para estimar la
densidad de estados en la banda de conducción y
de valencia. Para tener en cuenta el efecto de
la red cristalina se sustituirá m por m
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Cálculo de la densidad de estados
La densidad de estados por unidad de energía por
unidad de volumen considerando que los electrones
tienen masa efectiva m
N(E)
Observe E -gt 0 entonces N(E) -gt 0
NOTA Este modelo de densidad de estados se
utiliza para modelar los Estados en la banda de
valencia y de la banda de conducción en los
semiconductores.
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Cálculo de la densidad de estados
Modelo de la densidad de estados en la banda de
conducción se utiliza el modelo Del electrón
libre considerando que su masa en el
semiconductor es m. La energía mínima es EC
para los electrones que están en la banda de
conducción
EC
Se debe contabilizar el número de estados de
acuerdo a la energía Usando el modelo del
electrón libre (modificado)
EV
N(E)
EC
EC
Observe Si E -gt EC , (E-EC) -gt 0 Luego N(E)
-gt 0
EV
Válido para E EC
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Cálculo de la densidad de estados
Para el caso de la banda de valencia, los
portadores son los hueco que tienen una masa
efectiva mp
EC
Se debe contabilizar el número de estados de
acuerdo a la energía Usando el mismos modelo
pero considerando los huecos
EV
EC
EV
N(E)
EC
Observe Si E -gt EV , (EV-E) -gt 0 Luego N(E)
-gt 0
E
Válido para E EV
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Semiconductores intrínsecos
Modelo para calcular la densidad de estados en la
banda de conducción
N(E)
N(E)
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Función de distribución de Fermi-Dirac
La función establece la probabilidad que un
estado con energía E esté ocupado si la
temperatura es T
EF es la energía de Fermi K es la constante de
Boltzmann T temperatura absoluta
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Función de distribución de Fermi-Dirac
Energía de Fermi
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Cálculo de la densidad de huecos y electrones
Para hacer más fáciles los cálculos se utiliza la
aproximación de Boltzmann La probabilidad que
un estado esté ocupado El error cometido al
usar esta función con relación a la distribución
de Fermi-Dirac es menor de 5 si E-EF ? 3KT La
probabilidad que esté desocupado El error
cometido al usar esta función con relación a la
distribución de Fermi-Dirac es menor de 5 si
EF-E ? 3KT
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Cálculo de la densidad de huecos y electrones
Para calcular la densidad de portadores se
requiere conocer la densidad de estados
disponible y la probabilidad que estos
estados estén ocupados
Probabilidad que los estados estén desocupados
Densidad de estados para electrones
Probabilidad que los estados estén ocupados
Densidad de estados para huecos
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Cálculo de la densidad de huecos y electrones
Cálculo de la densidad de electrones en la banda
de conducción y de huecos y la banda de valencia
(usando la aproximación de Boltzmann)
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Cálculo de la densidad de huecos y electrones
Resolviendo las integrales anteriores
Densidad efectiva de Estados de conducción
Densidad efectiva de estados de valencia
Se asume que T300K
Semic. NC(cm-3) NV(cm-3) Eg(eV)
Si 3.22x1019 1.83x1019 1.12
Ge 1.03x1019 5.35x1018
0.66 GaAs 4.21x1017 9.52x1018 1.42
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Concentración intrínseca (ni)
Densidad intrínseca (cm-3)
En un semiconductor intrínseco el número
de electrones es igual al número de huecos
n p
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Nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco
El nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco
está localizado muy cerca de la energía de la
mitad del gap de energía Haciendo np se
obtiene
Silicio
EC
Eg/2
mitad
EiEF
Eg/2
EV
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Resumen de las ecuaciones útiles para
semiconductores intrínsecos
Cálculo de la densidad de huecos y electrones
Con
Con
Se asume que Ec EF gt 3 KT o EF - Ev gt 3KT
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Resumen de las ecuaciones útiles para
semiconductoresintrínsecos
Densidad intrínseca
constante
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semiconductor extrínsecos

• Para efectos de modificar ciertas
  características de un semiconductor
• se introducen impurezas átomos diferentes a los
  que constituyen
• la red cristalina.
• Si las impurezas si se introducen en una cantidad
  moderada
• modifican propiedades tales como
• El número de portadores electrones huecos
  disponibles.
• La conductividad del semiconductor ( se estudiará
  en el próximo capítulo)
• - La movilidad de los portadores (se estudiará en
  el próximo capítulo)

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Introducción
Compuesto III-V
puros
Tabla periódica
Fuente Fundamentos de semiconductores
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semiconductores extrínsecos
Se adicionan impurezas átomos de la columna III
(aceptadores)
o de la columna V (donadores) de la tabla
periódica
Se adicionan átomos de fósforo (P) de la columna
V (donadores)
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semiconductores extrínsecos
Impurezas donadoras modifican la cantidad
(aumentan) de electrones
Energía de ionización de los donadores más usados
(silicio) Fósforo 0.044 eV
Arsénico 0.049 eV
Antimonio 0.039 eV
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semiconductores extrínsecos
Se adicionan átomos de boro (B) de la columna III
(aceptadores)
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semiconductores extrínsecos
Impurezas aceptadoras modifican la cantidad
(aumentan) de huecos
Energía de ionización de los aceptadores más
usados (en silicio) Boro
0.045 eV Aluminio 0.057 eV
Galio 0.065 eV
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semiconductores extrínsecos
Densidad de portadores (n0 es la densidad de
electrones y p0 la den- sidad de huecos)
Condición de neutralidad de carga
Densidad de aceptadores densidad de
donadores
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semiconductores extrínsecos
Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas
Asumiendo que ND gt NA la solución será
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semiconductores extrínsecos
Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas
Asumiendo que NA gt ND la solución será
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semiconductores extrínsecos
Caso especial cuando se dopa con donadores ND
únicamente (NA0) Siendo ND gtgt ni
y
Cuando se dopa con aceptadores únicamente con NA
gtgt ni (con ND0)
y
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semiconductores extrínsecos
Caso especial cuando se dopa con donadores ND
únicamente (NA0) Siendo ND gtgt ni
Zona extrínseca
n/ND
1.5
1.0
Zona intrínseca
0.5
100 200 300 400 500 600 700 T (K)
Ejercicio realizar la gráfica ln(n) Vs.
(1/T).
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semiconductores extrínsecos
Cuando se dopa con donadores únicamente con ND
gtgt ni (con NA0)
y
Cuando se dopa con aceptadores únicamente con NA
gtgt ni (con ND0)
y
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semiconductores extrínsecos
Otras expresiones para el cálculo de la densidad
de portadores
Ejercicio Demostrar las expresiones anteriores.
Ver capitulo 3 del libro de Kanann
Kano
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Semiconductores extrínsecos
Nivel de Fermi de los semiconductores
extrínsecos Semiconductor tipo N (únicamente
donadores) Semiconductor tipo P (únicamente
aceptadores)
EC
EF
Ei
Eg/2
EV
EC
Eg/2
Ei
EF
EV