MATH

1
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Vingt-et-unième cours

2
Rappel

• Table damortissement dans le cas où les
  paiements sont égaux et les périodes de
  capitalisation et de paiement ne coïncident pas

3
Rappel

• Table damortissement dans le cas où les
  paiements sont égaux et les périodes de
  capitalisation et de paiement ne coïncident pas
• Fonds damortissement

4
Rappel

• Table damortissement dans le cas où les
  paiements sont égaux et les périodes de
  capitalisation et de paiement ne coïncident pas
• Fonds damortissement
• Montant net du prêt

5
Rappel

• Table damortissement dans le cas où les
  paiements sont égaux et les périodes de
  capitalisation et de paiement ne coïncident pas
• Fonds damortissement
• Montant net du prêt
• Montant net dintérêt payé

6
Pour un prêt remboursé par n paiements égaux pour
lequel les périodes de capitalisation de
lintérêt et de paiement ne coïncident pas. Il
suffit de revenir au principe de base. Deux
options soffrent à nous, soit de convertir le
taux dintérêt à un dont la période de
capitalisation est la période de paiement, soit
de développer la théorie.
Rappel
7
Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au
montant de 1 à la fin de chaque période de
paiement. Supposons quil y a k périodes de
capitalisation dans une période de paiement.
Notons par i le taux dintérêt du prêt par
période de capitalisation et par n la durée du
prêt en période de capitalisation. Le montant
emprunté L est alors
Rappel
8
(No Transcript)
9
Pour un prêt remboursé par des paiements égaux.
Supposons quil y a m périodes de paiement dans
une période de capitalisation. Notons par i le
taux dintérêt du prêt par période de
capitalisation et par n la durée du prêt en
période de capitalisation. Les paiements du prêt
sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le
montant emprunté L est alors
Rappel
10
(No Transcript)
11
Dans certains prêts, lemprunteur verse à
intervalles réguliers lintérêt dû et remboursera
complètement le principal L à léchéance du prêt.
Pour accumuler le montant du prêt à léchéance,
lemprunteur met en place un fonds dans lequel il
dépose à intervalles réguliers des versements de
façon telle quil accumulera le principal L. Ce
fonds est le fonds daccumulation ( sinking
fund ).
Rappel
12
Le montant accumulé dans le fonds peut à tout
moment servir à rembourser une partie du prêt.
Conséquemment le montant net du prêt est le
principal prêté initialement auquel nous
soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.
Rappel
13
Le montant net dintérêt payé pendant une période
est le montant dintérêt, auquel nous soustrayons
lintérêt gagné par le fonds peut à tout moment
servir à rembourser une partie du prêt.
Rappel
14
Considérons un prêt de 1, qui sera remboursé par
un paiement de 1 après n périodes de
capitalisation. Le taux dintérêt est le taux i
par période de capitalisation. Lintérêt est payé
à la fin de chaque période de capitalisation. Au
même moment, un dépôt est fait dans un fonds
rémunéré au taux dintérêt j. Ces dépôts sont
tous égaux et la valeur accumulée est 1 après n
périodes de capitalisation. La période de
capitalisation de lintérêt du fonds est la même
que celle du prêt. Nous obtenons le tableau
suivant.
Rappel
15
(No Transcript)
16
Nous aimerions déterminer le montant total versé
(intérêt et dépôt dans le fonds damortissement)
par lemprunteur à partir du montant emprunté.
17
Notons par
la valeur actuelle dune annuité consistant en
des paiements de 1 à la fin de chaque période
pour n périodes telle que
est le montant dintérêt payé sur le prêt et
est le montant versé dans un fonds à chaque
période.
18
Nous obtenons alors léquation suivante
Conséquemment
19
Exemple 1

• Reprenons lexemple 5 du 20e cours. Un prêt de
  75 000 est remboursé par un versement de 75 000
  après huit ans et des versements annuels
  dintérêt faits à la fin de chaque année pendant
  8 ans. Le taux dintérêt est le taux effectif
  dintérêt i 5 par année. Ainsi lemprunteur
  paiera 3750 dintérêt par année. Un fonds
  damortissement est mis en place pour accumuler
  le 75 000 à la fin de la huitième année. Ce
  fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j
  3 par année. Des dépôts de 8434.23 dollars
  seront faits à la fin de chaque année pendant 8
  ans. Ainsi à chaque année, lemprunteur versera
  12184.23 correspondant à lintérêt sur le prêt
  et au dépôt dans le fonds.

20
Exemple 1 (suite)

• Si nous utilisons maintenant ce que nous venons
  de développer et que nous notons par R le
  montant total à verser par lemprunteur à chaque
  année pour lintérêt dû et le dépôt dans le fonds
  damortissement, alors nous avons léquation de
  valeur

Nous obtenons alors
21
Nous obtenons alors
Donc R 12 184.23.
22
Dans le cas où le taux dintérêt dun prêt i est
égale au taux dintérêt du fonds damortissement
j, alors la table damortissement dun prêt au
taux dintérêt i et dont les paiements sont égaux
est la même que celle du fonds damortissement
pour un prêt au taux dintérêt i et dun fonds
damortissement rémunéré au taux i et dont les
paiements dintérêt et les dépôts dans le fonds
damortissement sont égaux. Nous avons les
égalités suivantes
23
Le montant net dintérêt payé à la fin de la ke
période dans le cas du fonds damortissement est
égal à la portion dintérêt payé dans le ke
paiement dans la table damortissement du prêt.
24
Le montant net du prêt après le ke dépôt dans le
cas du fonds damortissement est égal au solde
restant après le ke paiement dans la table
damortissement.
25
Si i j, nous avons aussi que
et le total versé (intérêt dû et dépôt dans le
fonds damortissement) dans le cas du fonds
damortissement est égal au paiement dans le cas
de la table damortissement.
26
Nous pouvons maintenant expliquer la formule
À droite, il sagit du total versé (intérêt dû et
dépôt dans le fonds damortissement) dans le cas
du fonds damortissement et, à gauche, du
paiement dans le cas de la table damortissement.
27
Nous allons maintenant illustrer cette
équivalence entre la table damortissement dun
prêt et celle dun fonds damortissement lorsque
i j.
28
Exemple 2

• Considérons un prêt de 10 000 remboursé par 4
  versement égaux à la fin de chaque année, le
  premier versement étant fait un an après le prêt.
  Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt
  i 6 par année. Ainsi lemprunteur paiera
  2885.91 par année. La table damortissement est

29
Exemple 2 (suite)
Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant
0 10 000
1 2885.91 600 2285.91 7714.09
2 2885.91 462.85 2423.06 5291.03
3 2885.91 317.46 2568.45 2722.58
4 2885.91 163.35 2722.56 0
30
Exemple 2 (suite)

• Considérons maintenant un prêt de 10 000
  remboursé par un versement de 10000 à la fin de
  la quatrième année. À la fin de chaque année,
  lintérêt dû est payé au taux dintérêt de i 6
  par année, à savoir 600 sont payés. Au même
  moment, des dépôts de 2285.91 sont faits dans
  un fonds damortissement. Ce dernier est rémunéré
  au taux effectif dintérêt i 6 par année.
  Ainsi lemprunteur paiera au total 2885.91 par
  année. La table de ce fonds est

31
Période Intérêt payé Versement dans le fonds Intérêt gagné par le fonds Intérêt net Valeur accumulée Montant net du prêt
0 10000
1 600 2285.91 0 600 2285.91 7714.09
2 600 2285.91 137.15 462.85 4708.97 5291.03
3 600 2285.91 282.54 317.46 7277.42 2722.58
4 600 2285.91 436.65 163.35 9999.98 0
32
Exemple 3

• Un prêt de 5 000 000 est remboursé par un
  versement de 5 000 000 après dix ans et des
  versements annuels dintérêt faits à la fin de
  chaque année pendant 10 ans. Le taux dintérêt
  est le taux effectif dintérêt i 4 par année.
  Un fonds damortissement est mis en place pour
  accumuler le 5 000 000 à la fin de la dixième
  année. Ce fonds est rémunéré au taux effectif
  dintérêt j 3 par année. Les dépôts seront
  faits à la fin de chaque année pendant 10 ans, le
  premier est de R dollars et les paiements
  subséquents augmenteront de 5 avec chaque année.

33
Exemple 3 (suite)
Ainsi lemprunteur paiera 5 000 000 (0.04) 200
000 dintérêt par année. Déterminons le
montant net du prêt après le 6e année, ainsi que
le montant net dintérêt payé à la fin de la 8e
année.
34
Exemple 3 (suite)

• Déterminons premièrement R. Les dépôts dans le
  fonds forment une suite géométrique et nous avons
  alors

et nous obtenons alors que R 350 903.98
35
Exemple 3 (suite)

• Le montant net du prêt est le montant emprunté,
  i.e. 5 000 000, auquel nous soustrayons le
  montant accumulé dans le fonds damortissement.
  Donc le montant net du prêt à la fin de la 6e
  année est

36
Exemple 3 (suite)

• Le montant net dintérêt payé est le montant
  dintérêt , i.e. 200 000, auquel nous
  soustrayons le montant dintérêt gagné par le
  fonds damortissement pendant la période. Donc le
  montant net dintérêt payé à la fin de la 8e
  année est

37
CHAPITRE VIIObligations
38
Une obligation est un titre rapportant de
lintérêt et dans lequel lemprunteur, appelé
lémetteur, sengage à verser un montant
déterminé à une date future aux prêteurs,
appelés les souscripteurs. Les obligations
dépargne sont des obligations de capitalisation
ou daccumulation. Lemprunteur rembourse le
principal et les intérêts à léchéance ou parfois
au moment où le souscripteur veut être remboursé.
39
Nous allons maintenant décrire ce quest une
obligation négociable. Lémetteur sengage à
verser de lintérêt à intervalles réguliers et à
rembourser un montant déterminé à une date
future aux souscripteurs. Celles-ci sont émises
dans un marché primaire et ensuite sont
transigées sur un marché secondaire. Un
investisseur peut acheter ou vendre des
obligations via son courtier sur le marché
secondaire.
40
Ces obligation sont souvent dites obligations
avec coupon. Lémetteur sengage à verser aux
souscripteurs lintérêt à intervalles réguliers
(ce sont les coupons) et la valeur de
remboursement de lobligation à une date
déchéance déterminée.
41
Nous voulons maintenant relier le prix de
lobligation à son taux de rendement. Il nous
faut donc fixer quelques notations.
42
Notation

• P désignera le prix de lobligation. Cest ce que
  paie le souscripteur

43
Notation

• P désignera le prix de lobligation. Cest ce que
  paie le souscripteur
• F désignera la valeur nominale de lobligation
  ( face amount  ou  par value  en anglais). Il
  sagit de la valeur inscrite sur lobligation et
  qui sert à déterminer le montant dintérêt à
  verser régulièrement.

44
Notation

• P désignera le prix de lobligation. Cest ce que
  paie le souscripteur
• F désignera la valeur nominale de lobligation
  ( face amount  ou  par value  en anglais). Il
  sagit de la valeur inscrite sur lobligation et
  qui sert à déterminer le montant dintérêt à
  verser régulièrement.
• C désignera la valeur de remboursement, i.e. le
  montant remboursé à léchéance. En général, C F
  et nous disons que lobligation est remboursé au
  pair. Il peut arriver que C ? F.

45
Notation (suite)

• r est le taux dintérêt par période de
  capitalisation de lintérêt (ou encore par
  période de paiement des coupons). Cest le taux
  facial. Il est indiqué sur lobligation et sert à
  déterminer le montant dintérêt que lémetteur
  doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce
  peut être un taux nominal. En Amérique du Nord,
  ce taux est souvent un taux nominal capitalisé
  semestriellement, alors quen Europe il sagit
  plutôt dun taux effectif.

46
Notation (suite)

• r est le taux dintérêt par période de
  capitalisation de lintérêt (ou encore par
  période de paiement des coupons). Cest le taux
  facial. Il est indiqué sur lobligation et sert à
  déterminer le montant dintérêt que lémetteur
  doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce
  peut être un taux nominal. En Amérique du Nord,
  ce taux est souvent un taux nominal capitalisé
  semestriellement, alors quen Europe il sagit
  plutôt dun taux effectif.
• Fr est le montant dintérêt versé périodiquement.
  Ce montant est appelé le coupon.

47
Notation (suite)

• g est le taux modifié dintérêt par période de
  capitalisation de lintérêt (ou encore par
  période de paiement des coupons). g est défini
  par léquation Cg Fr. Si lobligation est
  remboursé au pair, alors g r.

48
Notation (suite)

• g est le taux modifié dintérêt par période de
  capitalisation de lintérêt (ou encore par
  période de paiement des coupons). g est défini
  par léquation Cg Fr. Si lobligation est
  remboursé au pair, alors g r.
• i désignera le taux de rendement de lobligation
  par période de paiement des coupons en supposant
  que lobligation est détenue jusquà sa date de
  maturité ou de rédemption et que les versements
  de lintérêt (i.e. les coupons) sont réinvestis
  aussi au taux i. En général, ce taux est exprimé
  comme un taux nominal pour lequel la période de
  capitalisation est celle des coupons.

49
Notation (suite)

• n est le durée de vie de lobligation, i.e. le
  nombre de périodes de capitalisation du taux de
  rendement jusquà la date de maturité ou de
  rédemption de lobligation. Nous supposerons
  premièrement que n est bien déterminé. Nous
  discuterons plus tard le cas des obligations
  rachetables ( callable bonds ) . Dans ce
  dernier cas, il y a des dates possibles de rachat
  par lémetteur de lobligation. Ceci aura aussi
  des incidences sur le taux de rendement.

50
Notation (suite)

• n est le durée de vie de lobligation, i.e. le
  nombre de périodes de capitalisation du taux de
  rendement jusquà la date de maturité ou de
  rédemption de lobligation. Nous supposerons
  premièrement que n est bien déterminé. Nous
  discuterons plus tard le cas des obligations
  rachetables ( callable bonds ) . Dans ce
  dernier cas, il y a des dates possibles de rachat
  par lémetteur de lobligation. Ceci aura aussi
  des incidences sur le taux de rendement.
• K désignera la valeur actuelle de la valeur de
  remboursement C de lobligation à la date de
  maturité ou de rédemption calculée au taux de
  rendement i, cest-à-dire K C?n où ? (1
  i)-1.

51
Notation (suite)

• G est le montant de base de lobligation, i.e. le
  montant qui investit au taux de rendement i
  engendre les mêmes coupons. Donc G est défini par
  Gi Fr.

52
Pour une obligation, F, C, r et n sont fixés. Le
prix P et le taux de rendement i varient selon
les conditions du marché. Intuitivement si P
augmente, alors i diminue et inversement si P
diminue, alors i augmente.
53
La formule basique reliant le prix P et le taux
de rendement i immédiatement après le paiement
dun coupon est
ou encore