Tarea de Modelos Ocultos de Markov

1
Tarea de Modelos Ocultos de Markov

• Alberto Reyes B.
• 00377984

2

• Calcular la probabilidad de la secuencia AASS
  para el siguiente modelo por (a) Metodo directo
  (b) Metodo iterativo.

? 0.5, 0.5
Probabilidad inicial del estado
0.5 0.5
0.5 0.5
Probabilidad de transición entre estados
A
M1 0.8 A M2 0.8 S q1 lanzar M1 q2 lanzar M2
0.8 0.2
0.2 0.8
Probabilidad de la observación dado el estado
B
3
d. Estimar el estado mas probable. Esta dado por
qt arg max?t(i). Las ?s son las probabilidades
de estar en el estado Si en el tiempo t dada la
secuencia O y el modelo. Y se expresan como
4
Entonces primero calculamos las variables
backward ?4(q1) ?4(q2) 1 (inicializacion) ?4(i)
? aijbj(Ot1) ?t1(j) Para t3 ?3(q1)
aq1q1bq1(O4) ?4(q1) aq1q2bq2(O4) ?4(q2)
(0.5)(0.2)(1) (0.5)(0.8)(1) 0.5
j
5
?3(q2) aq2q1bq1(O4) ?4(q1) aq2q2bq2(O4)
?4(q2) (0.5)(0.2)(1) (0.5)(0.8)(1) 0.5 Para
t2 ?2(q1) aq1q1bq1(O3) ?3(q1) aq1q2bq2(O3)
?3(q2) (0.5)(0.2)(0.5) (0.5)(0.8)(0.5)
0.25 ?2(q2) aq2q1bq1(O3) ?3(q1) aq2q2bq2(O3)
?3(q2) (0.5)(0.2)(0.5) (0.5)(0.8)(0.5) 0.25
6
Para t1 ?1(q1) aq1q1bq1(O2) ?2(q1)
aq1q2bq2(O2) ?2(q2) (0.5)(0.8)(0.25)
(0.5)(0.2)(0.25) 0.125 ?1(q2) aq2q1bq1(O2)
?2(q1) aq2q2bq2(O2) ?2(q2) (0.5)(0.8)(0.25)
(0.5)(0.2)(0.25) 0.125 Dado que ya tenemos las
alfas y betas ahora podemos calcular las
probabilidades de estar en un estado, ?s.
7
Para t1 ?1(q1) ?1(q1) ?1(q1) /?1(q1) ?1(q1)
?1(q2) ?1(q2) (0.4) (0.125)/
(0.4)(0.125)(0.1)(0.125)0.8 ?1(q2) ?1(q2)
?1(q2) /?1(q1) ?1(q1) ?1(q2) ?1(q2) (0.1)
(0.125)/ (0.4)(0.125)(0.1)(0.125) 0.2 Para
t2 ?2(q1) ?2(q1) ?2(q1) /?2(q1) ?2(q1)
?2(q2) ?2(q2) (0.2) (0.25)/
(0.2)(0.25)(0.05)(0.25)0.8 ?2(q2) ?2(q2)
?2(q2) /?2(q1) ?2(q1) ?2(q2) ?2(q2) (0.05)
(0.25)/ (0.2)(0.25)(0.05)(0.25 )0.2
8
Para t3 ?3(q1) ?3(q1) ?3(q1) /?3(q1) ?3(q1)
?3(q2) ?3(q2) (0.025) (0.5)/
(0.025)(0.5)(0.1)(0.5)0.2 ?3(q2) ?3(q2)
?3(q2) /?3(q1) ?3(q1) ?3(q2) ?3(q2) (0.1)
(0.5)/ (0.025)(0.5)(0.1)(0.5) 0.8 Para
t4 ?4(q1) ?4(q1) ?4(q1) /?4(q1) ?4(q1)
?4(q2) ?4(q2) (0.0125) (1)/
(0.0125)(1)(0.05)(1)0.2 ?4(q2) ?4(q2) ?4(q2)
/?4(q1) ?4(q1) ?4(q2) ?4(q2) (0.05) (1)/
(0.0125)(1)(0.05)(1) 0.8
9
qt arg max?t(i) qt1 q1 qt2 q1 qt3
q2 qt4 q2
10
e. Estimar la secuencia de estados mas probable
(algo. de Viterbi) Inicializacion ?t(i) ?i
bi(O1) ?t(i)0 ?1(q1) ?q1 bq1(O1) (0.5) (0.8)
0.4 ?1(q2) ?q2 bq2(O1) (0.5) (0.2)
0.1 ?1(q1) ?1(q2) 0
11
?t(j) max ?t-1(i) aij bj(Ot) Recursion ?t(j)
arg max ?t-1(i) aij ?2(q1) max ?1(q1) aq1q1,
?1(q2) aq2q1 bq1(O2) max(0.4)(0.5),
(0.1)(0.5) (0.8) (0.2)(0.8)0.16 ?2(q2) max
?1(q1) aq1q2, ?1(q2) aq2q2 bq2(O2)
max(0.4)(0.5), (0.1)(0.5) (0.2)
(0.2)(0.2)0.04 ?2(q1) arg max (?1(q1) aq1q1,
?1(q2) aq2q1 arg max (0.4)(0.5), (0.1)(0.5)
q1 ?2(q2) arg max ?1(q1) aq1q2, ?1(q2) aq2q2
arg max (0.4)(0.5), (0.1)(0.5) q1
i
i
12
?3(q1) max ?2(q1) aq1q1, ?2(q2) aq2q1
bq1(O3) max(0.16)(0.5), (0.04)(0.5)(0.2)
(0.16)(0.5)(0.2)0.016 ?3(q2) max ?2(q1) aq1q2,
?2(q2) aq2q2 bq2(O3) max(0.16)(0.5),
(0.04)(0.5)(0.8) (0.16)(0.5)(0.8)0.064 ?3(q1)
arg max ?2(q1) aq1q1, ?2(q2) aq2q1 arg max
(0.16)(0.5), (0.04)(0.5)q1 ?3(q2) arg max
?2(q1) aq1q2, ?2(q2) aq2q2 arg
max(0.16)(0.5), (0.04)(0.5) q1
13
?4(q1) max ?3(q1) aq1q1, ?3(q2) aq2q1
bq1(O4) max(0.016)(0.5), (0.064)(0.5)(0.2)
(0.064)(0.5)(0.2) 0.0064 ?4(q2) max ?3(q1)
aq1q2, ?3(q2) aq2q2 bq2(O4) max(0.016)(0.5),
(0.064)(0.5)(0.8) (0.064)(0.5)(0.8)0.0256 ?4(q1
) arg max ?3(q1) aq1q1, ?3(q2) aq2q1 arg max
(0.016)(0.5), (0.064)(0.5)q2 ?4(q2) arg max
?3(q1) aq1q2, ?3(q2) aq2q2 arg
max(0.016)(0.5), (0.064)(0.5)q2
14
P max ?T(i) Terminacion qT arg max
?T(i) P max ?4(q1), ?4(q2) 0.0256 q4 arg
max?4(q1), ?4(q2) q2 qt ?t1(qt1) Path
backtraking q3 ?4(q4) ?4(q2) q2 q2
?3(q3) ?3(q2) q1 q1 ?3(q3) ?3(q1)
q1 Secuencia mas probable q1, q1, q2, q2