BAB 6 PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA

1
BAB 6PEMBEZAAN DAN PENGAMIRAN BERANGKA

• PEMBEZAAN BERANGKA
• TERBITAN PERTAMA
• TERBITAN KEDUA
• PENGAMIRAN BERANGKA
• PETUA TRAPEZIUM
• PETUA SIMPSON
• KAMIRAN ROMBERG
• KUADRATUR GAUSS

2
PEMBEZAAN BERANGKA

• Tujuan Penggunaan
• mendptkan terbitan
• bg fungsi f(x) yg agak sukar
• fungsi f(x) tidak diketahui dan hanya di beri
  maklumatnya dlm bentuk jadual (set data)
• Jenis Pembezaan
• Terbitan Pertama
• Terbitan Kedua
• Jenis Kaedah yg digunakan
• Terbitan Pertama
• Rumus Beza Depan,Beza Belakang (n2,n3,n5)
• Rumus Beza Tengah (n3,n5)
• Terbitan Kedua
• Rumus Beza Tengah (n3,n5)

3
TERBITAN PERTAMA

• n2
• Rumus Beza Depan
• Rumus Beza Belakang

4
contoh

• i 0 1 2 3
• x 0.5 1.0 1.5 2.0
• f 0.25 1.0 2.25 4.0
• Dapatkan f(1.0) dgn h 0.5 menggunakan rumus
  beza depan 2 titik dan beza belakang 2 titik.

Penyelesaian Rumus beza depan 2 titik f(x)
f(xh) f(x) ?f(1.0) f(1.5) f(1.0)
h 0.5
5
f(1.0) 2.25 1.0 0.5 2.5 Rumus beza
belakang 2 titik f(x) f(x) f(x-h) ?f(1.0)
f(1.0) f(0.5) h 0.5 f(1.0) 1.0
0.25 0.5 1.5
6
TERBITAN PERTAMA

• n3
• Rumus Beza Depan
• Rumus Beza Belakang
• Rumus Beza Tengah

7
contoh
i 0 1 2 3 4 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f 0 0.25 1.0 2.25 4.0 Dapatkan f(1.0) dgn
h 0.5 menggunakan rumus beza depan 3 titik dan
beza belakang 3 titik.
Penyelesaian Rumus beza depan 3 titik f(x)
1 -3f(x)4f(xh)- f(x2h) 2h
8
f(1.0) 1 (-3(1.0) 4(2.25) 4.0 2(0.5)
2.0 Rumus beza belakang 2 titik f(x) 1
3f(x)- 4f(x-h) f(x-2h) 2h f(1.0) 1
(3(1.0) -4(0.25) 0.0) 2(0.5) 2.0
9
TERBITAN PERTAMA

• n5
• Rumus Beza Tengah
• Rumus Beza Depan

10
TERBITAN KEDUA

• n3
• Rumus Beza Tengah
• n5
• Rumus Beza Tengah

11
contoh
Diberi f(x) x3, dapatkan f(2.0) dengan h 0.1
menggunakan rumus beza depan 2 titik 3 titik
Penyelesaian Buat jadual sendiri utk nilai x yg
berkaitan. I 0 1 2 X 2.0 2.1 2.2 F
12
PENGAMIRAN BERANGKA (KUADRATUR)

• Pengamiran tentu f(x) berbentuk
• Tujuan
• mendptkan kamiran
• bg fungsi kamiran f(x) yg agak sukar
• fungsi kamiran f(x) tidak diketahui dan hanya di
  beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data)

13

• Jika f(x) adalah fungsi selanjar pd selang a,b
  maka kamiran tentu mewakili luas di bawah graf
  yf(x) yg dibatasi oleh paksi x, garis xa dan
  garis xb

yf(x)
a
b
14

• Kaedah yg akan dibincangkan merupakan kaedah utk
  menganggarkan luas tersebut sbg penghampiran kpd
• kaedah yg selalu digunakan ialah
• Kaedah Newton-Cotes. Terdiri drpd
• Petua Trapezium
• Petua Simpson
• Kamiran Romberg
• Kuadratur Gaussan

15

• Jika dlm kaedah interpolasi, f(x) dpt dihampiri
  dgn polinomial penghampiran Pn(x), maka dgn
  pengamiran tentu
• dpt dihampiri olh
• utk sebarang sub selang di dlm
  selang a,b
• Penghampiran ini menjadi hampir tepat jika ralat
  ef(x)-pn(x) di dlm selang (xk,xk1) cukup
  kecil

16
PETUA TRAPEZIUM

• Rumus Petua Trapezium

17
PETUA TRAPEZIUM
yf(x)
a
b

• Menggunakan penghampiran polinomial interpolasi
  linear p1(x) atau garis lurus terhadap fungsi
  f(x) yg hendak dikamirkan
• Rumus Petua Trapezium gubahan dgn n sub selang

18
contoh
2
Nilaikan kamiran x3 1.dx dengan bilangan
selang,N4. Gunakan petua trapezium
1
Penyelesaian N4, a1, b 2 N(b-a)/h ? h
(b-a)/N h (2-1)/4 h 0.25 Bina
jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x
1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594
9
19
Gunakan rumus trapezium bg n sub-selang hf0 f4
2(f1f2f3) 2 0.25 2 9 2(2.9531 4.375
6.3594) 2 4.7969
20
PETUA SIMPSON

• Ia menggunakan penghampiran interpolasi kuadratik
  P2(x) (atau parabola) terhadap fungsi f(x) yg
  hendak dikamirkan
• Rumus Petua Simpson
• Rumus Petua Gubahan Simpson
• Ada 2 jenis
• Gubahan satu-pertiga
• Gubahan tiga-perlapan

21

• Rumus Petua Gubahan Simpson satu-pertiga
• Rumus Petua Gubahan Simpson tiga-perlapan

N/3
(N/3)-1
22
contoh
2
Nilaikan kamiran x3 1.dx dengan bilangan
selang,N4. Gunakan petua SIMPSON 1/3
1
Penyelesaian N4, a1, b 2 N(b-a)/h ? h
(b-a)/N h (2-1)/4 h 0.25 Bina
jadual bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 4 x
1 1.25 1.5 1.75 2 f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594
9
23
Gunakan rumus SIMPSON 1/3 bg 4 sub-selang hf0
f3 4(f1)2(f2) 3 0.25 2 9 4(2.9531
6.3594)2(4.375) 3 4.75
24
contoh
Nilaikan kamiran x3 1.dx dengan bilangan
selang,N3. Gunakan petua SIMPSON 3/8
Penyelesaian N3, a1, b 2 N(b-a)/h ? h
(b-a)/N h (2-1)/3 0.333 Bina jadual
bagi nilai yang diperlukan k 0 1 2 3 x 1 1.3333
1.6667 2 f(x) 2 3.3702 5.6299 9
25
Gunakan rumus SIMPSON 3/8 bg 3 sub-selang 3hf0
f4 3 (f1f2) 8 3(0.3333) 2 9 3(3.3702
5.6299) ) 8 4.7496
26
KAMIRAN ROMBERG

• Berdasarkan kaedah ekstrapolasi Richardson dan
  penggunaan Petua Trapezium sbg penghampiran awal
• Penyelesaian adalah dgn mendapatkan nilai bagi
  Ri,1 dan seterusnya Ri,j
• Susunan nilai yg dikira digambarkan seperti rajah
  berikut.
• Kiraan ditamatkan apabila bagi
  suatu nilai ? yang ditetapkan dan ambil
• sebagai penghampiran
  terbaik
  
  
  
  
  

27

• Rumus Romberg bg mendptkan Ri,1
• Rumus Romberg bg mendptkan Ri,j
• Penggunaan Kamiran Romberg tidak melibatkan
  kiraan yg rumit tetapi hanya menggunakan nilai
  sebelum utk mendapatkan nilai yg baru

28
yf(x)
a
b
R 2,1
R 2,2
h3
R 3,1
R3,2
R 3,3
3
29
KUADRATUR GAUSSAN

• Rumus Newton-Cotes dan Kamiran Romberg diperolehi
  berdasarkan beza antara x yang seragam.
• Tetapi penghampiran pengamiran menjadi lebih
  tepat jika titik sampling (x) yg bersesuaian
  dipilih. (beza selang mungkin tidak seragam)
• Justeru itu kaedah kaudaratur gaussan memenuhi
  penyelesaian ini.

30
ilustrasi
f(b)
f(a)
a
b
petua trapezium
Petua gauss
31

• Bentuk am rumus kuadratur gauss

Nilai ? dan x bergantung kepada nilai n
Ketepatan nilai hampiran bergantung kpd
polinomial berdarjah paling tinggi 2n-1
Jika n 2 ( 2 titik), rumus tersebut adalah
Polinomial paling tinggi berdarjah 3 dpt
digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t)
1, t, t2, t3 kita perolehi
32
? ?1 ?2 2
? ?1 x1 ?2 x2 0
? ?1 x12 ?2 x22 2/3
? ?1 x13 ?2 x23 0
33
Diperolehi ?1 ?2 1 X1 -1/?3 -0.5774 X2
1/?3 0.5774
Maka rumus kuadratur Gauss 2 titik ialah
1
ò

)
(
)
(
-0.5774) f(0.5774)
f
dt
t
f
-
1
f(1/?3)
f(-1/?3)
-1/?3
-1/?3
-1
1
0
34

• Perhatikan, batas dalam rumus diatas ialah -1,
  1. Jika diberi masalah dalam sebarang batas a,
  b. Penukaran batas perlu dilakukan dari a, b
  -? -1, 1 seperti berikut-

35
Contoh Nilaikan ex .dx dengan menggunakan
kamiran gauss 2 titik
0.3
ò
0.1
Penyelesaian

• tukarkan batas
• a 0.1, b 0.3 ? x b-a t ba
• 2 2
• ? x (0.2/2)t (0.4/2)
• ? x 0.1 t 0.2
• dx ((b-a)/2) dt ? 0.1dt
• Gantikan ke dalam persamaan
• f(x) .dx ? 0.1 f(0.1t0.2).dt

1
0.3
ò
ò
-1
0.1
36
Guna rumus gauss 2 titik
0.2447
37
Rumus Kuadratur Gauss 3 titik
Rumus diperolehi sama seperti sebelum ini
Polinomial paling tinggi berdarjah 5 (2n-1) dpt
digunakan sebagai penghampiran Dgn mengambil f(t)
1, t, t2, t3,t4, t5 kita perolehi
1
3
å
ò

?1f(x1) ?2f(x2) ?3f(x3)
)
(
)
(
x
f
?
dt
t
f
i
i

1
i
-
1
?1 ?3 5/9 0.5556 , ?2 8/9 0.8889 -x1 x3
?3/?5 0.7746 , x2 0