Diapositiva 1

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Integrales
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables
del sistema
2
Habilidades

• Representa puntos del plano en coordenadas
  polares.
• Reconoce las diferentes formas de expresar un
  punto en coordenadas polares.
• Deduce la relación entre el sistema cartesiano y
  el sistema polar.
• Reconoce y grafica ciertas curvas notables en
  coordenadas polares.

3
Sistema de coordenadas Polares
Imaginemos que se quiere determinar el área de un
placa delgada limitad por las ecuaciones
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Problema

• Una piscina tiene una sección que sigue el perfil
  de la región interior a la cardioide
  y exterior a la curva . Si r
  está dado en metros, calcule la cantidad de
  agua necesaria para llenar la piscina hasta una
  profundidad de 1,5m.

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Coordenadas Polares (r ?) de un Punto P
Emplea distancias y direcciones.
r es la distancia de O a P.
P
(r, ?)
? es el ángulo entre el eje polar y el segmento
OP.
r
?
? es positivo si se mide en dirección contraria a
las manecillas del reloj.
0
Eje Polar
Polo
? en radianes.
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Coordenadas Polares (r ?) de un Punto P

• Cuando medimos en la dirección dada por ?,
  contraria al segmento OP, podemos escribir -r,
  luego Q(-r ?) Q(r ? ?) se define como el
  punto que se encuentra a r unidades del polo en
  la dirección opuesta a la que da ?.

Q(-r,?)
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En el sistema coordenado cartesiano, todo punto
tiene sólo una representación.

• En coordenadas polares cada punto tiene muchas
  representaciones

Es decir, el punto en coordenadas polares (r ?),
se representa también por

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Conexión entre el sistema Polar y el sistema
cartesiano
De la grafica observe que
Si P es un punto cuyas coordenadas polares son
(r ?) entonces, las coordenadas rectangulares
(x y) de P serán
Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas
cartesianas de un punto cuando se conocen
las coordenadas polares.
Para hallar las coordenadas r y ? cuando se
conocen x e y, se usan las ecuaciones
Si x0, el ángulo es ?/2 ó - ?/2, según sea ygt0 ó
ylt0
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Gráficas de Ecuaciones Polares
La grafica de una ecuación polar r f(?), o de
manera más general F(r ?), consta de los puntos
P que tienen al menos una representación polar
(r ?) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Ejemplo Trace la gráfica de la ecuación r 3
x2 y2 9
10
Ejemplo
Identificar y hacer la gráfica de la ecuación q
p/4
y

• q p/4
• tan q tan(p/4)

q p/2
q p/4
q 3p/4
x
q p
q 0
0
1 2 3 4 5
q 7p/4
q 5p/4
q 3p/2
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La gráfica pasa por el polo?

1. Resuelve f(?) 0.
2. Si existe al menos un valor para el ángulo ?, la
   gráfica sí pasa por el polo (0 ?).

• Cuales de las siguientes gráficas cuyas
  ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?
• r 2 sen?
• r 2 sen?

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Simetría

1. Si una ecuación no cambia al sustituir ? por ?,
   la gráfica es simétrica respecto al eje polar

1. Si una ecuación no cambia al sustituir r por r,
   la gráfica es simétrica respecto al polo.

1. Si una ecuación no cambia al sustituir ? por ?
   ?, la gráfica es simétrica respecto a la recta
   vertical q ?/2 (eje y)

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Algunas curvas polares comunes

• Círculos

Cardiodes
En general, la gráfica de cualquier ecuación de
la forma
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Encontrar el área de la región R que se encuentra
fuera de la curva
.
y dentro de la curva
.
15
Calcula el área de la región interna a las
curvas
y
16
Bibliografía
Cálculo de una variable
Sexta edición
James Stewart
Ejercicios 10.3 Pág. 647 648 2, 4, 6, 8, 16,
18, 24, 30 y 32.