Combinatorics ??????????????

1
Combinatorics ??????????????
2
Combinatorics

• ????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????? Discrete mathematics
• ??????????????
• ??????????????????? (Sum and Product Rules)
• ?????????? (Pigeonhole Principle)
• Inclusion and Exclusion
• Permutation
• Combination

3
????????????????

• ??????????????????????????????????????????
  ?????????????????????? ???????????????????????????
  ???????? ???????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????
  ????????????????????????????????
• ???????? ????? ?????????????????????????????????
  ??????????????????????????? ??????????????????????
  ?????????????????? ??????????? ???????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????

4
Tree Diagrams
2x3 6 3x2
5
????????????????

• ???????????????????? ????????????????????????
  ??????????????????? ??????????????????????????????
  ?????????
• ???????? (Product Rule) ??????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????
  ????????????????? n1 ???? ?????????????????????
  n2 ???? ???????????????????????????????????????
  ????????????????????????????????????? n1n2 ????
• ???????? (Sum Rule) ??? A ??? B
  ??????????????????????????????????????????? (A?B
  ?) ????????????????? A ?? n1 ?????????????????
  B ?? n2 ???????? ?????????????????????????????????
  ?????????????????????????????? A ??? B ??? n1
  n2

6
???????? ???????? k ??????????????????????????????
???????
?????? ?????????????? k 0 ?????? k
????????????????? 1 ?????????????????????????????
???????? ?????? k ??? n1n2n3... nm

• k 0
• for i1 1 to n1
• for i2 1 to n2
• for im 1 to nm
• k k 1

k n1n2n3... nm
7
???????? ???????? k ??????????????????????????????
???????
?????? ??????? i1 ????????????? n1 ????? k n1
??????????? i2 ??????? n2 ????? k
???????????????? n2 ?????????????????? n2 ???????
k n1 n2
??????????????????????????? im
????????????????????? k n1 n2 ... nm

• k 0
• for i1 1 to n1
• k k 1
• for i2 1 to n2
• k k 1
• for im 1 to nm
• k k 1

8
???????????????????????????

• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????????????????
• ???????? ????????????????????? ???????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????? (Alphanumeric characters)
  ??????????????????????????????????????????????????
  ?????? ???????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????????? ???????????????????????????
  ?????????????????????????????????????????(????????
  ???????????????????)

9
???????? ?????????????????????????????
??? V ????????????????????????????????????????????
????????? ???? V1 ???????????????????????????????
?????????????????? ??? V2 ???????????????????????
???????????????????????? ????????????????????????
??????????? V V1 V2
V1 26
V2 26?36 5 931
V V1 V2 26 931 957 ??????
10
????????????????????

• ??????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????????????????? ????????????????????
  ?????????????????
• ???????? ?????????????????????????????????????????
  (Head H) ?????? (Tail T) ??????????????????????
  ???????? ???????????????????????????
• ?????? ????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????
  ?????????????????????????? ???????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  13 ?????

11
?????????????????????????????????????????????
12
?????????????(Inclusion)-??????(Exclusion)

• ??????????????????????????????????? ?????????? A
  ??? B ?????????????? ??????????????????? S
  ??????? AB, BA ??? A?B ?????????????????????????
  (?????)
• ??? x?AB ??????? x?B ??????????? x?BA ??? x?A?B
  
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????

13
??????????????????????????????????

• ?????????????????????????

????????????????????????????????????? (1)
??????????
14
?????????????????????-?????????????????????

• ???????? ?????????????????????????????????????????
  ?? 35 ?? ?????????????????????????????????????????
  ???????????? ????????????????????? 14
  ??????????????? 1 ??? 26 ??????????????????
  ????????????????????????????????????????
• ?????? ????????? A ???????????????????????????????
  ??? B ?????????????????????????????
  ??????????????????

??????????????????????
15
?????????????-???????????????

• ??????????? (2) ??????????????????????????????????
  ??????????????? ???????????

????????????????????????????????????????????????
????????
16
?????????????-????????? n ???

• ????? n ???????????????????????????????????
  ?????????????????? ???????????????????????????????
  ?????????????? ???????????????????????????????????
  ????????????? ????????????????????????????????????
  ?????????????????? ???????????????????????? ?????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????

17
?????????????? (Pigeonhole principle)

• ????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????????
  (Existence) ????????????????? ????????????????????
  ??????????????????? ??????????????????????????????
  ????????????????? ????????????????????????????????
  ???????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????????? ?????????????????????
  ????? ????????????????????????????????????????????
  ??????????? ??????????????????????????????????
  ??????????????????????? ??????????????????????????
  ????????????????????????? (Ramsey Theory)

18
??????????????

• ????????? ??? Pigeonhole Principle
• Shoebox Principle
• Dirichlet Drawer Principle ???????????????? 19
  Diriechlet ???????????????????????????????????
• ??????? ?????????????? ???????????? k1 ???
  ???????????????????? k ??? ???????????????????????
  ????????????????????????????????????
• ??????? ????????????? ????????????
  ????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????? k ???
  ????????????????????????????????????
  ????????????? k1 ??? ????????????????????????????
  ?????????????

19
???????? ??????????????

• ???????? ?????????????????????????????????????????
  ?????????????????????????(????????????????????
  ????????????????????????????????)
• ?????? ?????????????????????? 44 ???
  ???????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????? 44 ???
  ?????????????????? ??????????? 45 ??????? 44
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??? ?????????? 45 ????????????????????????????????
  ???????????? 44 ????????????? ????????????????????
  ??? 45 ??????????? 44 ??? ????????????????????????
  ??????????????? ???????????????????

20
???????????????????????????

• ?????????????????????????????? ????? k ??? m
  ???????????????? ???????????? mk1 ???
  ????????????????? k ??? ?????????????????????????
  ?????????????? m1 ???
• ????????????????????????????????????? m ???
  ??????????????????????????????? mk ?????????????
  ????????????????????????????????????? mk1 ???
• ??????? ???????????????????????????
  ???????????????????????????????????????? N
  ??????????????????????????? k ?????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??????? ?N/k? ????

21
??????? ???????????????????????????

• ????????????????????????????????????????? ?N/k? -
  1 ???? ???????????????????????????????????????????
  ????

22
????????????? (Permutation)

• ??????????????????????????????????????????????????
  ?? ????????????????????????????????
• ???????????????????????????????????????? r
  ????????????????????????????????? n
  ?????????????????????????? P(n,r)
  ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????????????????????? P(10, 4)
• ??????? P(n,r) ???????????????????????????????????
  ?? (Factorial function) ?????????????????? n ???
  ????????????? n ???????????????? n!
  n(n1)(n2)1

23
??????? P(n,r)

• ????????? rltn

24
???????? ?????????????

• ???????? ???????????????????????????????????
  ???????????? ??????????????? ????????????????????
  100 ?? ????????? 100 ?????????????????
• ?????? ????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????
  ???????????????????????????????
  ????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ????? ??? ???????????????????????
  ??????????????????????????? 100 ??
  ?????????????????????? 99 ?? ?????????????????????
  ????? 98 ?????????
• P(100,3) 100 ? 99 ? 98

25
?????????? (Combination)

• r-combination ????????????????????????????????????
  ???????????????? r ????????? ???????
  r-combination ??????????????????????????? r ???
• ???????? ???????? S1, 2, 3, 4 ??????? 1, 3,
  4 ??? 3-combination ?????? S

 
26
??????? ??????????

• ?????????????????????? r-combination
  ????????????????? n ???????????????????
  r-permutation ??????
• ??????????????????????????????? r-permutation
  ????????? ????????????????????????? r-combination
  ???????? ??????????????????????????????????????
• ??????? ???????? r-combination ?????????????????
  n ??? ?????? n ???????????????????????? ???? r
  ???????????????? 0?r ?n ????????????

27
?????????????? ??????????

• r-permutation ???????????????????????
  r-combination ???????? n ???? ????????????????????
  ??? r ?????????? r ???????

28
???????? ??????????

• ????????(Bit strings) ???????????? n ???????????
  1 ???? r ??? ????????????????
• ?????? ???????????? ??????????? 1 ??????????????
  r ??? ??????????????????????? n ??? r-combination
  ???????????????? 1, 2, 3,...,n
  ???????????????????????????????????? r ?????? n
  ?????????? C(n,r)
• ???? ??????????????? 1 ???????????????????

29
?????????????????? (Binomial Coefficients)

• ?????????????????????? r-combination ???????? n
  ??? r ?????????????????????????????? r?n ???????
  C(n,r) C(n,n-r)
• ????????????????????????????????????????

???
???????? ??????????????????
??????????? C(n,r) C(n,n-r)
?????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????? ???????????????????
???????????? C(n,r) ??????????????????????????????
?????? C(n,n-r)
30
???????????

• ?????????????????????? ??????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ? (ab)n ?????????????????????????????????? n1
• ???????? ????????????? (xy)3

??????? ??? x ??? y ????????????? n
????????????????????????????????
31
???????????????

• ????????? 1 ????? n ????????????????????????????

32
???????????????

• ????????? 2 ????? n ????????????????????????????

33
???????????????

• ????????? 3 ????? n ????????????????????????????

??????? ??????????????????? x 1 ??? y2
????????????
34
?????????????????? (Pascals Identity)

• ????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????
• ??????? ?????????????????? ??? n ??? k
  ?????????????????????? n?k ???????

????????????????????? ????????????????????????????
??????? (Pascals Triangle) ???
35
Pascals Triangle

• 1
• 1
• 1 2 1
• 3 3 1
• 1 4 6 4 1
• 1 5 10 10 5 1
• ...