MATH

1
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Vingt-troisième cours

2
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation

3
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation
• Formule prime/escompte du prix dune obligation

4
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation
• Formule prime/escompte du prix dune obligation
• Formule du montant de base du prix dune
  obligation

5
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation
• Formule prime/escompte du prix dune obligation
• Formule du montant de base du prix dune
  obligation
• Formule de Makeham du prix dune obligation

6
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation
• Formule prime/escompte du prix dune obligation
• Formule du montant de base du prix dune
  obligation
• Formule de Makeham du prix dune obligation
• Valeur comptable dune obligation

7
Rappel

• Formule basique du prix dune obligation
• Formule prime/escompte du prix dune obligation
• Formule du montant de base du prix dune
  obligation
• Formule de Makeham du prix dune obligation
• Valeur comptable dune obligation
• Amortissement dune obligation

8
La formule basique pour le prix dune obligation
est
Rappel
9
La formule prime/escompte pour le prix dune
obligation est
Rappel
10
La formule du montant de base pour le prix dune
obligation est
Rappel
11
La formule de Makeham pour le prix dune
obligation est
Rappel
12
Si P gt C, nous disons que lobligation est vendue
à prime.Si P lt C, alors nous disons que
lobligation est vendue à escompte.
Rappel
13
Rappel

• la valeur comptable de lobligation après le
  versement du ke coupon sera notée par Bk
• la portion dintérêt du ke coupon sera notée par
  Ik
• lajustement à être apporté à la valeur comptable
  de lobligation dans le ke coupon sera notée Pk

14
Si lobligation a n versements de coupon, alors
Rappel
B0 P et Bn C .
15
La valeur comptable Bk immédiatement après le ke
coupon est obtenue en utilisant une des formules
(formule basique ou encore formule prime/escompte
ou les deux autres) du prix de lobligation au
taux de rendement i obtenu lors de lachat de
lobligation. Il faut considérer la somme des
valeurs actuelles des coupons et de la valeur de
remboursement.
Rappel
16
La portion dintérêt Ik du ke coupon est iB(k-
1) . Cest ce que doit nous rapporter
lobligation pour une période au taux i.
Lajustement Pk à apporter à la valeur
comptable dans le ke coupon est Pk Fr - Ik
.Nous avons Bk Bk-1 - Pk .
Rappel
17
Considérons maintenant la table damortissement
dune obligation dont la valeur de remboursement
C 1 dollar et les montants des coupons sont
égaux. Par la définition de taux modifié
dintérêt, les coupons sont au montant de g
dollars. Le prix de lobligation est (1 p)
dollars, où p peut être négatif ou positif.
18
À cause de la formule prime/escompte, nous avons
où i est le taux de rendement .
19
Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule
basique et obtenir
où i est le taux de rendement .
20
(No Transcript)
21
Exemple 1

• Considérons une obligation dont la valeur
  nominale est 1000, la valeur de remboursement de
  1100, le taux facial est de 5 par année et les
  coupons sont versés une fois par année. La durée
  de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci
  est achetée pour obtenir un rendement de 6 par
  année. Déterminons son prix et sa table
  damortissement. Le coupon est de 1000 (0.05)
  50 à chaque année.

22
Exemple 1 (suite)

• En utilisant la formule basique, nous obtenons
  pour le prix

Cette obligation est achetée à escompte, car son
prix P 1010.68 est inférieur à sa valeur de
remboursement C 1100.
23
Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 1010.68
1 50 60.6408 -10.6408 1021.32
2 50 61.2792 -11.2792 1032.60
3 50 61.956 -11.956 1044.56
4 50 62.6736 -12.6736 1057.23
5 50 63.4338 -13.4338 1070.66
6 50 64.2396 -14.2396 1084.90
7 50 65.094 -15.094 1099.99
24
Dans lexemple précédent, si nous voulons
calculer la valeur comptable B4, nous utilisons
la formule basique et obtenons puisquil reste 3
périodes de capitalisation et 3 coupons de 50 .
Donc
25
Nous aurions aussi pu calculer cette valeur
comptable B4, rétrospectivement. Dans ce cas nous
utilisons la valeur accumulée du prix au taux de
rendement à la date du 4e coupon, auquel nous
soustrayons la somme des valeurs accumulées des
coupons versés à la même date, à savoir celle du
4e coupon. Il faut inclure le 4e coupon. Donc
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Exemple 2

• Considérons une obligation dont la valeur
  nominale est 1000, la valeur de remboursement de
  1100, le taux facial est de 5 par année et les
  coupons sont versés une fois par année. La durée
  de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci
  est achetée pour obtenir un rendement de 4 par
  année. Déterminons son prix et sa table
  damortissement. Le coupon est de 1000 (0.05)
  50 à chaque année.

27
Exemple 2 (suite)

• En utilisant la formule basique, nous obtenons
  pour le prix

Cette obligation est achetée à prime, car son
prix P 1136.01 est supérieur à sa valeur de
remboursement C 1100.
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Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 1136.01
1 50 45.4404 4.5596 1131.45
2 50 45.258 4.742 1126.71
3 50 45.0684 4.9316 1121.78
4 50 44.8712 5.1288 1116.65
5 50 44.666 5.334 1111.32
6 50 44.4528 5.5472 1105.77
7 50 44.2308 5.7692 1100.00
29
Ainsi nous avons deux approches pour calculer la
valeur comptable Bk dune obligation
prospectivement ou encore rétrospectivement.
30
Prospectivement il suffit dutiliser une des
formules du prix pour calculer la somme des
valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés
et la valeur actuelle de la valeur de
remboursement pour (n - k) périodes de
capitalisation. Ces calculs sont faits avec le
taux de rendement i obtenu lors de lachat
31
Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur
accumulée du prix dachat P de lobligation après
le ke coupon, auquel nous soustrayons la somme
des valeurs accumulées des k premiers coupons.
Ces calculs sont faits avec le taux de rendement
i obtenu lors de lachat
32
Exemple 3

• Reprenons lexemple 1 du 22e cours. Considérons
  une obligation dont la valeur nominale est 75000
  dune durée de vie de 15 ans ayant des coupons
  semestriels au taux facial le taux nominal de 8
  par année capitalisée semestriellement et qui
  sera remboursé à 78000 si cette obligation est
  achetée pour que le taux de rendement soit 10
  par année capitalisé semestriellement.

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Exemple 3 (suite)

• Avec nos notations précédentes, nous avons
• F 75000
• C 78000
• r 8/2 4 par semestre
• n 15 x 2 30 semestres
• i 10/2 5 par semestre
• Nous avons aussi calculé le prix P 64164.79

34
Exemple 3 (suite)

• Déterminons la valeur comptable B17 immédiatement
  après le 17e coupon, la portion dintérêt I18 de
  la 18e période et lajustement à apporter P18 à
  la valeur comptable au 18e coupon.

35
Exemple 3 (suite)

• Prospectivement nous obtenons que

Rétrospectivement nous obtenons que
36
Exemple 3 (suite)

• La portion dintérêt I18 de la 18e période est

Lajustement P18 à apporter à la valeur comptable
est
37
Exemple 3 (suite)

• Conséquemment la valeur comptable à la fin de la
  18e période est
• B18 B17 - P18 69545.78 - (-477.29)
  70023.07.
• Nous pourrions vérifier aussi ceci.
  Prospectivement

ou encore rétrospectivement
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Lorsque les coupons de lobligation sont égaux,
nous pouvons remarquer que les ajustements Pk de
la valeur comptable forment une suite géométrique
de raison (1 i).
39
Lamortissement est tout à fait similaire à ce
qui se produit pour lamortissement des prêts.
Lorsque les coupons sont égaux pour lobligation
et que les paiements sont égaux pour le prêt. La
valeur comptable de lobligation au ke coupon est
similaire au solde restant du prêt après le ke
paiement. La portion dintérêt de la ke période
pour lobligation correspond à la portion
dintérêt du ke paiement.
40
Finalement lajustement pour lobligation est
similaire à la portion de principal. Cependant
pour lobligation, lajustement peut être négatif
ou positif alors que la portion de principal
pour les prêts est toujours positive.
41
Nous avons décrit jusquà maintenant la méthode
actuarielle pour la construction de la table
damortissement de lobligation. Il existe une
seconde méthode beaucoup plus simple la méthode
linéaire.
42
Dans la méthode linéaire, lajustement à
apporter à chaque valeur comptable est constant à
chaque période et est égal à
sil y a n coupons. La portion dintérêt de
chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk
Fr - (P-C)/n.
43
Exemple 4

• Reprenons lexemple 1. Cette obligation est
  achetée au prix de 1010.68 pour un taux de
  rendement de 6 par année. Le coupon est de 50 à
  chaque année et sa valeur de remboursement est
  1100. Dans ce cas, lajustement sera toujours
• (1010.68 - 1100)/7 -12.76
• La table damortissement est alors

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Période de capitalisation Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk
0 1010.68
1 50 62.76 - 12.76 1023.44
2 50 62.76 - 12.76 1036.20
3 50 62.76 - 12.76 1048.96
4 50 62.76 - 12.76 1061.72
5 50 62.76 - 12.76 1074.48
6 50 62.76 - 12.76 1087.24
7 50 62.76 - 12.76 1100.00
45
Nous allons maintenant considérer le prix dune
obligation entre des paiements de coupon. Avant
danalyser plus en détail ceci, nous allons
illustrer ce prix en faisant lhypothèse que le
taux de rendement demeure constant pour toute la
durée de vie de lobligation.
46
Considérons le prix P(x) dune obligation au
moment x de sa durée de vie dont les valeurs
nominale et de remboursement sont de 100, le
taux facial est r 4 par période de
capitalisation, dune durée de vie de 8 périodes
de capitalisation en supposant que le taux de
rendement est 6 par période de capitalisation.
Ici x est compris entre 0 et 8.
47
Alors P(x) est obtenu prospectivement en
considérant la somme des valeurs actuelles des
coupons de 4 et de la valeur actuelle de la
valeur de remboursement de 100. Nous obtenons
donc que
Nous avons illustré cette fonction sur le graphe
suivant
48
(No Transcript)
49
Notons quil y a un saut à chaque x égal à un
entier et il est égal à -4. En effet,
50
À cause de ces sauts, il est nécessaire de
considérer deux prix le prix uniforme ( flat
price ) et le prix du marché ( market price )
ou encore la valeur comptable de lobligation.