De bepaalde integraal

1
(No Transcript)
2
De bepaalde integraal

• -Miniles Mediakunde
• -3ASO 2de jaar
• Presentatie gebaseerd op wat ik hier vond
  www.pedrotytgat.be/wiskunde/analyse/integralen

3
Info
WISKUNDE LEERPLAN A DERDE GRAAD
ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT
WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP
BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt
D/1992/0279/022) ISBN-nummer 90-6858-380-8 Vlaams
Verbond van het Katholiek Secundair
Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel
Voor studierichtingen met zes wekelijkse
lestijden wiskunde. Economie-wiskunde Grieks-wisku
nde Latijn-wiskunde Moderne talen-wiskunde Wetensc
happen-wiskunde
AN38 Het verband leggen tussen het begrip
bepaalde integraal en de oppervlakte tussen de
grafiek van een functie en de horizontale as.
4
Inhoud van de les

• Eenvoudige oppervlakten
• Belang van oppervlakten
• Eigenlijke vraagstelling (toegepast op yx2 en
  0,3)
• Een eerste benadering voor bepalen van
  oppervlakte
• Principe berekenen van bovensom en ondersom
• Een betere benadering voor bepalen van
  oppervlakte
• De beste benadering, oneindig veel
  deelintervallen
• Toegepast op yx2 en 0,4
• Notie van bepaalde integraal
• Oppervlakte voor yx2 over willekeurig interval
  a,b
• Veralgemening voor willekeurige continue functie
• Berekeningen met willekeurig punt in een
  deelinterval (zonder boven en ondersom)
• Georiënteerde oppervlakten

5
Invuloef. eenvoudige oppervlakten
z
b
l
h
b
h
b
b1
h
b2
d1
d2
r
6
Eenvoudige oppervlakten
Vierkant
Rechthoek
Parallellogram
Driehoek
Trapezium
Ruit
Cirkel
z
b
l
h
b
h
b
b1
h
b2
d1
d2
r
7
Belang van oppervlakten 1
Gegeven Wandelaar wandelt 5 uur aan
wandelsnelheid 5 km/h Y (v , km/h) X (t ,
aantal h)
Gevraagd Welke afstand heeft de
wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht
?
Oplossing Sv.t 25 km
8
Belang van oppervlakten 2
Gegeven Wandelaar wandelt ?t uur aan
wandelsnelheid v(t) km/h Y (v , km/h) X (t ,
aantal h)
Gevraagd Welke afstand heeft de
wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht
? ?t is hier dus ook 5 uur.
Opp S
Oplossing S?????
9
Eigenlijke vraagstelling

• Bepalen van oppervlakte onder de parabool yx²
• Geen formule
• Benadering door som van oppervlakten Oi van
  rechthoeken
• Oif(xi). ?x

f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x0)
10
Eerste benadering over 0,3

• Ondersom s3
• Bovensom S3
• 3 van 3 intervallen

11
Intermezzo oefening 2
12
Eerste benadering over 0,3
Berekenen van de ondersom (s3) x0 0 0. ?x ?
f(x0) 0 x1 1 1. ?x ? f(x1) 1 x2 2 2.
?x ? f(x2) 4 f(x0) ? ?x 0 ? 1 0 f(x1) ? ?x
1 ? 1 1 f(x2) ? ?x 4 ? 1 4 s3 5
13
Eerste benadering over 0,3
Berekenen van de bovensom S3 x1 1 1. ?x ?
f(x1) 1 x2 2 2. ?x ? f(x2) 4 x3 3 3.
?x ? f(x3) 9 f(x1) ? ?x 1 ? 1 1 f(x2) ? ?x
4 ? 1 4 f(x3) ? ?x 9 ? 1 9 S3 14
s3 5
14
Betere benadering over 0,3

• Bovensom S6
• Ondersom s6
• Beperken momenteel tot bovensommen

15
Vergelijking van de benaderingen
16
Berekenen van bovensom S6 0,3

• De totale benaderde S6. is nu
• f(x1) ? ?x 0,25 ? 0,5 0,125
• f(x2) ? ?x 1 ? 0,5 0,5
• f(x3) ? ?x 2,25 ? 0,5 1,125
• f(x4) ? ?x 4 ? 0,5 2
• f(x5) ? ?x 6,25 ? 0,5 3,125
• f(x6) ? ?x 9 ? 0,5 4,5
• S314
• S6 11,375
• S12 10,15625

17
Oneindig deelintervallen in 0,3

• Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n
  nadert tot ?, nadert Sn tot de exacte
  oppervlakte S.
• Vertalen we deze laatste zin in het wiskundigs,
  dan krijgen we

18
Berekenen Sn en sn voor yx2,0,3
19
Oneindig deelintervallen in 0,4
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
1 2 3 4 5
20
Notie bepaalde integraal

• Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte
  oppervlakte S op het interval 0, b te schrijven
  is als
• Men noemt een aldus verkregen oppervlak de
  bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot
  b en noteert dit verkort als

21
Berekenen Sn en sn voor yx2,0,b
22
Oppervlakte voor yx2 over a,b

• Uit de basisformule op het interval 0, b,
  kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle
  andere intervallen.
• Beschouw het interval a, b, waarbij 0 lt a lt b

S
23
Algemene uitdrukking

• Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat
  deze formule ook geldt voor intervallen a, b
  met
• a lt b lt 0 (het interval ligt volledig links van
  de y-as) of
• a lt 0 lt b (het interval begint links en eindigt
  rechts van de y -as).
• Besluit

24
Veralgemening voor continue f
M1
m1
M2
m2
M3
m3
Mn
mn
Mn-1
Mn-2
mn-1
mn-2
25
Algemene methode

• Verdeel a,b in n gelijke
• ? interval min mi en max Mi
• ? integreerbare functies is
• Via insluitstelling van de limieten

26
Insluitstelling van limieten
yf(x)
?
?
Mi
?
f(xi)
mi
?
Insluitstelling van limieten
i-de interval
27
Georiënteerde oppervlakken
y
I
III


x
IV
a
b
c
d
e
-
II
-