Defineerimine ja t

1
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria
elemente.

• Kordamine
• Matemaatika
• 8.klass
• Rita Punning
• Krootuse Põhikool

2
Kordavad teemad ehk millest täna räägime

• Defineerimine, teoreem, eeldus, väide,
  pöördteoreem
• Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad
• Sirgete paralleelsus
• Rööpkülik, kolmnurk
• Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud
• Kolmnurga mediaanid.

3
Defineerimine
Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse
selle mõiste defineerimiseks.
Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse
algmõisteteks.
Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne.
Kas järgmised mõisted on korrektsed?
Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust
tõmmatud lõiku.
Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille
vastasküljed on paralleelsed.
4
Teoreem
Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem
teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset
nimetatakse teoreemiks.
Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse
tõestamiseks.
Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid
mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse
aksioomideks.
Aksioomid
Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge.
Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult pikendada.
5
Teoreemi eeldus ja väide
Eelduses pannakse kirja see, mis on teada (antud)
ning väide ütleb, mida tuleb tõestada.
Kui eeldus, siis väide.
Teoreemid
Kolmnurga sisenurkade summa on 180?.
Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90?.
6
Pöördteoreem
Eelduse ja väite äravahetamisel tekkinud lauset
nimetatakse esialgse teoreemi pöördlauseks.
Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis
nimetatakse seda pöördlauset pöördteoreemiks.
Teoreemid
Kui kujund on ruut, siis tema lähisküljed on
võrdsed.
Kui kaks sirget on paralleelsed, siis neil
ühiseid punkte ei ole.
7
Kõrvunurgad ja tippnurgad
Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, millel on
üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad
sirge.
Omadus Kõrvunurkade summa võrdub sirgnurgaga.
Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui neil on
ühine kõrvunurk.
Omadus Tippnurgad on võrdsed.
8
Kahe sirge lõikamine sirgega
Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on
võrdsed ka teine paar põiknurki.
Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade
summa on 180?.
Ülesanne
?40? ja ?1130?
9
Kahe sirge paralleelsus
Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib
paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on
paralleelsed.
????? ? s??u
Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib
paar võrdseid põiknurki, siis need sirged on
paralleelsed.
????? ? s??u
10
Kahe sirge paralleelsus
Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega
tekkivate lähisnurkade summa on 180?, siis need
sirged on paralleelsed.
????180? ? s??u
Ülesanne
11
Rööpküliku omadusi
Ül. ? 45?, a5 cm, h2,5 cm

• Rööpküliku vastasküljed on võrdsed.
• Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed.
• Rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180?.
• Rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks
  võrdseks kolmnurgaks.
• Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
• Rööpküliku pindala on võrdne aluse ja kõrguse
  korrutisega.

12
Kolmnurk
Ülesanne
?3115? ja ?55?
Kolmnurga sisenurkade summa on 180?.
???180?
Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga
sisenurga kõrvunurka.
Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte
kõrvu olevate sisenurkade summaga.
?3??
Kolmnurga välisnurkade summa on 360?.
?1?2?3360?
13
Kolmnurga kesklõik
Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje
keskpunkte, nimetatakse selle kolmnurga
kesklõiguks.
Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe
küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Ülesanne
Leia kolmnurga kesklõigud, kui küljed on 5 cm, 6
cm ja 7 cm.
14
Trapetsi kesklõik
Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte,
nimetatakse trapetsi kesklõiguks.
Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi
alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste
poolsummaga.
Trapetsi alused on 4 dm ja 30 cm. Kui pikk on
kesklõik?
Ülesanne
Trapetsi kesklõik on 25 dm ja kõrgus on 20 mm.
Leia trapetsi pindala.
15
Kolmnurga mediaanid
Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje
keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.
Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis,
mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et
tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest
osast.
Ülesanne
Kui pikkadeks lõikudeks jaotab mediaanide
lõikepunkt mediaanid, mille pikkused on 12 cm, 18
cm ja 21 cm?