Compresi

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Compresión de Imágenes en Escala de Grises
mediante el uso de WAVELETS

• Tomás Olarte Hernández
• Juan Pablo Tamayo

tolarteh_at_eafit.edu.co
jtamay10_at_eafit.edu.co
Asesores Dr. Jairo Villegas
Dr. Francisco Correa
Ingeniería Matemática
Universidad EAFIT
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Introducción
Desde hace ya algún tiempo en el mundo de las
ciencias, especialmente las matemáticas, la
física y la computación, se ha tenido la
necesidad de analizar diversas funciones. Esta
necesidad surge, principalmente, debido a que en
la naturaleza muchos de los procesos pueden ser
modelados como funciones, ya sean discretas o
continuas. Las Wavelets (Ondículas) son un
desarrollo relativamente reciente tanto en
matemáticas puras como aplicadas, construidas con
el propósito de analizar funciones, en especial
las funciones cuadrado integrables. Estas
tienen, con respecto a la teoría y a sus
aplicaciones, una fuerte conexión con las
transformadas de Fourier.
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Objetivos

• Implementar un algoritmo de compresión de
  imágenes en escala de grises, que utilice las
  transformadas wavelet
• Comparar los métodos de compresión que utilizan
  wavelets con otros algoritmos de compresión, bajo
  criterios de tasa de compresión y calidad de
  imagen.

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Historia
1807. El matemático francés Joseph Fourier afirmó
que toda onda periódica puede descomponerse como
suma infinita de senos y cosenos. 1909. El
matemático húngaro Alfred Haar descubre una base
de funciones que resultan ser, luego, la primera
wavelet. 1984. Con la ayuda del físico cuántico
Alex Grossman, Morlet desarrolla su modelo. El
término wavelet aparece por primera vez. 1986.
Stéphane Mallat muestra que los métodos de Haar,
Gabor, Morlet están relacionados por el mismo
algoritmo de wavelets. 1987. Ingrid Daubechies
construye el primer wavelet ortogonal con
soporte compacto. Los wavelets pasan a ser una
importante herramienta práctica de
cálculo. 1992. El FBI usa los wavelets para
comprimir su base de datos de huellas dactilares.
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Análisis de Funciones
Fourier
Wavelets
Permite el análisis multirresolución, mejorando
notablemente el análisis en pequeños intervalos
con gran cantidad de información
Permite el análisis de tanto el tiempo como la
frecuencia de la función (uno a la vez)
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Algunas Wavelets
Una forma de pensar en las wavelets es plantear
cómo miran nuestros ojos al mundo. Desde un avión
un bosque se ve como una cubierta verde. Desde un
carro se ven los árboles individualmente. Si nos
acercamos vemos las ramas y las hojas. A medida
que nos acercamos a escalas más pequeñas, podemos
encontrar detalles que no habíamos visto antes.
Dana Mackenzie
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Transformadas
Fourier
Wavelets
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Descomposición
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CWT
La transformada continua para las wavelets se
puede definir como
A partir de la cual se puede obtener la inversa
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DWT
La transformada discreta en el filtrado digital,
con el mismo propósito que la CWT analizar las
señales a distintas frecuencias y tiempos. Se
utiliza la base diádica (a2i), donde cada i
indica una escala de descomposición de la señal.
Las escalas bajas tienen en cuenta las
frecuencias bajas, y las escalas altas las
frecuencias altas. Toda transformada wavelet
viene determinada (como mínimo) por dos
funciones, o por dos series de coeficientes. En
la práctica, la serie de coeficientes tienen una
mayor importancia gracias a que facilitan los
cálculos en el análisis.
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Filtros
Los filtros van a permitir que el análisis
mediante wavelets se concentre tanto en las
frecuencias (filtro pasa baja), como en el tiempo
(filtro pasa alta). Estos filtros (coeficientes)
me permiten reconstruir la señal original de una
manera apropiada.
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Por qué son útiles?

• Pueden representar funciones suaves
• Pueden representar singularidades
• Las funciones base son locales
• Son ajustables y adaptables
• Las operaciones necesarias son básicas en la
  computación (multiplicaciones y adiciones)
• Su uso consigue resultados óptimos en
• Estimación estadística
• Recuperación de la señal
• Compresión de información

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Dónde son útiles?

• Solución Numérica de E.D.P
• Se le da un uso análogo al método de diferencias
  finitas
• Procesamiento de señales sísmicas
• Importante a la hora de la reducción de ruido y
  compresión en las señales
• Procesamiento de Imágenes Médicas
• Herramienta para comprimir imágenes sin pérdida
  de la información valiosa
• Aplicaciones de Comunicación

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Compresión de Imágenes
JPG
JPG-2000
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Valor Umbral
Para la compresión de datos, se puede aprovechar
el hecho de que gran cantidad de coeficientes
tienen valores relativamente pequeños. Luego de
la transformación, se puede escoger un valor
umbral (threshold) a partir del cual los valores
de los coeficientes se anulen. Este umbral puede
ser escogido teniendo presente un porcentaje de
energía a conservar. Para una función f, la
energía se puede expresar como
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Proyecto

• El proyecto en 2 programas, uno de compresión y
  otro de descompresión. El de compresión tiene
  como etapas
• Tranformación
• Cuantización
• Código de Entropía
• La descompresión funciona invirtiendo cada etapa
  del proceso

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Por qué MatLab?

• Es un lenguaje fácil de aprender y usar
• Tiene gran capacidad para mostrar datos de manera
  visual
• La forma de representar las imágenes hace que sea
  natural buscar un lenguaje diseñado para el
  manejo de matrices
• La velocidad al manipular matrices acelera
  considerablemente programas como los
  implementados
• Herramientas como los toolboxes facilitan el
  manejo de imágenes y archivos.

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Transformación

• En esta etapa se aplica la transformación de
  la señal en 2 dimensiones.
• Para esto se realiza la transformación primero
  de manera horizontal, y al resultado se le hace
  de manera vertical (por convención)

El resultado de realizar cualquier tipo de
transformación con wavelets (en 1D) genera dos
vectores, cada uno con la mitad del tamaño del
original
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Cuantización

• Se utiliza una cuantización uniforme
• En esta etapa se pierde la mayor cantidad de la
  información.
• Cada intervalo hallado es codificado mediante un
  valor entero representativo

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Código de Entropía

• Se puede utilizar
• Run-Length Code
• Huffman Code
• Arithmetic Code
• Otras codificaciones, o variantes de estas.

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Algoritmos
Transformada de Haar 2D Toma una matriz que
contiene un muestreo de una función, el nivel de
transformación y la energía que se desea
conservar para retornar una matriz con las
coeficientes de la trasformada de Haar discreta
la energía conservada es independiente de la
cantidad de niveles (energía conservada
general). Cuantización Toma los coeficientes que
resultaron de la transformada, los cuales son
almacenados en punto flotante, y realiza una
cuantización uniforme. Esto se hace con el fin de
obtener valores enteros de los coeficientes, de
manera que su almacenamiento requiera menos
espacio. Compresión basada en entropía Aprovechan
do el hecho de que existe un valor muy frecuente
(CERO), se utiliza técnicas de almacenamiento
basados en entropía con el fin de eliminar la
redundancia de los datos. Para esto se utiliza
una variante del Run Length Code.
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Conclusiones

• Para imágenes de tono continuo la transformada
  Haar NO es la más adecuada
• Es importante probar con distintas wavelets al
  momento de transformar la imagen
• Es esencial escoger un tipo de datos adecuado
  para guardar la imagen en cada etapa de la
  compresión
• Las imágenes transformadas poseen una estructura
  que puede ser explotada mejor por códigos de
  entropía específicamente diseñados

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Trabajo Futuro

• Considerar otras wavelets madre para la
  transformación
• Investigar e implementar mejores métodos de
  cuantización
• Probar con otros algoritmos de entropía
• Utilizar filtros, ya sea antes o después de la
  transformación
• Por métodos heurísticos escoger la transformada
  apropiada para cada tipo de imagen
• Extender el trabajo a imágenes a color
• Utilizar análisis multirresolución.

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Bibliografía

• Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Capítulo 3
• Peter V. ONeil, Editorial THOMSON, año 2003
• An Introduction to Wavelets
• Amara Graps, 1995 Institute of Electrical and
  Electronics Engineers, Inc.
• A PRIME ON WAVELETS and their Scientific
  Applications
• James S. Walker, ChapmanHall/CRC, 1999.
• Wavelet theory and harmonic analisis in Applied
  Sciences
• C.E. DAttellis, E.M.Fernández-Berdaguer, Ed.
  Birkhäuser, 1997.
• Wavelet Based Compression for Image Retrieval
  Systems
• S. Areepongsa, N. Kaewkamnerd, Y. F. Syed, K. R.
  Rao.