Test di ipotesi

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Test di ipotesi

• Annibale Biggeri
• Dipartimento di Statistica

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Richiami Definizioni

• La distribuzione di probabilità di una statistica
  campionaria è chiamata la distribuzione
  campionaria della statistica
• La deviazione standard della distribuzione
  campionaria è chiamata errore standard

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Teorema del Limite Centrale

• Se Y è una variabile casuale con media ? e
  varianza ?2 allora basato su campioni di
  dimensione n sarà distribuito Gaussianamente con
  media ? e varianza ?2 / n ,
  per n sufficientemente
  grande.

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• I campioni sono diversi PERCHE i membri della
  popolazione da cui sono tratti sono diversi circa
  la caratteristica (variabile) rilevata
  (variabilità del fenomeno in studio)
• Le medie campionarie sono diverse in ragione
  della variabilità del fenomeno e della dimensione
  campionaria (variabilità campionaria)

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Esempio

• Qual è la probabilità che lIQ medio di una
  classe di 25 studenti superi 106 ?

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Un esempio dalla letteratura

• Bennett et al. hanno condotto uno Studio Clinico
  Controllato Randomizzato per valutare la
  sicurezza delluso di lidocaina in soggetti con
  infarto miocardico acuto.
• 216 pazienti sono stati assegnati con procedura
  casuale a due gruppi (di 110 e 106 soggetti)
  trattati con lidocaina o con la miglior terapia
  disponibile.
• I decessi osservati nei due gruppi nel periodo di
  follow-up sono stati 7 e 3.

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• Lipotesi scientifica da saggiare è la seguente
• La lidocaina è un farmaco sicuro ed efficace nel
  prevenire aritmie nella fase iniziale
  dellinfarto miocardico acuto ?

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• Per saggiare lipotesi il ricercatore confronta i
  dati empirici con le previsioni teoriche.
• La percentuale di decessi osservata nel gruppo
  trattato con lidocaina non deve essere maggiore
  di quella osservata nel gruppo di controllo

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Ipotesi statistica

• Una ipotesi statistica è una affermazione circa
  il valore di un parametro di una distribuzione di
  probabilità

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Test statistico

• Un test statistico è una procedura volta a
  saggiare la verità o falsità di una ipotesi
  statistica.
• E costruito secondo il ragionamento per assurdo
  (se A è falso allora B).

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• La strategia fondamentale nel test dipotesi
  consiste nel misurare quanto è distante il valore
  osservato di una statistica campionaria dal
  valore ipotizzato.
• Se la distanza è grande concluderemo che il
  valore ipotizzato è incompatibile con i dati
  osservati e saremo portati a rifiutare lipotesi.

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• Per valutare la grandezza della distanza terremo
  in conto della variabilità delle osservazioni
  (?2) e della dimensione del campione (n)
• In generale se la statistica campionaria
  osservata è a più di due errori standard dal
  valore ipotizzato siamo portati a rifiutare
  lipotesi.

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Esempio

• Il peso medio alla nascita di 78 neonati deceduti
  per SIDS era di 2994 gr. La
  deviazione standard del peso alla nascita nella
  popolazione è di 800 gr. , lerrore standard è
  pertanto 800/?7890.6 gr.
• Ci si chiede se i bambini con SIDS hanno peso
  medio alla nascita diverso dalla media della
  popolazione (3300 gr.)

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Esempio (segue)

• La distanza tra 2994 e 3300 è pari a 306 gr.
• Lerrore standard è 90.6 gr. Per cui la distanza
  osservata è a 306/90.63.38 errori standard.
• Concluderemo che i dati osservati sono
  incompatibili con lipotesi che il peso medio
  alla nascita dei bambini con SIDS sia uguale a
  quello della popolazione.

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Esempio (Lidocaina trial)

• 7/110 6.36 vs 3/106 2.83 sono una
  differenza di 3.53 , con un campione totale di
  216 soggetti e 10 decessi e una percentuale di
  decessi totale di 4.63
• err.standard ? (0.0463 x (1 0.0463) / 216 )
  0.0143
• La distanza osservata in unità di err.standard è
  0.0353/0.0143 2.469
• Concludiamo che i dati osservati non supportano
  lipotesi di eguale rischio di morte nei due
  gruppi

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Commenti

• La distanza è stata espressa in unità pari
  allerrore standard. In modo equivalente possiamo
  associare un valore di probabilità per valori più
  estremi di quello osservato. Nel caso gaussiano a
  1.96 corrisponde una probabilità (area) del 2.5

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Commenti (segue)

• Se, prima di eseguire il test, avessimo deciso di
  non rifiutare lipotesi se il valore della
  statistica campionaria fosse caduto entro due
  errori standard dal valore ipotizzato, allora
  avremmo suddiviso lo spazio campionario della
  nostra statistica in tre regioni.

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Definizione 1

• Lipotesi nulla specifica un determinato valore
  per un parametro della popolazione

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Definizione 2

• La regione di rifiuto consiste nellinsieme di
  tutti i valori della statistica test per i quali
  lipotesi nulla viene rifiutata. I limiti della
  regione sono definiti i valori critici (soglia/e)

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Definizione 3

• Lerrore di primo tipo si verifica quando
  lipotesi nulla viene rifiutata pur essendo vera.

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Definizione 4

• Lipotesi alternativa specifica un determinato
  valore per un parametro della popolazione da
  considerarsi quando lipotesi nulla viene
  rifiutata.

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Definizione 5

• Lerrore di secondo tipo si verifica quando
  lipotesi nulla NON viene rifiutata pur essendo
  FALSA.

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Definizione 6

• La potenza di un test è la probabilità di
  rifiutare lipotesi nulla quando essa è falsa.

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Definizione 7

• Il valore p nel contesto del test di ipotesi è il
  valore di probabilità in base al quale, qualora
  risulti inferiore ad ?, lipotesi nulla è
  rifiutata, oppure, qualora risulti maggiore di ?,
  non rifiutata.

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Notazioni

• Lipotesi nulla è indicata con H0
  lipotesi alternativa con Ha o H1
• La probabilità di errore di primo tipo è indicata
  con ? e la probabilità di errore di secondo tipo
  con ?. La potenza è perciò

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Formalizzazione

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• Lipotesi nulla e quella alternativa possono
  essere scritte nel modo seguente

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• Le regioni di rifiuto e non rifiuto derivano
  dalla scelta sulla dimensione della distanza.
• Supponiamo di lasciare il valore 2 errori
  standard, allora la regione di rifiuto sarà
  delimitata da

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• In termini di probabilità di errore di primo tipo

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• Mentre la probabilità di errore di secondo tipo
  sarà calcolabile solo avendo specificato un
  valore per lipotesi alternativa. Supponendo
  Ha?3000gr. Abbiamo

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• La potenza è pertanto 1-0.0950.905
• Queste valutazioni vengono fatte a priori, se i
  bambini con SIDS avessero peso medio alla nascita
  di 3000 gr. Allora un campione di solo 78 bambini
  avrebbe una potenza di crica il 90 di mettere in
  evidenza questa differenza (3000-3300)

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Schema riassuntivo

• H0?3300gr. ?800gr. (noto)
• Ha?3000gr. n78
• Regione di rifiuto2 errori standard da 3300gr
• ?0.0456 ?0.095 1- ?0.905
• Si osserva quindi si rifiuta H0

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• Di solito si specifica a priori il valore ?
  (0.05, 0.01, 0.001). E chiamato il livello di
  significatività
• Lipotesi alternativa può essere direzionale o
  no. A queste opzioni corrispondono test a
  una o due code. Queste dipendono dalle condizioni
  sperimentali.