Data Mining Engineering

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Kapitel 4 Aussagen-, Prädikatenlogik
Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft U
niversität Wien, Liechtensteinstraße 22 1090 Wien
Tel. [phone] E-mail
brezany_at_par.univie.ac.at Sprechstunde Dienstag,
11.30-12.30
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Logik und Mathematische Logik
Logik ist in der Theoretischen Informatik (TI)
keine Wissenschaft, die uns richtiges Denken
lehrt, sondern dass sie nur Aussagen darüber
macht, unter welchen Bedingungen man aus der
Gültigkeit von Voraussetzungen auf die Gültigkeit
von Folgerungen schließen kann. Weil hier also
Logik betrieben und aufgebaut wird wie eine
mathematische Theorie, heißt sie mathematische
Logik.
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Aussagenlogik

• Unter einer Aussage wollen wir einen Satz der
  natürlichen Sprache verstehen.
• Es interessiert uns dabei nicht der syntaktische
  Aufbau (Subjekt Prädikat Objekt), sondern die
  charakteristische Eigenschaft des betrachteten
  Gebildes, wahr oder falsch zu sein.
• Aussagen unterscheiden sich von anderen
  sprachlichen Gebilden dadurch, dass wir ihnen
  einen bestimmten Wahrheitswert zuteilen können
  den Wahrheitswert W, wenn sie wahr, den
  Wahrheitswert F wenn sie falsch sind, es aber
  keine weitere Möglichkeit gibt.
• Beispiele solcher Aussagen sind
• Baden ist eine Stadt in Niederösterreich.
• Alle Menschen müssen sterben.
• 7 ist größer als 4.
• Sie haben alle den Wahrheitswert W.

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Aussagenlogik (2)

• Folgende Aussagen haben den Wahrheitswert F
• Junge Pferde nennt man Welpen.
• 6 ist größer als 8.
• Eine Aussage wird im Folgenden durch A, B, C, ...
  repräsentiert. Da eine Aussage einen der beiden
  Werte annemen kann, spricht man auch von einer
  Aussagenvariablen für eine Variable A darf
  man beliebige Aussagen einsetzen, was die
  Zuweisung eines der Werte W oder F bedeutet.
• Sätze der Umgangssprache werden auf vielfache
  Weise miteinander verknüpft durch die
  Verwendung von Bindewörtern wie und, oder,
  wenn - dann. In der Aussagenlogik lassen sich
  Verknüpfungen von Aussagen ebenfalls
  beschrieben.
• Die Definition einer Verknüpfung von Aussagen A,
  B wird dadurch beschrieben, dass der
  Wahrheitswert der Verknüpfung in Abhängigkeit von
  der Wahrheitswerten der Aussagen A, B angegeben
  wird. Das geschieht in Form einer sogenannten
  Wahrheitstabelle oder Wahrheitstafel.

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Aussagenlogische Formeln (AF)

• Im Allgemeinen können wir Aussagen durch
  sogenannte aussagenlogische Formeln beschreiben.
  Folgende Elemente können in diesen Formeln
  erscheinen
• Namen wie x für nicht-zusammengesetzte Aussagen
  (im weiteren werden wir solche Namen als atomare
  Formeln oder Atome bezeichnen). Zum Beispiel 5
  ist eine ungerade Zahl.
• Verknüpfungsoperatoren (Konnektoren) wie ?, ?,
  usw., mit denen man aus einfachen Formeln
  komplexere zusammensetzen kann.
• Jetzt wollen wir zur Aussagenlogik einen formalen
  Kalkül vorstellen. Dabei werden wir unter anderem
  untersuchen,
• wie die Symbole ?, ?, usw. zusammenhängen
  Syntax der Aussagenlogik,
• wie man komplexe Formeln auswertet, d.h. wie man
  feststellt, ob sie insgesamt wahr oder falsch
  sind Semantik der Aussagenlogik, und
• wie man Formeln umformt, um sie in bestimmte
  einfachere Formen, sogenannte Normalformen, zu
  bringen.

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Aussagenlogische Formeln (2)

• Aussagenlogische Formeln heißen auch logische
  oder Booloesche Ausdrücke (BA) (nach dem
  englischen Mathematiker George Boole 19.
  Jahrhundert, der das algebraische Studium von
  Wahrheitswerten initialisiert hat).
• BA sind ähnlich artitmetischen Ausdrücken dort
  sind Operanden, die die Werte W und F (statt
  integers) representieren, und Operatoren, and
  (?), or (?) statt ?, ) und Klammern werden
  angewendet, um die Reihenfolge der Auswertung
  bestimmen zu helfen.
• Man muß lernen, wie man die auf Deutsch oder
  Englisch ausgedrückten Behauptungen als Formeln
  ausdrückt.

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Syntax der Aussagenlogik

• Zunächst wollen wir definieren, was wir unter
  einer Formel (der Aussagenlogik) verstehen eine
  einfache oder mit den schon bekannten Konnektoren
  zusammengesetzte Aussage.
• Definition Gegeben sei eine nichtleere,
  abzählbare Menge Var von atomaren Formeln (auch
  Atome oder manchmal auchVariablen genannt), deren
  Elemente wir üblicherweise mit x, y, z, x o.ä.
  bezeichnen. Eine Formel der Aussagenlogik (AL)
  (über Var) ist induktiv wie folgt definiert
• Induktionsbeginn Jede atomare Formel aus Var ist
  eine Formel.
• Induktionsschritt Sind F und G bereits Formeln
  der AL, so sind auch
• ?F, (F ? G), (F ? G)
• Formeln der AL. ?F heißt auch Negation, (F ?
  G) heißt auch Konjuktion, und (F ? G) heißt auch
  Disjunktion.
• Ein Literal ist eine atomare Formel oder die
  Negation einer atomaren Formel.
• FAL ist die Menge aller aussagenlogischen
  Formeln.
• Var (F) ist die Menge aller der atomaren
  Formeln, die in der Formel F vorkommen.

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Syntax der Aussagenlogik BNF Grammatik (2)

• ltAFgt W F ltidentifiergt
• (? ltAFgt)
• (ltAFgt ? ltAFgt)
• (ltAFgt ? ltAFgt)
• (ltAFgt ? ltAFgt)
• (ltAFgt ltAFgt)

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Semantik der Aussagenlogik

• Die Semantik der AL festzustellen heißt
  anzugeben, was eine Formel bedeutet. Genauer
  gesagt geht es darum, zu definieren, wann eine
  AL-Formel wahr oder falsch ist.
• Wahr (W) und falsch (F) (oder true und
  false) heißen Wahrheitswerte. Wir setzen voraus,
  dass jede atomare Formel entweder den
  Wahrheitwert W oder F annimmt, das heißt, wir
  arbeiten mit einer zweiwertigen Logik.
• Bemerkung Es gibt auch andere Logiken, z.B.
  die dreiwertige, die mit den Wahrheitswerten W, F
  und ? arbeitet (der dritte steht für
  unbestimmt), oder die Fuzzy Logic, bei der die
  Variablen Werte aus dem Kontinuum 0,1 annehmen.
  Je näher an 1 der Wert einer Formel ist, umso
  wahrer ist sie.

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Semantik der Aussagenlogik (2)

• Eine atomare Formel x steht für irgendeine
  Aussage, vieleicht für Das Wort Opossum enthält
  genau soviel o wie p oder für Das Wort
  Lemur hat genau halb so viele Buchstaben wie das
  Wort Gürteltier. Ob x wahr ist oder falsch,
  hängt davon ab, für welche Aussage x steht.
• Auch eine zusammengesetzte Formel steht für
  viele verschiedene Aussagen, manche davon wahr,
  andere falsch, je nachdem, wofür die atomaren
  Formeln stehen. Für zusammengesetzte Formeln kan
  man z.B. aber sagen F ? G ist wahr genau dann,
  wenn sowohl F als auch G wahr sind. Man kann also
  von der Bedeutung einer Formel abstrahieren und
  ihren Wahrheitswert angeben in Abhängigkeit von
  den Wahrheitswerten der Teilformeln. Da man das
  auch für Teilformeln wieder tun kann bis hinunter
  auf die Ebene der Atome, kann man insgesamt den
  Wahrheitswert einer Formel angeben in
  Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Atome,
  die darin vorkommen. Wenn wir jeder atomaren
  Formel einen (beliebigen, aber festen)
  Wahrheitswert zuweisen, so heißt das eine
  Belegung.

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Semantik der Aussagenlogik (3)

• Definition Ein Wahrheitwert ist ein Wert aus
  der Menge W, F. Eine Belegung ist eine
  Abbildung A Var ? W, F, die jeder atomaren
  Formel einen Wahrheitswert zuweist.
• Wir erweitern A auf eine Abbildung A FAL ? W,
  F, die jeder AL-Formel einen Wahrheitswert
  zuweist wie in den folgenden Wahrheitstafeln
  spezifiziert wird.

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Wahrheitstafeln

• Konjuktion ? (und)
• A B A ? B
• F F F
• F W F
• W F F
• W W W
• Disjunktion ? (oder)
• A B A ? B
• F F F
• F W W
• W F W
• W W W

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Wahrheitstafeln (2)

• Implikation ? A heißt die Prämisse,
  B die Conclusio
• A B A ? B der Folgerung
• F F W
• F W W
• W F F
• W W W
• Äquivalenz ?
• A B A ? B
• F F W
• F W F
• W F F
• W W W

Schlagwort aus etwas Falschem kann man
alles folgern
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Wahrheitstafeln (3)

• Negation ?
• A ?A
• F W
• W F

Definition Tautologie Eine Formel heißt
allgemeingültig (oder Tautologie), wenn sie für
alle Werte der in ihr vorkommenden
Aussagenvariablen den Wert W annimmt. Anders
ausgedrückt heißt eine Formel Tautologie, wenn
sie für alle Belegungen den Wert W
annimt. Beispiele für allgemeingültige Formeln
sind A ? ?A oder A ? (A ? B) ? B
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Wahrheitstafeln (4)

• Konjunktion, Disjunktion, Implikation und
  Äquivalenz werden als zweistellige Junktoren
  genannt. Die Negation eine einstellige
  Verknüpfung.

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Auswertung von konstanten AF

• Konstante AF sie enthält nur Konstanten als
  Operanden
• Fall 1 Der Wert von W ist W der Wert von F ist
  F.
• Fall 2 Der Wert von (?A), (A ? B), ..., wo A und
  B sind Konstanten W oder F ist durch die
  Wahrheitstafeln gegeben.
• Fall 3 Der Wert einer konstanten AF, die mehr
  als 1 Operator enthält wird durch die wiederholte
  Anwendung des Falls 2 bestimmt.

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Auswertung von AF in einem Zustand

• AF wie (?A ? B) kann in einem Programm auf
  mehreren Stellen erscheinen, z.B. C (?A ? B)
  oder if (?A ? B) then ... . Wenn einer dieser
  Anweisungen ausgeführt wird, wird AF im aktuellen
  maschinen Zustand ausgewertet, um W oder F zu
  produzieren.
• Definition Ein Zustand s ist eine Funktion
• s Id ? W, F
• Id Identifikatoren
• Definition AF ist well-defined im Zustand s,
  wenn jeder Identifikator in AF mit entweder W
  oder F assoziert ist.

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Auswertung von AF in einem Zustand (2)

• Definition Sei AF e well-defined im Zustand s.
  Dann s(e), der Wert von e in s, ist der Wert, den
  man bekommt, wenn man alle Identifikatoren B in e
  durch ihre Werte s(B) ersetzt und evaluiert den
  resultierenden konstanten AF.

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AF als Mengen von Zuständen

• Eine AF representiert, oder beschreibt, die
  Menge von Zuständen in denen sie wahr ist.
  Umgekehrt, für jede Menge Zuständen, die nur
  Identifikatoren assoziiert mit W und F enthalten,
  können wir eine AF ableiten, die diese Menge
  repräsentiert.
• Die leere Menge, die Menge, die keine Zustände
  enthält, ist durch die AF F repräsentiert, weil F
  in keinem Zustand wahr ist.
• Die Menge aller Zustände ist durch die AF W
  repräsentiert, weil W in allen Zuständen wahr ist.

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AF als Mengen von Zuständen (2)

• Beispiel
• Die Menge von 2 Zuständen
• (B, W), (C, W), (D, W) und
• (B, F), (C, W), (D, F)
• ist repräsentiert durch die AF
• (B ? C ? D) ? (?B ? C ??D)
• ---------------------------------------
• Bemerkung Die Verbindung zwischen einer AF
  und der von ihr repräsentierten Menge von
  Zuständen ist so stark, dass wir oft beide
  Konzepte gleichsetzen. Z.B. statt zu schreiben
  die Menge von Zuständen, in denen B ? ?C wahr
  ist, können wir schreiben die Zustände in B ?
  ?C.

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Modell für eine Formel

• Definition Ein Modell für eine Formel F ist
  eine wahrmachende Belegung, also eine Belegung A
  mit A(F) W.
• Beispiel Ein Modell für die Formel (x ? (y ?
  ?z)) ist z.B. die Belegung A1 mit
• A1(x) true, A1(y) false und A1(z) false.
• Aber auch die folgende Belegung A2 ist ein
  Modell
• A2(x) false, A2(y) false und A2(z) true.

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Erfüllbare, unerfüllbare Formeln, Tautologie

• Definition Eine Formel F heißt erfüllbar,
  falls sie mindestens ein Modell besitzt,
  ansonsten heißt sie unerfüllbar. Wenn F von jeder
  Belegung erfüllt wird, heißt F Tautologie oder
  gültig.
• Satz Eine Formel F ist eine Tautologie genau
  dann, wenn ?F unerfüllbar ist.

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SAT und TAUT

• Definition
• SAT F ? FAL F is erfüllbar
• TAUT F ? FAL F is Tautologie
• SAT und TAUT bezeichnen Sprachen, Sprache der
  erfüllbaren (saturierbaren) bzw. der gültigen
  AL-Formeln, und die Wörter dieser Sprachen sind
  AL-Formen.
• SAT und TAUT bezeichnen aber auch Probleme,
  nämlich die Fragen Ist F ? SAT? und Ist F ?
  TAUT?
• Beide Probleme sind entscheidbar man kann
  einen Algorithmus angeben, der für jede AL-Formel
  F in endlicher Zeit entscheidet, ob F erfüllbar
  bzw. gültig ist das Verfahren der
  Wahrheitstafeln.

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Äquivalenz von Formeln

• Äquivalenz von Formeln
• A1 ? A2 A2 ? A1
• A1 ? A2 A2 ? A1
• (A1 ? A2) ? A3 A1 ? (A2 ? A3 )
• (A1 ? A2) ? A3 A1 ? (A2 ? A3 )
• (A1 ? A2) ? A3 (A1 ? A3) ? (A2 ? A3 )
• (A1 ? A2) ? A3 (A1 ? A3) ? (A2 ? A3 )
• A1 ? A1 A1 A1 ? A1 A1
• ? (A1 ? A2) ? A1 ? ? A2
• ? (A1 ? A2) ? A1 ? ? A2

de Morganschen Regeln
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Konjuktive und disjunktive Normalform

• Manchmal ist es vorteilhaft, Formeln durch
  Umformungen zu vereinfachen. Wir werden jetzt 2
  Normalformen für AL-Formeln vorstellen.
• Normalformen sind Einschränkungen auf der
  Syntax der AL, aber so, dass man jede beliebige
  Formel umformen kann in eine äquivalente Formel
  in Normalform.
• Normalformen sind auch wichtig für die
  maschinelle Verarbeitung von logischen Formeln
  (und es gibt inzwischen sehr viele Algorithmen,
  die AL-Formeln verarbeiten und dadurch logische
  Schlüsse ziehen z.B. intelligente Agenten)
  Wenn alle Formeln nur noch eine eingeschränkte
  Syntax haben, dann muß ein Algorithmus nicht so
  viele mögliche Formel-Formen berücksichtigen.

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Konjuktive und disjunktive Normalform (2)

• Definition
• Eine Formel F ist in konjuktiver Normalform (KNF)
  genau dann, wenn F eine Konjuktion von
  Disjunktionen von Literalen ist.
• Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform
  (DNF) genau dann, wenn F eine Disjunktion von
  Konjunktionen von Literalen ist.
• Beispiel Die Formel F ?(x ? (?(y ? z) ? w))
  ist in keiner Normalform. Die Formel F (?x ? y)
  ? (?x ? z) ? (?x ? w) ist zu F äquivalent und in
  DNF. Die Formel F ?x ? (y ? z ? ?w) ist zu F
  äquivalent und in KNF.

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Regelsysteme

• In der Logik werden Regelsysteme (Ableitungs-
  oder Inferenzregeln) angegeben, die es erlauben,
  aus einer Menge von als wahr angenommenen Formeln
  (Axiome) weitere Formeln (Theoreme) abzuleiten.
• Die Ableitung einer Formel heißt auch
  (formaler) Beweis der Formel.
• Beispiel für andere eine Anwendung
  Intelligente Softwareagenten (siehe folgende
  Folien).

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Regeln

• Die allgemeine Form einer Regel kann wie folgt
  geschrieben
• werden
• wenn Prämisse(n) dann Konklusion(en)
• (statt Prämisse werden auch oft die Begriffe
  Bedingung,
• Vorausetzung oder Situation und statt
  Konklusion Aktion
• oder Hypothese verwendet.)Obige Form der Regel
  sagt aus, daß
• im Falle der Erfüllung der Prämisse(n) die
  Konklusion(en) zur
• Ausführung gelangt (gelangen).
• Regeln können folgende Form haben
• wenn P dann Q
• wenn P1 und P2 und ... und Pn dann Q1 und Q2 und
  ... und Qm
• wenn P1 oder P2 oder ... oder Pn dann Q
• Regeln, die neue Fakten produzieren, werden
  Produktionsregeln
• genannt.

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Regeln (2)Architektur eines Produktionssystem
Inferenzmecha- nismus
Faktenbasis
Wissensbasis
Recognize
Select
Regeln
Fakten
Act
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Arbeitsweise eines Produktionssystems

• Beispiel Insgesamt gibt es in unserer
  Wissensbasis vier Regeln
• R1 wenn A gt 50 dann B 45
• R2 wenn B lt 40 dann C 0
• R3 wenn B gt 40 dann D 100
• R4 wenn A gt 60 dann E 20
• Die Faktenbasis enthält das faktum A 100.
  Recognize R1 und R4 sind Kandidaten Select R1
  ist ausgewählt Action B 45 wird in die
  Faktenbasis geschrieben. Dann R3 usw.

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Ein Agent in seiner Umgebung
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Agentenbeschreibung Simple-Reflex-Agent

• Wie beschreiben wir nun Agenten? Wir könnten eine
  Funktion
• action P ? A (P
  perceptions (Wahrnehmungen), A Aktionen)
• benutzen.

Condition-action rules
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Agentenbeschreibung Simple-Reflex-Agent (2)

• function SIMPLE-REFLEX-AGENT (percept) returns
  action
• static rules // a set of condition-action
  rules
• env-state ? INTERPRET-INPUT(percept)
• rule ? RULE-MATCH(env-state, rules)
• action ? RULE-ACTIONrule
• return action

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Prädikatenlogik

• Bei der Einführung des Prädikatenbegriffs werden
  wir uns auf die Menge IN der natürlichen Zahlen
  beschränken (der Einfachkeit halber).
• Mögliche Aussagen sind a ist eine gerade Zahl, b
  ist teilbar durch 3, c ist eine Primzahl, d ist
  eine Summe von a und b, usw. eine solche
  Aussage über einzelne Elemente, über Paare von
  Elementen oder allgemeiner über n-Tupel von
  Elementen wird als Prädikat über der Menge IN
  bezeichnet.
• Man spricht von einem n-stelligen Prädikat über
  IN, wenn es die Aussage über je n Elemente macht.
  In Abhängigkeit von den gewählten Elementen
  nimmt ein Prädikat den Wahrheitswert W oder F an.
• Ist P ein n-stelliges Prädikat über der Menge M,
  so wird der Funktionswert von P für das n-Tupel
  (x1, .., xn) mit P(x1, .., xn) bezeichnet. Die
  Symbole P, Q, ... Prädikatsvariablen.

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Allquantor

• Definition
• Es sei P ein einstelliges Prädikat über M. Dann
  wird durch ?x P(x) genau dann eine wahre Aussage
  bezeichnet, wenn P für alle x ? M den Wert W
  annimmt. P heißt dann Allquantor oder
  Generalisator.
• ?x P(x) wird gelesen als für alle x?M ist P(x)
  wahr.
• Z.B. kann man die Tatsache, daß durch 6
  teilbare Zahlen auch durch 3 teilbar sind,
  ausdrücken als ?x ? N (x mod 6 0 ? x mod 3 0).

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Existenzquantor

• Definition
• Es sei P ein einstelliges Prädikat über M. Dann
  wird durch ?x P(x) genau dann eine Wahre Aussage
  bezeichnet, wenn es in M (mindestens) ein Element
  a gibt, für das P den Wahrheitswert W annimmt. P
  heißt dann Existenzquantor oder Partikulisator.
• Beispiel Es gibt mindestens ein Wort der
  deutschen Sprache, das genau 5 e und keine
  anderen Vokale enthält oder in Zeichen ?x (D(x)
  ? E(x)), falls D(x) heißt x ist ein Wort der
  deutschen Sprache und E(x) steht für x enthält
  genau 5 e und keine anderen Vokale.

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Freie und gebundene Variablen

• Nehmen wir das Prädikat
• ?i m ? i lt n x?i gt 0
  (1.)
• Die Wahrheit dieses Prädikats im Zustand s ist
  von den Werten von m, n und x in s, aber nicht
  vom Wert i abhängig, und die Bedeutung dieses
  Prädikat wird sich nicht ändern, wenn wir i durch
  j ersetzen.
• Identifikatoren m, n und x sind freie Variablen
  des Prädikats.
• Der Identifikator i ist gebunden in (1.) und
  ist gebunden zu dem Quantifier ? in diesem
  Prädikat.