???? ?????? 09a

1
???? ?????? 09a

• ?????

????? ?? ????? ?? ????? ?????, ???? ???? ??????
2
?????? Heaps

• ?? ?????? ???
• ???? ??????
• ?? ???? B ???? ?? ???? A ??? Key(A)Key(B)
• ??????? ???????
• Find-min
• Delete-min
• Decrease-key
• Insert
• Merge

3
?????? Heaps
????? ???? (???? max-heap)
15
????? ?????
15
4
4
????? 1

• ?????? ???? ????? n, ???? ????? min heap ?"?
  ????? ?????? ?? ???? ?????. ???? ???? ???????
  ????? O(nlogn) ????? ??? ???? (worst case)
• ?????
• ????? ?????? ????? ?? ???? ??????? ??????
  O(nlogn) ??????
• ???? ???? ?"????" ??? ????? ?? ?-heap

5
????? 1
n
n
n-1
n-1
n
n-2
n-1
n-2
n
n
n-1
6
????? 1

• ?? ??? ?????? ???? ????? ???? ???
• n/2 ??????? ???????? ?????? ????? log(n/2) ?? ???
• ????? W.C O(nlogn)

7
????? 2

• ?????? heap ????? ??????? extract-min ?-insert
  ???? f(n) amortized, ???? ????? ????? ???? ?????
  n ???? O(nf(n))
• ?????
• ???? n ?????? ????? ???? O(nf(n))
• ???? n ?????? ????? ??????? ???? O(nf(n))
• ??"? O(nf(n))
• ???????? ???? ?? ???? heap-sort
• ?????? ????? ?? ???? n ????? ??? O(nlogn)

8
????? 3 Median Heap

• ???? ???? ?????? ????? ???????
• insert ???? O(logn)
• extract-median ???? O(logn)
• find-median ???? O(1)

8
9
????? 3 - ?????
Max-heap
Min-heap

?????? ?????? (?? ??????)
?????? ??????? (???????)
10
????? 3 - ?????
Max-heap
Min-heap

• ????? ?-max-heap ?-min-heap
• n/2 ?????? ??????? ????? ?????? ?-max-heap
• ???? ?????? ?-min-heap
• ?????? ???? ???? ????? ?? ??? ???

Max-Heap
Min-Heap
2
4
5
7
8
12
14
15
20
11
????? 3 - ?????

• Find-median
• If (size(minheap)gtsize(maxheap))
• return getmin(minheap)
• Else
• return getmax(maxheap)
• Insert(x)
• If (xltgetmin(minheap))
• Insert(maxheap,x)
• Else
• Insert(minheap,x)
• If (abs(size(minheap)-size(maxheap))gt1)
• Balance heaps (move root from bigger heap to
  smaller heap)
• Extract-Median
• Extract median from the max-heap or min-heap

O(1)
O(logn)
O(logn)
12
???? 1

• ?????? ???????, ?????? ???? ?????
• ?. ?????.
• ?. ????? ??? ????? .
• ?. ????? ??? ?????
• ?. ???? ?????? ??????? ?????.
• ?. ?? ??? ???"?.

13
????? 1

• ?. ?????? ???? ????? ?? ???? ?? ????? (???? ?? ??
  ?? ?? ???? ?????? ??? ?? ?? ????) ????? ?? ?????
  ???? ????? (?? ??? ?????? ?????? ????? ??????
  ?????). ???????? ???? ?????? ????? ???????.

14
????????? 2

• ??? ???? ?????? ???? ???? ??? ??????

????? ??. ????? ????? ?-i ???? ?????? ?-2i1
?-2i (??? ????) ??? i.
15
???? 3
16
????? 3

• ?. ??? ?????
• ???? ?? ?????? ??? O(lg n). ??? ????? ??? O(n lg
  n).
• ??? ????? ???? ?? ????? ??? O(lg n) ??? O(n)
  ???? ??? ????? ??? ?? O(n lg n)

17
???? 4
18
????? 4

• ?. ?????? ????? ?????? ??? ????? ?? Build-Heap.

19
????