Class p2c1:

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EE7780 Array Signal Processing

• Class p2c1
• Diseño de arrays.
• Medidas de Rendimiento de Beamformers.
• Statistical Beamforming.
• Generalized Sidelobe Canceller (GSC)
• Problemas para la cuarta semana

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Diseño de Arrays

• Diseño de Arrays
• Geometría dependiendo de la aplicación
• Señales que vienen de un plano en 180o SLA.
• Señales que vienen por encima o debajo del array
  UCA.
• Señales que vienen de todas las partes SA.
• Frecuencia de trabajo generalmente viene
  impuesta por el tipo de señal que queramos
  procesar. Por ejemplo, en audio puede ser desde
  200Hz hasta 8kHz. La frecuencia de trabajo define
  la distancia entre elementos d.
• Apertura se obtiene para una determinada
  resolución del array. Para ello debemos buscar el
  primer nulo del mainlobe del beampattern.
  Dependiendo de la geometría y del vector de
  pesos, el primer nulo se produce a diferente
  distancia angular.

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Diseño de Arrays

• Ejemplo se desea diseñar un SLA para señales de
  frecuencia 2kHz. y resolución de 10o.
• La geometría es impuesta por la aplicación, en
  este caso nos dicen que es un ULA.
• La frecuencia de trabajo nos dicta la distancia
  entre elementos. En este caso lc/f343/20000.171
  5. d0.08575m.
• La resolución tiene que ver con el primer nulo
  del beampattern. En Trees (pag. 48) esta
  distancia se define como 0.5BWNN (BeamWidth
  Null-to-Null). Para SLA con uniform weights (SOI
  perpendicular al array) se calcula analíticamente
  como

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Diseño de Arrays

• Ejemplo (cont)
• Donde N es el número de elementos y d la
  distancia entre elementos.
• Nos piden una resolución de 10o o
  103.14/1800.1744rad.
• Por tanto el número de elementos debe ser 12

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Diseño de Arrays

• Ejemplo (cont)
• Veamos si el beampattern tiene el nulo menor o
  igual a 10o.
• Usando la función de Matlab

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Diseño de Arrays

• Ejemplo (cont)
• Obtenemos el siguiente beampattern que cumple el
  requisito de diseño.

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Diseño de Arrays

• En el caso de otro tipo de array, busquen el el
  libro de Trees para ver si existe una función
  analítica (expresión matemática) para calcular el
  número de elementos K a partir del cálculo del
  primer nulo del beampattern.
• Otro método sería el graficar el beampattern para
  diferente número de elementos K y seleccionar el
  número de elementos a partir de la gráfica que
  satisfaga el requisito de resolución.

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Rendimiento de Beamformers

• Hasta ahora sabemos calcular la poténcia a la
  salida del beamformer.
• Existen diferentes medidas para evaluar y
  comparar el rendimiento de beamformers
• Array Resolution 0.5BWNN
• SNR Signal to Noise Ratio.
• SINR Signal to Interference plus Noise Ratio.
• Array Directivity and Directivity Index (DI).
• Array Gain against White Noise Aw.
• Array Gain against Interference plus Noise Ag.
• Vamos a explicar las medidas que no hemos visto
  hasta ahora.

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Rendimiento de Beamformers

• SNR Signal to Noise Ratio
• SNRi Signal to Noise Ratio at the Beamformer
  input
• SNRo Signal to Noise Ratio at the Beamformer
  output (for a distortionless beamformer)

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Rendimiento de Beamformers

• SINR Signal to Interference plus Noise Ratio
• SINRi Signal to Noise Ratio at the Beamformer
  input
• SINRo Signal to Interference plus Noise Ratio at
  the Beamformer output (for a distortionless
  beamformer)

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Rendimiento de Beamformers

• Otras definiciones útiles
• SIRl Signal to Interference Ratio for
  interference l
• INRl Interference to Noise Ratio for
  interference l

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Rendimiento de Beamformers

• Array Directivity
• Is the ratio between the beamformer output power
  due to the SOI and the beamformer output power
  due to interferences uniformly distributed over
  a sphere
• In general we need to evaluate this expression
  for a particular array. However, for a SLA is
  Dv2 and it does not depend on the steering
  direction.

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Rendimiento de Beamformers

• Array Directivity (cont.)
• The Directivity is máximum for Delay-and-sum
  weights.
• Directivity Index

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Rendimiento de Beamformers

• Array Gain against White Noise
• Es la ganancia del array considerando únicamente
  el ruido termal o incorrelado
• Para un distortionless beamformer es

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Rendimiento de Beamformers

• Array Gain against Interference plus White Noise
• Es la ganancia del array considerando las
  interferencia y el ruido termal o incorrelado
• Para un distortionless beamformer es

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Statistical Beamforming

• Hasta ahora hemos obtenido las matrices de
  correlación a partir de los steering vectors y
  las potencias de la SOI, interferencias y ruido.
• Sin embargo estos parámetros no están disponibles
  en todo momento. Por tanto debemos estimarlos a
  partir de los datos.
• Una manera de estimar directamente las matrices
  de correlación es usando la expresión

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Statistical Beamforming

• Batch estimation. La expresión
• estima directamente la matriz de correlación de
  la SOI más la Interferencia y el Ruido.
• La expresión realiza un producto externo (outer
  product) de cada snap-shot, muestra o lectura de
  las señales a la salida del array (o entrada del
  beamformer). Cuando se han adquirido D muestras
  se divide la suma de productos externos por el
  número de muestras D. Este estimador es usado en
  muchas aplicaciones.

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Statistical Beamforming

• Otra expresión, que usa sample by sample
  estimation es
• donde la matriz es calculada por cada nueva
  muestra que entra en el array y descarta la más
  vieja del cálculo de la matriz de correlacion.
• Hay que tener cuidado al principio de la
  estimación, debido a que la matriz puede resultar
  singular.

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Statistical Beamforming

• Una tercera opción, que usa sample by sample
  estimation es
• similar al método anterior, pero con un factor de
  memoria/olvido donde le dá más peso a las
  muestras nuevas con respecto a las antíguas. Este
  método es usado en el método RLS.
• Hay que tener cuidado al principio de la
  estimación, debido a que la matriz puede resultar
  singular.

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Statistical Beamforming

• Las matrices de correlación son usadas para
  obtener la solución MVDR para el vector de pesos
• También se usa para obtener el SINR y la ganancia
  del array

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Statistical Beamforming

• Esto es debido a que se puede probar que para un
  distortionless beamformer se cumple
• Para ampliar información acerca de estos métodos,
  por favor leanse el capítulo 4 de la tesis.

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GSC

• El Generalized Sidelobe Canceler es un método
  iterativo para obtener la solución MVDR para el
  vector de pesos sin necesidad de calcular la
  inversa de Ru.
• El diagrama de bloques se muestra en la siguiente
  figura

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GSC

• Donde el vector de pesos es descompuesto en

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GSC

• El vector wq se denomina el vector quiescent y es
  fijo. Generalmente se usa delay and sum para este
  vector de pesos. El quiescent vector impone la
  condición de distortionless response.
• La respuesta zq(t) es la respuesta quiescente
• El vector wa se denomina el vector adaptivo y se
  calcula adaptativamente para minimizar la
  potencia de salida sin ninguna condición. Se
  suele usar los métodos adaptativos NLMS
  (Normalized Least Means Squares) o RLS (Recursive
  Least Squares).

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GSC

• La matriz B es la matriz de bloqueo del SOI
  (blocking matrix) y elimina la SOI en la rama
  inferior del GSC.
• La salida de la rama inferior o adaptiva es
• La salida del GSC es

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GSC

• El algoritmo NLMS obtiene la salida del
  beamformer así
• El vector de pesos adaptivo es obtenido así
• donde m es el step size y significa congugado.

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GSC

• El algoritmo RLS obtiene la salida del beamformer
  así
• El vector de pesos adaptivo es obtenido
  diferentemente e incluye expresiones intermedias
  como indica la siguiente página

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GSC
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Funciones de Matlab DI
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Funciones de Matlab DI
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Funciones de Matlab Aw
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Funciones de Matlab Ag
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Funciones de Matlab SNRo
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Funciones de Matlab SINRo
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Problema de la semana

• Implementar las funciones arriba indicadas.
• Un SLAy de 11 elementos tiene una SOI de ss21 y
  DOA desde z. Tres interferencias con SIRs30,
  35, 40dB y DOAs (q , f ) (90o ,48o), (45o
  ,-48o), (75o ,190o). SNR-10dB. fbin2kHz.
• Obtener los beampatterns en 2 y 3D. Indicar las
  interferencias como vectores.
• Calcular SNRo para v delay-and-sum y MVDR.
  Comparar resultados y comentarlos.
• Calcular Aw y Ag para v delay-and-sum y MVDR.
  Comparar y comentar.
• Calcular DI para v delay-and-sum y MVDR. Comp, y
  coment.

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Fin de la clase
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