Planares%203%20SAT%20ist%20NP-vollst

1
Planares 3 SAT ist NP-vollständig

• Seminar über Algorithmen SS 07
• Jale Hayta

2
Gliederung

• Beweisidee
• 3SAT
• Graph von 3SAT
• 3SAT G(B)?G(B) Planares 3SAT
• Beweis und Beispiel
• Quellen

3
Beweisidee

• 3SAT liegt in NP und ist bekanntermassen
  NP-vollständig.
• Hier konkret 3SAT P P3SAT
• Das heißt NP-Schwerheit muss bewiesen werden.

4
3SAT

• Gegeben sind m Klauseln mit n Variablen in
  konjunktiver Normalform und jede Klausel enthält
  höchstens 3 Literale
• Gegeben sind Boolesche Variablen x1,,xn .
• Zu jeder Variablen gibt es 2 mögliche Literale x
  und x
• Alle Klauseln müssen mind. ein wahres Literal
  haben, damit die Formel erfüllt ist.
• 3-SAT ist NP-vollständig.

5
Graph von 3SAT1

• Definition Sei B eine 3SAT Formel. Dann gilt
  G(B) (N,A)
• N?cj1 j m? ?? vi1 i n?. A A1?A2,
• wobei gilt A1 ?? ci,vj ?vj ?ci oder ?vj ?ci
  ? A2 ?? vj,vj1 ?1 jltn ????vn,v1 ??

6
Graph von 3SAT2

• Gegeben ist eine 3SAT Formel B, zu der es einen
  Graphen G(B) gibt. Dieser muss nicht unbedingt
  planar sein (kann aber).

Bsp B(abc)(cd)
a
b
c
d
7
3SAT G(B)?G(B) Planares 3SAT

• Das Ziel ist ein G(B) in polynomieller Zeit
  umzuwandeln in G(B) planar, sodass B P3SAT
  Formel.
• Es muss gelten
• B ist erfüllbar ? B ist erfüllbar.
• P3SAT Planares 3SAT

8
Beweis und Beispiel1
9
Beweis und Beispiel2

• ci
• cj

Hier ein kleiner Auszug aus der Grafik zuvor. Das
Problem hier ist die Kreuzung der Leitungen.
a
b
10
Beweis und Beispiel3
Hier Negationen nicht erkennbar,daher ist eine
Spezifikation nötig!
11
Beweis und Beispiel4

• Eine Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt.
• Hilfsvariablen ?,?,?,? ,? und a1,a2,b1,b2
  werden eingeführt.
• Annahme laut Graphen
• X ist erfüllbar ? a ? a1, b ? b1

12
Spezifikation zu G(X)

• Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen
• G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist
• (?a2?b2?) (a2??) (b2??) ,i.e. a2b2 ? ?
• (?a2b1?)(a2??)(?b1??), i.e. a2?b1 ? ?
• (a1b1?)(?a1??)(?b1??), i.e. ? a1?b1 ? ?
• (a1?b2?)(?a1??)(b2??), i.e. ? a1b2 ? ?
• (????)
• (????) (????) (????) (????)
• (a2?a) (a?a2)(b2?b) (b?b2), i.e. a ? a2, b ?
  b2

13
Spezifikation zu G(X)

• Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen
• G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist
• (?a2?b2?) (a2??) (b2??) ,i.e. a2b2 ? ?
• (?a2b1?)(a2??)(?b1??), i.e. a2?b1 ? ?
• (a1b1?)(?a1??)(?b1??), i.e. ? a1?b1 ? ?
• (a1?b2?)(?a1??)(b2??), i.e. ? a1b2 ? ?
• (????)
• (????) (????) (????) (????)
• (a2?a) (a?a2)(b2?b) (b?b2), i.e. a ? a2, b ?
  b2

14
Gadget
15
Gadget2
16
Gadget3
17
Spezifikation von G(X)2

• Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen
• G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist
• (?a2?b2?) (a2??) (b2??) ,i.e. a2b2 ? ?
• (?a2b1?)(a2??)(?b1??), i.e. a2?b1 ? ?
• (a1b1?)(?a1??)(?b1??), i.e. ? a1?b1 ? ?
• (a1?b2?)(?a1??)(b2??), i.e. ? a1b2 ? ?
• (????) ? (???)(??? ?)
• (????) (????) (????) (????)
• (a2?a) (a?a2)(b2?b) (b?b2), i.e. a ? a2, b ?
  b2

18
Gadget4
19
Beweis

• ? Gesucht Wie sind (?,?,?,?) in X belegbar?
• X ist erfüllbar ? X eine der erfüllbaren
  Belegungen annimmt.
• ? Gesucht Belegungen für a und b.
• a und b müssen Belegungen haben, sodass X
• erfüllbar wird.

20
Kreuzungsproblem gelöst
C i
C i
a
a 1
Beides richtig da offensichtlich gelten muss a1?a
21
A A1?A2
22
Beispiel3
Die Formel ändert sich, aber durch die
Modifikation ändert sich nicht die Erfüllbarkeit.
?
Jede Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt.
23
Bibliographie

• D. Lichtenstein Planar formulae and their uses.
  SIAM Journal on Computing 11 (1982), 329-343
• D. E. Knuth and A. Raghunathan The problem of
  compatible representatives. SIAM Journal on
  Discrete Mathematics 5 (1992), 422-427.

24

• Danke!